Giải SGK Toán 12 Cánh Diều Bài tập cuối chương I

Bài tập 1: Cho hàm số y = f(x) = $\frac{1}{4}{x}^4-x^3+x^2+1$ có đạo hàm trên ℝ và hàm số y = f'(x) có đồ thị hàm số như Hình 31.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng:

A. (– ∞; 0).

B. (0; 1).

C. (0; 2).

D. (1; 2). 

Đáp án: B

Giải thích: Quan sát Hình 31, ta thấy trên các khoảng (0; 1) và (2; + ∞), đồ thị hàm số y = f'(x) nằm phía trên trục Ox, tức là f'(x) > 0 với mọi x ∈ (0; 1) ∪ (2; + ∞).

Vậy hàm số y = f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0; 1) và (2; + ∞).

Bài tập 2: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{4x+4}{x^2+2x+1}$ là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Đáp án: C

Giải thích:

Tập xác định: .

, . Do đó đường thẳng  là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

, . Do đó đường thẳng  là đườn tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tổng 2 đường tiệm cận.

Bài tập 3: Hàm số nào có đồ thị như Hình 32?

A. y = – x3 + 3x – 2.

B. y = – x3 – 2.

C. y = – x3 + 3x2 – 2.

D. y = x3 – 3x – 2.

Đáp án: C

Giải thích: Ta thấy đồ thị hàm số ở Hình 32 đi qua các điểm (1; 0), (2; 2), khi đó ta có y(1) = 0 và y(2) = 2, thay vào các hàm số đã cho, ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Bài tập 4: Đường cong ở Hình 33 là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Đáp án: D

Giải thích: Ta thấy đồ thị hàm số ở Hình 33 có tiệm cận ngang là đường thẳng y = – 1; tiệm cận đứng là đường thẳng x = – 1 và đi qua gốc tọa độ O(0; 0). Trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án D thỏa mãn.

Bài tập 5: Các đồ thị hàm số ở Hình 34a, Hình 34b đều có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang (hoặc tiệm cận xiên). Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

Trả lời:

- Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 34a, ta thấy đường thằng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (đường màu xanh đi qua 2 điểm   và ).

Trong các đáp án đã cho, xét hàm số ở đáp án c, ta thấy:

; . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

Ta có:

, . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thi hàm số .

Vậy đồ thị hàm số ở Hình 34a là đồ thị của hàm số .

- Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 34b, ta thấy đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, đường thẳng  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Trong các đáp án còn lại, ta thấy hàm số ở đáp án a thỏa mãn do:

; ;

; .

Vậy đồ thị hàm số ở Hình 34b là đồ thị của hàm số .

Bài tập 6: Tìm các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị mỗi hàm số sau:

Trả lời:

a) $y=\frac{5x+1}{3x-2}$

Tập xác định của hàm số là $R\backslash \left\{\frac{2}{3}\right\}$.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{5x+1}{3x-2}$= $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{5+\frac{1}{x}}{3-\frac{2}{x}}$= $\frac{5}{3}$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{5x+1}{3x-2}$= $\frac{5}{3}$. Do đó, đường thẳng $y=\frac{5}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to {\frac{2}{3}}^{-}}{\lim }$y =$\underset{x\to {\frac{2}{3}}^{-}}{\lim }$$\frac{5x+1}{3x-2}$= -$\infty$; $\underset{x\to {\frac{2}{3}}^{+}}{\lim }$y =$\underset{x\to {\frac{2}{3}}^{+}}{\lim }$$\frac{5x+1}{3x-2}$= +$\infty$. Do đó, đường thẳng $x=\frac{2}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) $y=\frac{2x^3-3x}{x^3+1}$ 

Tập xác định của hàm số là ℝ \{– 1}.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^3-3x}{x^3+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{3}{x^2}}{1+\frac{1}{x^3}}=2$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^3-3x}{x^3+1}=2$. Do đó đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{2x^3-3x}{x^3+1}=+\infty$; $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2x^3-3x}{x^3+1}=-\infty$.

Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 

c) $y=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$

Tập xác định của hàm số là (– ∞; – 2) ∪ (2; + ∞).

Ta có 

Do đó, các đường thẳng y = 1 và y = – 1 là các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có

Do đó, các đường thẳng x = – 2 và x = 2 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài tập 7: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:

Trả lời:

a) Tập xác định: .

Ta có ; . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có ; . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: .

Ta có ; . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có ; . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Tập xác định: .

Ta có ; . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có ; . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) f(x) = 2x3 – 6x trên đoạn [– 1; 3];

b) f(x) = $\frac{x^2+3x+6}{x+2}$ trên đoạn [1; 5];

c) $f\left(x\right)=\frac{\ln (x+1)}{x+1}$ trên đoạn [0; 3];

d) f(x) = 2sin 3x + 7x + 1 trên đoạn $\left[\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$. 

