Giải SGK Toán 12 Cánh Diều Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Câu hỏi khởi động: Các mũi tên chỉ đường trong khu tham quan vườn thú (Hình 1) gợi nên hình ảnh các vectơ trong không gian.

Vectơ trong không gian là gì? Các phép toán về vectơ trong không gian được thực hiện như thế nào?

Trả lời:

Sau bài học này, ta trả lời được câu hỏi trên như sau:

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Các phép toán về vectơ trong không gian:

- Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

+ Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .

+ Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .

+ Quy tắc hình hộp: Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\prime }}=\overrightarrow{{\mathrm{AC}}^{\prime }}$ .

+ Quy tắc hiệu: $\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ .

- Tích của một số với một vectơ trong không gian: …

- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: …

I. Khái niệm vectơ trong không gian

Hoạt động 1: Trong mặt phẳng, hãy nêu khái niệm về:

a) Vectơ, giá và độ dài của vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng;

b) Vectơ-không;

c) Hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau.

Trả lời:

Trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau:

a) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ cùng hướng khi chúng có cùng chiều từ điểm đầu đến điểm cuối.

b) Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{0}$ .

c) Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$  được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$ , kí hiệu là $-\overrightarrow{a}$ . Hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $-\overrightarrow{a}$  được gọi là hai vectơ đối nhau.

Luyện tập, vận dụng 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho mỗi vectơ đó:

a) Bằng vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ ;

b) Là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ .

Trả lời:

a) Do các vectơ $\overrightarrow{B{B}^{\prime }},\overrightarrow{C{C}^{\prime }},\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$  và AA' = BB' = CC' = DD' (tính chất hình hộp) nên $\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\prime }}=\overrightarrow{{\mathrm{BB}}^{\prime }}=\overrightarrow{{\mathrm{CC}}^{\prime }}=\overrightarrow{{\mathrm{DD}}^{\prime }}$ .

Vậy ba vectơ $\overrightarrow{B{B}^{\prime }},\overrightarrow{C{C}^{\prime }},\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$  có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ .

b) Do các vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }B},\overrightarrow{C^{\prime }C},\overrightarrow{D^{\prime }D}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$  và AA' = BB' = CC' = DD' (tính chất hình hộp) nên ba vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }B},\overrightarrow{C^{\prime }C},\overrightarrow{D^{\prime }D}$  là ba vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ .

II. Các phép toán vectơ trong không gian

Hoạt động 2: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ . Lấy một điểm A tùy ý.

a) Vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ .

b) Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$  bằng vectơ nào trong Hình 4?

Trả lời:

a) Từ điểm , ta vecto đường thẳng song song với giá của vecto , trên đường thẳng này, ta lấy điểm  sao cho hai vecto  và  cùng hướng, đồng thời

Vậy ta được . Tương tự ta vẽ vecto .

b) Ta có: .

Vậy tổng của hai vecto  và  bằng vecto .

Luyện tập, vận dụng 2: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}$

Trả lời:

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ .

Do đó,

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$

Hoạt động 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 6).

Tìm liên hệ giữa $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ và $\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ .

Từ đó, hãy suy ra rằng

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Trả lời:

Vì  là hình hộp nên  và  là các hình bình hành.

Do  là hình bình hành nên ta có: .

Do  là hình bình hành nên ta có: .

Từ đó, suy ra .

Vậy .

Luyện tập, vận dụng 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$ .

Trả lời:

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ .

Do đó: $\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$ .

Hoạt động 4: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ . Lấy một điểm M tùy ý.

a) Vẽ $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{b}$ .

b) Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $-\overrightarrow{b}$  bằng vectơ nào trong Hình 7?

Trả lời:

a. Như Hình 7.

• b. Dựng hình bình hành , khi đó ta có:

Vậy tổng của hai vecto  và  bằng vecto .

Luyện tập, vận dụng 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}-\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.

Trả lời:

Ta có $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}-\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\left(-\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}\right)+\left(-\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right)$

                                        $=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$

                                        $=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$

Hoạt động 5: Nêu định nghĩa tích của một số thực k ≠ 0 và vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$  trong mặt phẳng.

