Giải SGK Toán 12 Cánh Diều Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

Câu hỏi khởi động: Một doanh nghiệp dự kiến lợi nhuận khi sản xuất x sản phẩm (0 ≤ x ≤ 300) được cho bởi hàm số y = – x3 + 300x2 (đơn vị: nghìn đồng) và được minh họa bằng đồ thị ở Hình 1.

Sự thay đổi lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra và dấu của đạo hàm y' có mối liên hệ với nhau như thế nào?

Trả lời:

Ta có y = – x3 + 300x2 với x ∈ [0; 300].

          y' = – 3x2 + 600x;

          y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 200.

Bảng xét dấu của y' trên đoạn [0; 300] như sau:

Kết hợp với đồ thị ở Hình 1, ta thấy lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra tăng thì đạo hàm y' mang dấu dương, lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra giảm thì đạo hàm y' mang dấu âm.

I. Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu đạo hàm

Hoạt động 1: 

a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập K ⊂ ℝ, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

b) Cho hàm số y = f(x) = x2 có đồ thị như Hình 2.

- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

- Xét dấu của đạo hàm f'(x) = 2x.

- Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x2 và dấu của đạo hàm f'(x) = 2x trên mỗi khoảng (– ∞; 0), (0; + ∞).

- Hoàn thành bảng biến thiên sau

Trả lời:

a. Cho  là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và  là hàm số xác định trên .

- Hàm số  được gọi là hàm số đồng biến trên  nếu với mọi ,  thuộc  và  thì .

- Hàm số  được gọi là hàm số đồng biến trên  nếu với mọi ,  thuộc  và  thì .

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên  còn được gọi là hàm số đơn điệu trên .

b.  

- Hàm số đồng biến trên khoảng  và nghịch biến trên khoảng .

- Đạo hàm  âm khi  và dương khi .

- Hàm số  nghịch biến khi  mang dấu âm và đồng biến khi  mang dấu dương.

- Ta có bảng biến thiên sau:

Luyện tập, vận dụng 1: Xét dấu y' rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\frac{4}{3}{x}^3-2x^2+x-1$

Luyện tập, vận dụng 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

y = x4 + 2x2 – 3.

Trả lời:

Tập xác định .

Ta có: .

Xét  ↔.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và nghịch biến trên khoảng .

Hoạt động 2: 

a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x3.

b) Xét dấu của đạo hàm f'(x) = 3x2.

c) Phương trình f'(x) = 0 có bao nhiêu nghiệm?

Trả lời:

a)

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có f'(x) = 3x2;

f'(x) = 0 ⇔ 3x2 = 0 ⇔ x = 0.

Ta có bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên ℝ.

b) Ta có f'(x) = 3x2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

c) Phương trình f'(x) = 0 có 1 nghiệm là x = 0.

Luyện tập, vận dụng 3: Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$  nghịch biến trên nửa khoảng (– ∞; 0] và đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞).

Trả lời:

Tập xác định .

Ta có: .

Xét  ↔ .

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số  nghịch biến trên nửa khoảng  và đồng biến trên nửa khoảng .

Luyện tập, vận dụng 4: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$.

Trả lời:

• Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{– 2}.

• Ta có $y\text{'}={\left(\frac{2x-1}{x+2}\right)}^{\prime }=\frac{2(x+2)-(2x-1)}{{(x+2)}^2}=\frac{5}{{(x+2)}^2}$  với x ≠ – 2.

y' > 0 với mọi x ≠ – 2 (do (x + 2)2 > 0 với mọi x ≠ – 2). 

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2), (– 2; + ∞).

II. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số

Hoạt động 3: Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) = – x3 – 3x2 + 3 ở Hình 3, hãy so sánh:

a) f(– 2) với mỗi giá trị f(x), ở đó x ∈ (– 3; – 1) và x ≠ – 2;

b) f(0) với mỗi giá trị f(x), ở đó x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0.

Trả lời:

a. Nhận xét: Ta thấy rằng  với mọi  và .

b. Tương tự: Ta thấy rằng  với mọi  và .

Hoạt động 4: Quan sát các bảng biến thiên dưới đây và cho biết:

a) x0 có là điểm cực đại của hàm số f(x) hay không;

b) x1 có là điểm cực tiểu của hàm số h(x) hay không.

