Giải SGK Toán 12 Cánh Diều Bài 2: Tọa độ của vectơ

Câu hỏi khởi động: Bão Haiyan (Hải Yến) là một cơn bão mạnh đã đổ bộ vào nước ta những ngày đầu tháng 11 năm 2013.

Để theo dõi đường đi của bão và vận tốc gió, người ta sử dụng tọa độ của các vectơ chỉ vận tốc của những luồng gió xoáy vào tâm bão (Hình 18).

Tọa độ của vectơ trong không gian là gì? Làm thế nào để xác định được tọa độ của vectơ trong không gian?

Trả lời:

- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{u}$  là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$.

- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}$  tùy ý. Bộ ba số (a; b; c) duy nhất sao cho $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$ được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$  đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó ta viết $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$.

I. Tọa độ của một điểm

Hoạt động 1: Trong không gian, hãy vẽ:

a) Ba trục số Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và cắt nhau tại gốc O của mỗi trục.

b)

- Vectơ $\overrightarrow{i}$ xuất phát từ điểm gốc O, theo chiều dương của trục Ox và có độ dài bằng 1.

- Vectơ $\overrightarrow{j}$ xuất phát từ điểm gốc O, theo chiều dương của trục Oy và có độ dài bằng 1.

- Vectơ $\overrightarrow{k}$ xuất phát từ điểm gốc O, theo chiều dương của trục Oz và có độ dài bằng 1.

Trả lời:

1. b. 

Luyện tập, vận dụng 1: Một căn phòng với hệ tọa độ Oxyz được chọn như Hình 21. Cho biết bức tường phía sau của căn phòng nằm trong mặt phẳng tọa độ nào.

Trả lời:

Bức tường phía sau của căn phòng nằm trong mặt phẳng tọa độ (Oxz).

Hoạt động 2: Cho điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Gọi M1 là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) (Hình 22).

a) Trong mặt phẳng (Oxy) hãy cho biết:

- Hình chiếu H của điểm M1 trên trục hoành Ox ứng với số nào trên trục Ox?

- Hình chiếu K của điểm M1 trên trục tung Oy ứng với số nào trên trục Oy?

b) Hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz ứng với số nào trên trục Oz?

Trả lời:

a)

Hình chiếu H của điểm M trên trục hoành Ox ứng với số 4 trên trục Ox.

Hình chiếu K của điểm M trên trục tung Oy ứng với số 5 trên trục Oy.

b) Hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz ứng với số 3 trên trục Ox.

Luyện tập, vận dụng 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2; 4). Gọi H, K, P lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các trục Ox, Oy, Oz. Tìm tọa độ của các điểm H, K, P.

Trả lời:

- Hình chiếu của A(3;2;4) lên trục Ox là H(3;0;0).

- Hình chiếu của A(3;2;4) lên trục Oy là K(0;2;0).

- Hình chiếu của A(3;2;4) lên trục Oz là P(0;0;4).

II. Tọa độ của một vectơ

Hoạt động 3: Cho điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

a) Vẽ vectơ $\overrightarrow{OM}$ .

b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M.

Trả lời:

a) Các bước vẽ vectơ $\overrightarrow{OM}$  như sau:

- Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz.

- Lấy điểm M bất kì trong hệ tọa độ Oxyz.

- Nối O với M tạo thành vectơ $\overrightarrow{OM}$.

b) Cách xác định tọa độ của điểm M:

- Xác định hình chiếu M1 của điểm M trên mặt phẳng (Oxy). Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm hoành độ a, tung độ b của điểm M1.

- Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M.

Vậy M(a; b; c). 

Hoạt động 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}$ (Hình 28). Hãy xác định điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$ (Hình 29).

Trả lời:

Cách xác định điểm A:

- Từ gốc tọa độ O, dựng đường thẳng d song song với giá của vectơ $\overrightarrow{u}$.

- Trên d, lấy điểm A sao cho vectơ $\overrightarrow{OA}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ và .

Vậy ta được điểm A thỏa mãn $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$.

Luyện tập, vận dụng 4: Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{KA},\overrightarrow{A_{3}A}$ ở Hình 30.

Trả lời:

Trong Hình 30, ta có: , , mà  và .

Do đó,  và .