Trả lời:

- Cho số thực  và vecto . Tích của một số  với vecto  là một vecto, ký hiệu là , được xác định như sau: Cùng hướng với vecto  nếu , ngược hướng với vecto  nếu ; Có độ dài bằng .

Luyện tập, vận dụng 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$ ;

b) $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$ .

Trả lời:

a) Vì N là trung điểm của BC nên với điểm M, ta có $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}\right)$.

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{MD}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}$.

Lại có M là trung điểm của AD nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$.

Từ đó ta suy ra 

Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$.

b) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC nên ta có:

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IM},\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IN}$.

Do đó, $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\left(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}\right)$.

Vì I là trung điểm MN nên $\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0}$.

Từ đó suy ra $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$.

Hoạt động 6: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Lấy một điểm O tùy ý.

a) Vẽ hai vectơ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$.

b) Khi đó, hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ có giá nằm trong cùng mặt phẳng (P) (Hình 10). Nêu định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ trong mặt phẳng (P).

Trả lời:

a. Như Hình 10.

b. Định nghĩa góc giữa hai vecto ,  trong mặt phẳng : Góc giữa hai vecto ,  là góc giữa hai tia ,  và được ký hiệu là .

Luyện tập, vận dụng 6: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{BD}$.

Trả lời:

Vì M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MN // BC và MN = $\frac{1}{2}$ BC. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Gọi I là trung điểm của BC. Ta có $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Từ đó suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BI}$.

Do đó, $\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{BI},\overrightarrow{BD}\right)=\widehat{IBD}$.

Vì ABCD là tứ diện đều nên tam giác BCD đều, suy ra $\widehat{IBD}=\widehat{CBD}=60°$.

Vậy $\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{BD}\right)=60°$.

Hoạt động 7: Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng 3 cm (Hình 12).

a) Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ .

b) Tính 

Trả lời:

a) Ta có: . Do đó, .

Vì  là hình lập phương nên  là hình vuông.

Suy ra . Vậy .

b) Theo định lý Pythagore, ta có:

 (cm)

Ta có:  (cm),  (cm),

Do đó, .

Luyện tập, vận dụng 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính $\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{D^{\prime }A}\cdot \overrightarrow{BC}$ .

Trả lời:

• Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=\left(\overrightarrow{D^{\prime }C},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=\widehat{C{D}^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{D}^{\prime }{C}^{\prime }}=45°$. Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=45°$.

Ta có $\left|\overrightarrow{A^{\prime }B}\right|=A^{\prime }B$ = $\sqrt{A{A^{\prime }}^2+A{B}^2}$ = $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$, $\left|\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right|=D^{\prime }{C}^{\prime }=a$.

Do đó, $\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ = $\left|\overrightarrow{A^{\prime }B}\right|\cdot \left|\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right)$ = $a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45°=a^2$.

• Ta có $\overrightarrow{D^{\prime }A}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BC}$.

Ta có: $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{B{C}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{C^{\prime }BC}$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C^{\prime }BC}=45°$. Vậy $\left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)=45°$.

Ta có $\left|\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\right|=A{D}^{\prime }$ = $\sqrt{D{D^{\prime }}^2+D{A}^2}$ = $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$, $\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=a$.

Do đó, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BC}$ = $\left|\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)$ = $a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45°=a^2$.

Vậy $\overrightarrow{D^{\prime }A}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BC}=-a^2$.

Bài tập

Bài tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ bằng vectơ nào dưới đây?

A. $\overrightarrow{A^{\prime }C}$.

B. $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}$.

C. $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

D. $\overrightarrow{C^{\prime }A}$.

Đáp án: A

Giải thích:

Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$.

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$;

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$.

Trả lời:

a) Theo quy tắc ba điểm, ta có: .

Do đó, .

b) Theo quy tắc ba điểm, ta có: .

Do đó, .

Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

a) $\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }};\overrightarrow{D^{\prime }A}\cdot \overrightarrow{BC}$ ;

b) Các góc $\left(\overrightarrow{A^{\prime }D},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right);\left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{BD}\right)$ .

Trả lời:

a)

• Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=\left(\overrightarrow{D^{\prime }C},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right)={\mathrm{CD\prime C\prime ^\backslash widehat\{CD\text{'}C\text{'}\}CD\prime C\prime }}^{}$

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{D}^{\prime }{C}^{\prime }}=45°$. Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=45°$.