Trả lời:

a) Xét khoảng (a; b) chứa điểm x0. Quan sát bảng biến thiên của hàm số f(x) ta thấy f(x) < f(x0) với mọi x ∈ (a; b) và x ≠ x0. Vậy x = x0 là điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Xét khoảng (a; b) chứa điểm x1. Quan sát bảng biến thiên của hàm số h(x) ta thấy h(x) > h(x1) với mọi x ∈ (a; b) và x ≠ x1. Vậy x = x1 là là điểm cực tiểu của hàm số h(x).

Luyện tập, vận dụng 5: Tìm điểm cực trị (nếu có) của mỗi hàm số sau:

a) y = x4 – 32x + 1;

b) $y=\frac{3x+5}{x-1}$

Trả lời:

a. Tập xác định .

Ta có: .

Xét  ↔

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại .

b. Tập xác định .

Ta có: .

Xét:  với

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số không có điểm cực trị.

Bài tập

Bài tập 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; + ∞).

B. (– 1; 0).

C. (– 1; 1).

D. (0; 1).

Đáp án: D

Giải thích:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy f'(x) > 0 với mọi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (0; 1).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1), (0; 1).

Bài tập 2: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 2.

B. 3.

C. – 4.

D. 0.

Đáp án: C

Giải thích: Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3 và giá trị cực tiểu của hàm số bằng – 4. 

Bài tập 3: Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a) y = – x3 + 2x2 – 3;

b) y = x4 + 2x2 + 5;

c) $y=\frac{3x+1}{2-x}$;

d) $y=\frac{x^2-2x}{x+1}$

Trả lời:

a) Tập xác định: .

Ta có: .

Xét  ↔

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và nghịch biến trên khoảng  và .

b) Tập xác định: .

Ta có: .

Xét  ↔

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và  và nghịch biến trên khoảng  và .

c) Tập xác định: .

Ta có: .

Xét  với

Ta có bảng biến thiên sau: 

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và

1. Tập xác định: .

Ta có: .

Xét  ↔ .

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và  và nghịch biến trên khoảng  và .

Bài tập 4: Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10;

b) y = – x4 – 2x2 + 9;

c) y = x + $\frac{1}{x}$.

Trả lời:

a)

• Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

• Ta có y' = 6x2 + 6x – 36;

          y' = 0 ⇔ 6x2 + 6x – 36 = 0 ⇔ x = – 3 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại tại x = – 3.

b) y = – x4 – 2x2 + 9

• Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

• Ta có y' = – 4x3 – 4x;

          y' = 0 ⇔ – 4x3 – 4x = 0 ⇔ x3 + x = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.

c) y = x + $\frac{1}{x}$.

• Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{0}.

• Ta có y' = $1-\frac{1}{x^2}$ với x ≠ 0;

             y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 và đạt cực đại tại điểm x = – 1.

Bài tập 5: Cho hai hàm số y = f(x) = x4 – 2x2 + 2, y = g(x) = $-\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3+x^2-3$ có đồ thị lần lượt được cho ở Hình 6a, Hình 6b. Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của mỗi hàm số đó.

Trả lời:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng , ,  và nghịch biến trên khoảng , .

Hàm số đạt cực đại tại  và . Hàm số đạt cực tiểu tại  và .

b) Hàm số đồng biến trên khoảng ,  và nghịch biến trên khoảng , .

Hàm số đạt cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại  và .

Bài tập 6: Thể tích V (đơn vị: cm3) của 1 kg nước tại nhiệt độ T (đơn vị: °C) với 0 ≤ T ≤ 30 được tính bởi công thức sau:

V(T) = 999,87 – 0,06426T + 0,0085043T2 – 0,0000679T3.

(Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)

Hỏi thể tích V(T) với 0 ≤ T ≤ 30, giảm trong khoảng nhiệt độ nào?

Trả lời:

Ta có V(T) = 999,87 – 0,06426T + 0,0085043T2 – 0,0000679T3 với T ∈ [0; 30].

V'(T) = – 0,06426 + 0,0170086T – 0,0002037T2

V'(T) = 0 ⇔ T ≈ 4 hoặc T ≈ 79,5. Vì T ∈ [0; 30] nên T ≈ 4.

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy thể tích V(T) giảm trong khoảng nhiệt độ từ 0°C đến 4°C.

Bài tập 7: Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm t = 0 (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm t = 126 (s), cho bởi hàm số sau:

v(t) = 0,001302t3 – 0,09029t2 + 23,

(v được tính bằng ft/s, 1 feet = 0,3048 m)

(Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)

Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?

Trả lời:

Tập xác định: .

Ta có: .

Xét  ↔

Vậy gia tốc tàu con thoi tăng trong khoảng 45,6s đầu tiên.