Trả lời:

a) Ta có f'(x) = 6x2 – 6. Khi đó trên khoảng (– 1; 3), f'(x) = 0 khi x = 1.

f(– 1) = 4, f(1) = – 4, f(3) = 36.

Vậy $\underset{[-1;3]}{max}$f(x) = 36 tại x = 3, $\underset{[-1;3]}{min}$f(x) = -4 tại x = 1.

b) Ta có f'(x) = $\frac{x^2+4x}{{(x+2)}^2}$. Khi đó trên khoảng (1; 5), không tồn tại x để f'(x) = 0.

f(1) = $\frac{10}{3}$, f(5) = $\frac{46}{7}$.

Vậy $\underset{[1;5]}{max}$f(x) = $\frac{46}{7}$ tại x = 5, $\underset{[1;5]}{min}$f(x) = $\frac{10}{3}$ tại x = 1.

c) Ta có f'(x) = $\frac{1-\ln (x+1)}{{(x+1)}^2}$. Khi đó trên khoảng (0; 3), f'(x) = 0 khi x = e – 1.

f(0) = 0, f(e – 1) = $\frac{1}{e+1}$, f(3) = $\frac{\ln 4}{4}$.

Vậy $\underset{[0;3]}{max}$f(x) = $\frac{\ln 4}{4}$ tại x = 3, $\underset{[0;3]}{min}$f(x) = 0 tại x = 0.

d) Ta có f'(x) = 6cos 3x + 7. Khi đó trên khoảng $\left(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, ta có f'(x) > 0.

$f\left(\frac{-\pi }{2}\right)=3-\frac{7\pi }{2}$, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{7\pi }{2}-1$

Vậy $\underset{\left[\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]}{max}$f(x) = $\frac{7\pi }{2}-1$ tại x = $\frac{\pi }{2}$, $\underset{\left[\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]}{min}$f(x) = 3 - $\frac{7\pi }{2}$ tại x = -$\frac{\pi }{2}$.

Bài tập 9: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = x3 – 3x2 + 2;

b) y = – x3 + 3x2 – 6x;

c) $y=\frac{3x-2}{x-2}$;

d) $y=\frac{x}{2x+3}$;

e) $y=\frac{x^2+2x+4}{x}$;

g) $y=\frac{x^2+4x+3}{x+2}$.

Trả lời:

a) 

1. Tập xác định: .

2. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: , .
• ; ↔ hoặc 
• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng  và ; nghịch biến trê khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại  đạt cực tiểu tại 

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: .
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành: , .
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: , , ,  và .

Vậy đồ thị hàm số được cho như hình vẽ trên.

 b) 

1. Tập xác định: .

2. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: , .
•  với .
• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị:

• Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ .
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm , , .

Vậy đồ thị hàm số được cho như hình vẽ trên.

c) 

1. Tập xác định: .

2. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

, . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

, . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• , với .
• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng  và .

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: .
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành: .
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: , , ,  và .
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm  của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số được cho như hình vẽ trên.

d) 

1. Tập xác định: .

2. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

, . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

, . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• , với .
• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng  và .

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị:

• Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ .
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm , , , .
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm  của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số được cho như hình vẽ trên.

e) 

1. Tập xác định: .

2. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: 

, .

, . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

, . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• ;  ↔  ↔  (thỏa mãn) hoặc  (thỏa mãn).
• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng  và ; hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng  và .

Hàm số đạt cực đại tại , ; đạt cực tiểu tại , .

3. Đồ thị:

• Đồ thị hàm số không cắt các trục tọa độ.
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm , ,  và .
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm  của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số được cho như hình vẽ trên.

f) 

1. Tập xác định: .

2. Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: 

, .

, . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

, . Do đó, đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

•  với .
• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng  và .

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: .
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành: , .
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: , ,  và .
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm  của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số được cho như hình vẽ trên.

Bài tập 10: Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là 384 cm2. Sau khi để lề trên và lề dưới đều là 3 cm, để lề trái và lề phải đều là 2 cm. Phần còn lại của trang sách được in chữ. Kích thước tối ưu của trang sách là bao nhiêu để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất?

Trả lời:

Gọi x (cm) là chiều rộng của trang sách.

Khi đó, chiều dài của trang sách là $\frac{384}{x}$ (cm).

Sau khi để lề thì phần in chữ có dạng hình chữ nhật có chiều rộng là x – 4 (cm) và chiều dài là $\frac{384}{x}$- 6 (cm).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 4 < x < 64.

Diện tích phần in chữ trên trang sách là

S(x) = (x - 4)$\left(\frac{384}{x}-6\right)$= $\frac{-6x^2+408x-1536}{x}$ (cm2).