Ta có $\left|\overrightarrow{A^{\prime }B}\right|=A^{\prime }B$ = $\sqrt{A{A^{\prime }}^2+A{B}^2}$ = $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$, $\left|\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right|=D^{\prime }{C}^{\prime }=a$.

Do đó, $\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ = $\left|\overrightarrow{A^{\prime }B}\right|\cdot \left|\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right)$ = $a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45°=a^2$.

• Ta có $\overrightarrow{D^{\prime }A}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BC}$.

Ta có: $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{B{C}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{C^{\prime }BC}$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra ${{\mathrm{C\prime BC^\backslash widehat\{C\text{'}BC\}C\prime BC}}^{}}^{}=45°$. Vậy $\left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)=45°$.

Ta có $\left|\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\right|=A{D}^{\prime }$ = $\sqrt{D{D^{\prime }}^2+D{A}^2}$ = $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$, $\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=a$.

Do đó, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BC}$ = $\left|\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)$ = $a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45°=a^2$.

Vậy $\overrightarrow{D^{\prime }A}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BC}=-a^2$.

b)

Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\prime }D},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=\left(\overrightarrow{B^{\prime }C},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=\; C\prime BD^\backslash widehat\{C\text{'}BD\}C\prime BD{}^{}$

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=45°$ . Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\prime }D},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=45°$ .

Ta có: $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{B{C}^{\prime }},\overrightarrow{BD}\right)=\widehat{C^{\prime }BD}$ .

Ta tính được BC' = BD = C'D = $a\sqrt{2}$  nên tam giác C'BD là tam giác đều.

Suy ra$C\prime BD^\backslash widehat\{C\text{'}BD\}\mathrm{C\prime BD^\backslash widehat\{C\text{'}BD\}C\prime BD\; =\; 60}°$ .

Vậy $\left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{BD}\right)=60°$ .

Bài tập 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh rằng $\overrightarrow{A^{\prime }C}=3\overrightarrow{A^{\prime }G}$.

Trả lời:

Vì  là trọng tâm tam giác  nên với điểm , ta luôn có:

 (quy tắc hình hộp).

Vì  là hình hộp nên  (quy tắc hình hộp).

Từ đó suy ra . Vậy .

Bài tập 5: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° (Hình 16). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3 000 N.

Trả lời:

Gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là các điểm sao cho

$\overrightarrow{E{A}_1}=\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{E{B}_1}=\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{E{C}_1}=\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{E{D}_1}=\overrightarrow{F_4}$ .

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° nên EA1, EB1, EC1, ED1 bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A1B1C1D1) một góc bằng 60°.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên A1B1C1D1 cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật A1B1C1D1.

Ta suy ra EO ⊥ (A1B1C1D1).

Do đó, góc giữa đường thẳng EA1 và mặt phẳng (A1B1C1D1) bằng góc EA1O.

Suy ra ${\mathrm{EA1O^\backslash widehat\{EA\_\{1\}O\}EA1O}}^{}=60°$ .

Ta có  nên EA1 = EB1 = EC1 = ED1 = 4 700.

Tam giác EOA1 vuông tại O nên EO = EA1 $\widehat{E{A}_{1}O}$  = 4 700 sin 60° = 2 350$\sqrt{3}$ .

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{E{A}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{A}_1},\overrightarrow{E{B}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{B}_1}$ ,$\overrightarrow{E{C}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{C}_1}$ , $\overrightarrow{E{D}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{D}_1}$ .

Vì O là trung điểm của A1C1 và B1D1 nên

$\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{O{B}_1}+\overrightarrow{O{D}_1}=\overrightarrow{0}$ .

Từ đó suy ra $\overrightarrow{E{A}_1}+\overrightarrow{E{B}_1}+\overrightarrow{E{C}_1}+\overrightarrow{E{D}_1}=4\overrightarrow{EO}$ .

Do đó, $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=4\overrightarrow{EO}$ .

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{P}$, ở đó $\overrightarrow{P}$ là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là

Vì trọng lượng của khung sắt là 3 000 N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là

$9400\sqrt{3}-3000\approx 13281$ (N).