Giải SGK Toán 12 Cánh Diều Bài 2: Giá trị lớn nhất và giái trị nhỏ nhất của hàm số

Câu hỏi khởi động: Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh 6 dm. Bác Ánh cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cùng độ dài cạnh bằng x (dm), rồi gập tấm nhôm lại như Hình 7 để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp. Gọi V là thể tích của khối hộp đó.

V được tính theo x bởi công thức nào? Có thể tìm giá trị lớn nhất của V bằng cách nào?

Trả lời:

Ta thấy độ dài x (dm) của cạnh hình vuông bị cắt phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 3.

Từ giả thiết suy ra kích thước của khối hộp chữ nhật là x, 6 – 2x, 6 – 2x (dm).

Thể tích của khối hộp là V(x) = x(6 – 2x)2 (dm2)    với 0 < x < 3.

Ta phải tìm x0 ∈ (0; 3) sao cho V(x0) có giá trị lớn nhất.

Ta có V'(x) = (6 – 2x)2 – 4x(6 – 2x) = (6 – 2x)(6 – 6x) = 12(3 – x)(1 – x).

Trên khoảng (0; 3), V'(x) = 0 khi x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số V'(x) như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng (0; 3), hàm số V(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 16 tại x = 1.

Vậy để khối hộp tạo thành có thể tích lớn nhất thì x = 1 (dm).

I. Định nghĩa

Hoạt động 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [– 1; 1] và có đồ thị là đường cong ở Hình 8.

Quan sát đồ thị và cho biết:

a) Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ lớn nhất;

b) Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất.

Trả lời:

a. Điểm B là điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ lớn nhất.

b. Điểm C là điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất

Luyện tập, vận dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{9-x^2}$ trên đoạn [– 3; 3]

Trả lời:

Do 0 ≤ x2 ≤ 9 với mọi x ∈ [– 3; 3] nên – 9 ≤ – x2 ≤ 0 với mọi x ∈ [– 3; 3], khi đó ta suy ra 0 ≤ 9 – x2 ≤ 9 với mọi x ∈ [– 3; 3], do đó $0\le \sqrt{9-x^2}\le 3$  với mọi x ∈ [– 3; 3], tức là 0 ≤ f(x) ≤ 3 với mọi x ∈ [– 3; 3].

Ta có f(0) = 3 nên $\underset{[-3;3]}{max}$f(x) = 3; f(3) = f(– 3) = 0 nên $\underset{[-3;3]}{min}$f(x) = 0.

II. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm

Hoạt động 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x-1}$ với x > 1

a) Tính $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right),\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên khoảng (1; + ∞).

c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f(x) trên khoảng (1; +∞).

Trả lời:

a) Ta có:

b) Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng  là:

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi  và không có giá trị lớn nhất.

Luyện tập, vận dụng 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $y=\frac{2x-5}{x-1}$ trên nửa khoảng (1; 3]

Trả lời:

• Xét hàm số $y=\frac{2x-5}{x-1}$  với x ∈ (1; 3].

• Ta có: $y\text{'}=\frac{3}{{(x-1)}^2}$ .

          y' > 0 với mọi x ∈ (1; 3].

Ngoài ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$y = -$\infty$, $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }$y = y(3) = $\frac{1}{2}$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra $\underset{(1;3]}{max}$y = $\frac{1}{2}$ tại x = 3 hàm số y không có giá trị nhỏ nhất.

Hoạt động 3: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 – 6x, x ∈ [– 2; 2] có đồ thị là đường cong ở Hình 9

a) Dựa vào đồ thị ở Hình 9, hãy cho biết các giá trị M = $\underset{[-2;2]}{max}$f(x), m = $\underset{[-2;2]}{min}$f(x) bằng bao nhiêu.

b) Giải phương trình f'(x) = 0 với x ∈ (– 2; 2).

c) Tính các giá trị của hàm số f(x) tại hai đầu mút x = – 2; x = 2 và tại các điểm x ∈ (–2; 2) mà ở đó f'(x) = 0.

d) So sánh M (hoặc m) với số lớn nhất (hoặc số bé nhất) trong các giá trị tính được ở câu c.

Trả lời:

a) Ta có:

b) Ta có:

Xét  ↔

c) Ta có:

d) Ta có:

Luyện tập, vận dụng 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin 2x – 2x trên đoạn [$\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}$].

Trả lời:

• Ta có f'(x) = 2cos 2x – 2. Khi đó, trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$, f'(x) = 0 ⇔ x = π.

• $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\pi ,f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=-3\pi$, f(π) = – 2π.

Vậy $\underset{[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]}{max}$f(x) = $-\pi$  tại x = $\frac{\pi }{2}$ , $\underset{[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]}{min}$f(x) = $-3\pi$ tại x = $\frac{3\pi }{2}$ .

Bài tập

Bài tập 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f'(x) = sin x – 2 023, ∀ x ∈ ℝ thì giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [1; 2] bằng

A. f(0).

B. f(1).

C. f(1,5).

D. f(2).

Đáp án: B

Giải thích:

Do  với  nên hàm số nghịch biến và liên tục trên ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  bằng .

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{4}{1+x^2}$;

b) $f\left(x\right)=x-\frac{3}{x}$ trên nửa khoảng (0; 3].

Trả lời:

a) Ta có f'(x) = $\frac{-8x}{{(1+x^2)}^2}$ . Ta có f'(x) = 0 khi x = 0.