Xét hàm số S(x) = $\frac{-6x^2+408x-1536}{x}$ với x ∈ (4; 64).

Ta có S'(x) = $\frac{-6x^2+1536}{x^2}$ < 0;

S'(x) = 0 ⇔ – 6x2 + 1 536 = 0 ⇔ x = – 16 hoặc x = 16.

Khi đó trên khoảng (4; 64), S'(x) = 0 khi x = 16.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng (4; 64), hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 216 tại x = 16. Khi đó, $\frac{384}{16}=24$.

Vậy kích thước tối ưu của trang sách là 16 × 24 (cm) thì in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất.

Bài tập 11: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (Hình 35). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.

Trả lời:

Giả sử chiều dài từng mặt của ba mặt hàng rào song song nhau là  (m).

Chi phí để làm ba mặt hàng rào song song là:  (đồng).

Chi phí để làm mặt hàng rào song song với bờ sông là:  (đồng).

Chiều dài của mặt hàng rào song song với bờ sông là:

 (m)

Rõ ràng,  phải thỏa mãn điều kiện .

Giả sử diện tích hàng rào không đáng kể, khi đó diện tích hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là:  (m2)

Xét hàm số  với 

Ta có: 

Trên khoảng ,  khi .

Ta có bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng , hàm số  đạt giá trị lớn nhất bằng 6250 tại .

Vậy diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là 6250 m2.

Bài tập 12: Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như Hình 36 (bờ sông là đường thẳng CD không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Trả lời:

Dựng các đường cao AE và BF của hình thang cân ABCD như hình vẽ trên.

Vì ABCD là hình thang cân nên DE = FC và EF = AB = a.

Đặt DE = FC = x (m) (x > 0). 

Ta có DC = DE + EF + FC = x + a + x = 2x + a.

Theo định lí Pythagore, ta suy ra AE = $\sqrt{A{D}^2-D{E}^2}$= $\sqrt{a^2-x^2}$ (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < a.

Diện tích của hình thang cân ABCD là

S = $\frac{1}{2}$(AB + CD)AE = $\frac{1}{2}$(a + 2x + a)$\sqrt{a^2-x^2}$ = (a + x)$\sqrt{a^2-x^2}$ (m2).

Xét hàm số S(x) = (a + x)$\sqrt{a^2-x^2}$ với x ∈ (0; a).

Ta có S'(x) = $\frac{-2x^2-ax+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}$;

          S'(x) = 0 ⇔ – 2x2 – ax + a2 = 0 ⇔ (x + a)(a – 2x) = 0 ⇔ x = – a hoặc x = $\frac{a}{2}$.

Khi đó trên khoảng (0; a), S'(x) = 0 khi x = $\frac{a}{2}$.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$ tại $x=\frac{a}{2}$.

Vậy bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là $\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$ (m2).

Bài tập 13: Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm A, B của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA' = 500 m, BB' = 600 m và A'B' = 2 200 m (Hình 37). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A'B' sao cho tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Trả lời:

Đặt  (m).

Suy ra  (m)

Rõ ràng,  phải thỏa mãn điều kiện .

Áp dụng định lý Pythagore, ta tính được:

 (m);

 (m).

Tổng khoảng cách từ hai vị trí ,  đến vị trí  là:

 với .

Ta có: ;

Trên khoảng , ta thấy  khi .

Bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy  đạt giá trị lớn nhất bằng  tại . Vậy giá trị nhỏ nahast của tổng khoảng cách cần tìm là  m.

Bài tập 14: Một công ty kinh doanh bất động sản có 20 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng/1 tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu tiền một tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất?

Trả lời:

Cứ tăng thêm 200 nghìn đồng vào giá thuê một căn hộ trên một tháng thì có một căn hộ bị bỏ trống.

Gọi số lần tăng 200 nghìn đồng vào giá thuê một căn hộ trên một tháng là x (x ∈ ℕ*).

Khi đó x cũng là số căn hộ bị bỏ trống.

Tổng số tiền công ty thu được lúc này là

T(x) = (2 000 + 200x)(20 – x) = 40 000 + 2 000x – 200x2 (nghìn đồng).

Xét hàm số T(x) = 40 000 + 2 000x – 200x2 với x ∈ ℕ*.

Ta có T'(x) = 2 000 – 400x;

          T'(x) = 0 ⇔ 2 000 – 400x = 0 ⇔ x = 5 (thỏa mãn).

Bảng biến thiên của hàm số T(x) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số T(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 45 000 khi x = 5.

Khi đó, số tiền tăng lên khi cho thuê một căn hộ là 200 ∙ 5 = 1 000 nghìn đồng = 1 triệu đồng.

Vậy công ty nên cho thuê mỗi căn hộ 3 triệu đồng/1 tháng thì tổng số tiền thu được là lớn nhất.