Giải SGK Toán 12 Cánh Diều Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Câu hỏi khởi động: Bảng 1 là bảng tần số ghép nhóm biểu diễn mẫu số liệu ghi lại năng suất lúa (đơn vị: tạ/ha) của 60 địa phương.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như thế nào?

Trả lời:

I. Khoảng biến thiên

Hoạt động 1: Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi Bảng 2.

a) Tìm a1, a6 lần lượt là đầu mút trái của nhóm 1, đầu mút phải của nhóm 5.

b) Tính hiệu R = a6 – a1.

Trả lời:

a) Đầu mút trái của nhóm 1 là a1 = 40.

Đầu mút phải của nhóm 5 là a6 = 65.

b) Ta có R = a6 – a1 = 65 – 40 = 25.

Luyện tập, vận dụng 1: Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi Bảng 1 trong phần mở đầu.

Trả lời:

- Khoảng biến thiên: R = 11 – 1 = 10.

II. Khoảng tứ phân vị

Hoạt động 2: Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi Bảng 5.

a)

- Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{36}{4}=9$ có đúng không?

- Tìm đầu mút trái s, độ dài h, tần số n2 của nhóm 2; tần số tích lũy cf1 của nhóm 1. Sau đó, hãy tính tứ phân vị thứ nhất Q1­ của mẫu số liệu đã cho theo công thức sau:

$Q_1=s+\left(\frac{9-c{f}_1}{n_2}\right)\cdot h$.

b)

- Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}=\frac{36}{2}=18$ có đúng không?

- Tìm đầu mút trái r, độ dài d, tần số n3 của nhóm 3; tần số tích lũy cf2 của nhóm 2. Sau đó, hãy tính tứ phân vị thứ hai Q2 của mẫu số liệu đã cho theo công thức sau:

$Q_2=r+\left(\frac{18-c{f}_2}{n_3}\right)\cdot d$.

c)

- Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 36}{4}=27$ có đúng không?

- Tìm đầu mút trái t, độ dài l, tần số n4 của nhóm 4; tần số tích lũy cf3 của nhóm 3. Sau đó, hãy tính tứ phân vị thứ hai Q3 của mẫu số liệu đã cho theo công thức sau:

$Q_2=t+\left(\frac{27-c{f}_3}{n_4}\right)\cdot l$.

d) Tìm hiệu Q3 – Q1.

Trả lời:

a)

- Tần số tích lũy của nhóm 1 là 6 < 9, tần số tích lũy của nhóm 2 là 17 > 9.

Vậy nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{36}{4}=9$.

- Nhóm 2 có đầu mút trái s = 163, độ dài h = 163 – 160 = 3, tần số n2 = 11; tần số tích lũy của nhóm 1 là cf1 = 6.

Tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu số liệu đã cho là

$Q_1=s+\left(\frac{9-c{f}_1}{n_2}\right)\cdot h=163+\left(\frac{9-6}{11}\right)\cdot 3=\frac{1802}{11}\approx 163,82$.

b) - Tần số tích lũy của nhóm 1 là 6 < 18, tần số tích lũy của nhóm 2 là 17 < 18, tần số tích lũy của nhóm 3 là 26 > 18.

Vậy nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}=\frac{36}{2}=18$.

- Nhóm 3 có đầu mút trái r = 166, độ dài d = 169 – 166 = 3, tần số n3 = 9; tần số tích lũy của nhóm 2 là cf2 = 17.

Tứ phân vị thứ hai Q2 của mẫu số liệu đã cho là

$Q_2=r+\left(\frac{18-c{f}_2}{n_3}\right)\cdot d=166+\left(\frac{18-17}{9}\right)\cdot 3=\frac{499}{3}\approx 166,33$.

c) - Tần số tích lũy của nhóm 1 là 6 < 27, tần số tích lũy của nhóm 2 là 17 < 27, tần số tích lũy của nhóm 3 là 26 < 27, tần số tích lũy của nhóm 4 là 33 > 27.

Vậy nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 36}{4}=27$.

- Nhóm 4 có đầu mút trái t = 169, độ dài l = 172 – 169 = 3, tần số n4 = 7; tần số tích lũy của nhóm 3 là cf3 = 26.

Tứ phân vị thứ ba Q3 của mẫu số liệu đã cho là

$Q_3=t+\left(\frac{27-c{f}_3}{n_4}\right)\cdot l=169+\left(\frac{27-26}{7}\right)\cdot 3=\frac{1186}{7}\approx 169,43$.

d) Ta có Q3 – Q1 = $\frac{1186}{7}-\frac{1802}{11}=\frac{432}{77}$ ≈ 5,61.

Luyện tập, vận dụng 2: Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 1 trong phần mở đầu.

Trả lời:

Bài tập

Bài tập 1: Bảng 8 biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 60 khách hàng mua sách ở một cửa hàng trong một ngày.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 50.

B. 30.

C. 6.

D. 69,8.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 50.

B. 40.

C. 14,23.

D. 70,87.

Trả lời:

a) Đáp án: A

Trong mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 8, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là a1 = 40, đầu mút phải của nhóm 5 là a6 = 90.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

R = a6 – a1 = 90 – 40 = 50 (nghìn đồng).

b) Đáp án: C

Từ Bảng 8 ta có bảng sau:

Số phần tử của mẫu là n = 60.

- Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{60}{4}=15$ mà 9 < 15 < 28. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15. Xét nhóm 3 là nhóm [60; 70) có s = 60; h = 10; n3 = 19 và nhóm 2 là nhóm [50; 60) có cf2 = 9.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là

$Q_1=60+\left(\frac{15-9}{19}\right)\cdot 10=\frac{1200}{19}$ (nghìn đồng).

- Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 60}{4}=45$ mà 28 < 45 < 51. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 45. Xét nhóm 4 là nhóm [70; 80) có t = 70; l = 10; n4 = 23 và nhóm 3 là nhóm [60; 70) có cf3 = 28.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là

$Q_3=70+\left(\frac{45-28}{23}\right)\cdot 10=\frac{1780}{23}$(nghìn đồng).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

∆Q = Q3 – Q1 = $\frac{1780}{23}-\frac{1200}{19}$ ≈ 14,23 (nghìn đồng).

Bài tập 2: Bảng 9 biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của một công ty (đơn vị: triệu đồng).

a) Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

b) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

Trả lời:

Bài tập 3: Bảng 10 biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của cư dân trong một khu phố.

a) Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

b) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

Trả lời:

a) Trong mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 10, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là a1 = 20, đầu mút phải của nhóm 6 là a7 = 80.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

R = a7 – a1 = 80 – 20 = 60.

b) Từ Bảng 10 ta có bảng sau:

Số phần tử của mẫu là n = 100.

- Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{100}{4}=25$. Suy ra nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 25. Xét nhóm 1 là nhóm [20; 30) có s = 20; h = 10; n1 = 25.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_1=20+\frac{25}{25}\cdot 10=30$.

- Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 100}{4}=75$ mà 65 < 75 < 80. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 75. Xét nhóm 4 là nhóm [50; 60) có t = 50; l = 10; n4 = 15 và nhóm 3 là nhóm [40; 50) có cf3 = 65.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

$Q_3=50+\left(\frac{75-65}{15}\right)\cdot 10=\frac{170}{3}$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

∆Q = Q3 – Q1 = $\frac{170}{3}-30=\frac{80}{3}$ ≈ 26,67.