Giải SGK Toán 12 Cánh Diều Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Câu hỏi khởi động: Số dân của một thị trấn sau x năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức

$y=f\left(x\right)=\frac{26x+10}{x+5}$

(f(x) được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Xem y = f(x) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; + ∞), đồ thị của hàm số đó là đường cong màu xanh ở Hình 10.

Khi x → + ∞, đồ thị hàm số y = f(x) ngày càng “tiến gần” tới đường thẳng nào?

Trả lời:

Khi x → + ∞, đồ thị hàm số y = f(x) ngày càng “tiến gần” tới đường thẳng y = 26.

I. Đường tiệm cận ngang

Hoạt động 1: Xét hàm số y = f(x) = $\frac{26x+10}{x+5}$ , với x ∈ [0; + ∞) có đồ thị là đường cong ở Hình 10 trong bài toán mở đầu. Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) .

Trả lời:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = 26.

Luyện tập, vận dụng 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$

Trả lời:

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {– 1}.

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y =$\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{3x-2}{x+1}$= 3 ,

          $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x-2}{x+1}=3$.

Vậy đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

II. Đường tiệm cận đứng

Hoạt động 2: Cho hàm số y = f(x) = $\frac{1}{x}$ có đồ thị là đường cong như Hình 12

Tìm $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x), $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$f(x)

Trả lời:

+) x → 0+ thì f(x) → + ∞, do đó $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = $+\infty$;

+) x → 0– thì f(x) → – ∞, do đó $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$f(x) = -$\infty$.

Luyện tập, vận dụng 2: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+3x}{x-5}$

Trả lời:

Tập xác định .

Ta có:

Vậy đường thẳng x =5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

II. Đường tiệm cận xiên

Hoạt động 3: Cho hàm số y = f(x) = $x+1+\frac{1}{x-1}$ có đồ thị là (C) và đường thẳng y = x + 1 (Hình 15)

Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }$[f(x) - (x + 1)]; $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[f(x) - (x + 1)] .

Trả lời:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }$[f(x) - (x + 1)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{1}{x-1}$ = 0;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }$[f(x) - (x + 1)]= $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{1}{x-1}$= 0

Luyện tập, vận dụng 3: Chứng minh rằng đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) = $\frac{-x^2-2x+3}{x+2}$.

Trả lời:

Ta có:

Xét

Vậy đường thẳng  là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số trên.

Luyện tập, vận dụng 4: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+2}{x+3}$

Trả lời:

Ta có:  a = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{f\left(x\right)}{x}$= $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x^2-3x+2}{x(x+3)}$= 1

và b = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2-3x+2}{x+3}-x\right)$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-6x+2}{x+3}$ = -6.

Vậy đường thẳng y = x – 6 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → + ∞).

Tương tự, do $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{f\left(x\right)}{x}=1$  và $\underset{x\to +\infty }{\lim }$[f(x) -x] = - 6  nên đường thẳng y = x – 6 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → – ∞).

Bài tập

Bài tập 1: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x+1}$ là:

A. x = – 1.

B. x = – 2.

C. x = 1.

D. x = 2. 

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: .

Xét

Vậy đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài tập 2: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+3x+5}{x+2}$ là:

A. y = x.

B. y = x + 1.

C. y = x + 2.

D. y = x + 3.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: a = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{y}{x}$= $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x^2+3x+5}{x(x+2)}$ = 1

và b = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - x] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\left(\frac{x^2+3x+5}{x+2}-x\right)$= $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x+5}{x+2}$= 1 .

Vậy đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → + ∞).

Tương tự, do $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{y}{x}$= 1  và $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - x] = 1 nên đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → – ∞).

Bài tập 3: Đồ thị hàm số ở Hình 18a, Hình 18b đều có đường tiệm cận ngang là đường thẳng màu đỏ. Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

Trả lời:

Ta có: . Do đó đường thẳng  là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số . Vậy đồ thị hàm số  là hình 18a.

Tương tự, . Do đó đường thẳng  là một đường thẳng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số . Vậy đồ thị hàm số  là hình 18b.

Bài tập 4: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

Trả lời:

a) Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{2}.

• Ta có $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$$\frac{x}{2-x}=+\infty$, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$$\frac{x}{2-x}=-\infty$ .

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• Lại có $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ $\frac{x}{2-x}=-1$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{x}{2-x}=-1$.

Do đó, đường thẳng y = – 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

• Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{y}{x}$= $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x}{(2-x)x}$= $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{1}{2-x}$= $-\infty$ = 0.

Do đó, đồ thị hàm số y = $\frac{x}{2-x}$  không có tiệm cận xiên.

b) Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{1}.

• Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=+\infty$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=-\infty$.

Do đó, đường thẳng x = 1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• Lại có $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=+\infty$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=-\infty$ .

Do đó, đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

• Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho có dạng y = ax + b.

Ta có:  a = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{y}{x}$= $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{2x^2-3x+2}{x(x-1)}$= 2

và b = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - 2x]= $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\left(\frac{2x^2-3x+2}{x-1}-2x\right)$= $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{-x+2}{x-1}$= -1 .

Vậy đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → + ∞).

Tương tự, do $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{y}{x}=2$  và $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - 2x] = -1  nên đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → – ∞).

c) Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{0}.

• Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x-3+\frac{1}{x^2}\right)=+\infty$; $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x-3+\frac{1}{x^2}\right)=+\infty$.

Do đó, đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• Lại có $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\left(x-3+\frac{1}{x^2}\right)$= + $\infty$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\left(x-3+\frac{1}{x^2}\right)$= - $\infty$.

Do đó, đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

• Do $\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (x - 3)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{1}{x^2}$= 0; $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (x - 3)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{1}{x^2}$= 0  nên đường thẳng y = x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bài tập 5: Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong x (tháng) được tính theo công thức $S\left(x\right)=200\left(5-\frac{9}{2+x}\right)$ , trong đó x ≥ 1 (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

a) Xem y = S(x) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [1; + ∞), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong x (tháng) khi x đủ lớn. 

Trả lời:

a) Ta có:

Vậy đường thẳng y = 1000 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số S (x)

b) Khi  đủ lớn thì số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong tháng x sẽ gần đạt được 1000 sản phẩm.