Ngoài ra $\underset{x\to \infty }{\lim }$f(x) =0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy maxf(x) = 4 tại x = 0.

b) Xét hàm số $f\left(x\right)=x-\frac{3}{x}$  với x ∈ (0; 3].

Ta có f'(x) = $1+\frac{3}{x^2}$ . Khi đó, trên nửa khoảng (0; 3], f'(x) > 0.

Ngoài ra $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$, $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)=2$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy maxf(x) = 2 tại x = 3.

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=x+\frac{4}{x}$ trên khoảng (0; + ∞);          

b) f(x) = x3 – 12x + 1 trên khoảng (1; + ∞).

Trả lời:

a) Ta có:

Xét  ↔

Ta có:

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng  khi .

b) Ta có:

Xét  ↔

Ta có:

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng  khi .

Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ trên đoạn [– 1; 2];

b) f(x) = x4 – 2x3 + x2 + 1 trên đoạn [– 1; 1];

c) f(x) = ex(x2 – 5x + 7) trên đoạn [0; 3];

d) f(x) = cos 2x + 2x + 1 trên đoạn $\left[\frac{-\pi }{2};\pi \right]$ .

Trả lời:

a) Ta có f'(x) = 3x2 – 3x. Khi đó, trên khoảng (– 1; 2), f'(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 1.

f(– 1) = $-\frac{5}{2}$ , f(0) = 0, f(1) = $-\frac{1}{2}$ , f(2) = 2.

Vậy $\underset{[-1;2]}{max}$f(x) = 2 tại x = 2, $\underset{[-1;2]}{min}$f(x) = $-\frac{5}{2}$ tại x = – 1.

b) Ta có f'(x) = 4x3 – 6x2 + 2x. Khi đó, trên khoảng (– 1; 1), f'(x) = 0 khi x = $\frac{1}{2}$ hoặc x = 0.

f(– 1) = 5, $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{17}{16}$ , f(0) = 1, f(1) = 1.

Vậy $\underset{[-1;1]}{max}$f(x) = 5 tại x = – 1, $\underset{[-1;1]}{min}$f(x) = 1tại x = 0 hoặc x = 1.

c) Ta có f'(x) = ex(x2 – 5x + 7) + ex(2x – 5) = ex(x2 – 3x + 2) = ex(x – 1)(x – 2).

Khi đó, trên khoảng (0; 3), f'(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 2.

f(0) = 7, f(1) = 3e, f(2) = e2, f(3) = e3.

Vậy $\underset{[0;3]}{max}$f(x) = e3 tại x = 3, $\underset{[0;3]}{min}$f(x) = 7 tại x = 0.

d) Ta có f'(x) = – 2sin 2x + 2. Khi đó trên khoảng $\left(\frac{-\pi }{2};\pi \right)$, f'(x) = 0 khi x = $\frac{\pi }{4}$.

$f\left(\frac{-\pi }{2}\right)=-\pi$, f(π) = 2 + 2π, $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=1+\frac{\pi }{2}$.

Vậy $\underset{\left[\frac{-\pi }{2};\pi \right]}{\max }f\left(x\right)=2+2\pi$ tại x = π, $\underset{\left[\frac{-\pi }{2};\pi \right]}{\min }f\left(x\right)=-\pi$ tại x = $\frac{-\pi }{2}$.

Bài tập 5: Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình

s(t) = – t3 + 6t2 + t + 5,

trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?

Trả lời:

Ta có:

Xét:  có đồ thị là một parabol nên trong 5 s đầu tiên, vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng  tại  (s).

Bài tập 6: Người ta bơm xăng vào bình của một xe ô tô. Biết rằng thể tích V (lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng t (phút) được cho bởi công thức

V(t) = 300(t2 – t3) + 4 với 0 ≤ t ≤ 0,5.

(Nguồn: R.I Charles et al., Algebra 2, Pearson)

a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?

b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?

c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi V'(t) là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm t với 0 ≤ t ≤ 0,5. Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.

Trả lời:

a) Ta có V(0) = 4. Do đó, ban đầu trong bình xăng có 4 lít xăng.

b) Sau khi bơm 30 giây, tức 0,5 phút thì bình xăng đầy.

Ta có V(0,5) = 41,5. Vậy dung tích của bình xăng trong xe là 41,5 lít.

c) Ta có V'(t) = 300(2t – 3t2) với t ∈ [0; 0,5].

Có V''(t) = 300(2 – 6t). Khi đó, trên khoảng (0; 0,5), V"(t) = 0 khi t = $\frac{1}{3}$ .

V'(0) = 0, $V\text{'}\left(\frac{1}{3}\right)=100$ , V'(0,5) = 75.

Do đó, $\underset{\left[0;0,5\right]}{max}$V'(t) = 100tại t = $\frac{1}{3}$.

Vậy xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm $\frac{1}{3}$ giây kể từ khi bắt đầu bơm có tốc độ tăng.

Bài tập 7: Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức

V = k(R – r)r2 với 0 ≤ r < R,

trong đó k là hằng số, R là bán kính bình thường của khí quản, r là bán kính khí quản khi ho (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?

Trả lời:

Ta có:

Xét  ↔

Ta có ;

Vậy bán kính của khí quản khi ho bằng  bàn kính khí quản lúc bình thường thì tốc độ không khí đi vào là lớn nhất.