Hoạt động 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$(Hình 31). Lấy điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$.

a) Tìm hoành độ, tung độ và cao độ của điểm A.

b) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OH}$ qua vectơ $\overrightarrow{i}$; vectơ $\overrightarrow{OK}$ qua vectơ $\overrightarrow{j}$; vectơ $\overrightarrow{OP}$ qua vectơ $\overrightarrow{k}$.

c) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{u}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

Trả lời:

a) Ta có $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$, mà $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ nên $\overrightarrow{OA}=\left(a;b;c\right)$.

Do đó, A(a; b; c). Vậy điểm A có hoành độ a, tung độ b và cao độ c.

b) Ta có $\overrightarrow{OH}=a\overrightarrow{i};\overrightarrow{OK}=b\overrightarrow{j};\overrightarrow{OP}=c\overrightarrow{k}$.

c) Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{O{A}_1}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OK}$ và $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{OP}$.

Suy ra $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$.

Mà $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$. Do đó, $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$.

Luyện tập, vận dụng 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{k}$ và vectơ $\overrightarrow{v}=-7\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$. Hãy tìm tọa độ của:

a) Điểm B;

b) Vectơ $\overrightarrow{v}$.

Trả lời:

Hoạt động 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB­) (Hình 32).

a) Biểu diễn mỗi vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{k}$.

b) Tìm liên hệ giữa $\overrightarrow{AB}$ và (xB – xA)$\overrightarrow{i}$ + (yB – yA)$\overrightarrow{j}$+ (zB – zA)$\overrightarrow{k}$.

c) Từ đó, tìm tọa độ của vectơ ${AB}^{}$ .

Trả lời:

a) Vì điểm A có tọa độ là (xA; yA; zA) nên $\overrightarrow{OA}=\left(x_A;y_A;z_A\right)$ .

Do đó, $\overrightarrow{OA}=x_A\overrightarrow{i}+y_A\overrightarrow{j}+z_A\overrightarrow{k}$ .

Vì điểm B có tọa độ là (xB; yB; zB­) nên $\overrightarrow{OB}=\left(x_B;y_B;z_B\right)$ .

Do đó, $\overrightarrow{OB}=x_B\overrightarrow{i}+y_B\overrightarrow{j}+z_B\overrightarrow{k}$ .

b) Theo quy tắc hiệu ta có

c) Ta có ${AB}^{}$ = (xB – xA)$\overrightarrow{i}$ + (yB – yA)$\overrightarrow{j}$+ (zB – zA)$\overrightarrow{k}$.

Do đó, $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)$ .

Luyện tập, vận dụng 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A'(1; 0; 1), B'(2; 1; 2), D'(1; – 1; 1), C(4; 5; – 5). Tìm tọa độ đỉnh A của hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Trả lời:

Bài tập

Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}=\left(-1;4;2\right)$ và điểm A. Biết $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$. Tọa độ của điểm A là:

A. (1; 4; 2).

B. (– 1; 4; 2).

C. (1; – 4; – 2).

D. (– 1; – 4; – 2).

Đáp án: B

Giải thích:

Vì $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$, mà $\overrightarrow{u}=\left(-1;4;2\right)$, do đó $\overrightarrow{OA}=\left(-1;4;2\right)$.

Từ đó suy ra A(– 1; 4; 2).

Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là:

A. (– 2; – 1; 3).

B. (2; 1; 3).

C. (– 2; 0; 3).

D. (– 2; – 1; – 3).

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}=\left(-2\right)\overrightarrow{i}+\left(-1\right)\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$.

Do đó, $\overrightarrow{u}=\left(-2;-1;3\right)$.

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; – 1; 2) và B(4; – 3; 1). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:

A. (– 3; 2; 1).

B. (3; – 2; – 1).

C. (5; – 4; 3).

D. (3; – 4; – 1).

Đáp án: B

Giải thích:

Với A(1; – 1; 2) và B(4; – 3; 1), ta có

$\overrightarrow{AB}$ = (4 – 1; – 3 – (– 1); 1 – 2) = (3; – 2; – 1).

Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}=\left(4;2;3\right)$ và điểm A(1; 1; 1). Tọa độ điểm C thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}$ là:

A. (4; 2; 3).

B. (1; 1; 1).

C. (5; 3; 4).

D. (3; 1; 2).

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi tọa độ điểm C là (xC; yC; zC), ta có $\overrightarrow{AC}$  = (xC – 1; yC – 1; zC – 1).

Với $\overrightarrow{u}=\left(4;2;3\right)$ thì ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}$ 

Vậy C(5; 3; 4).

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(3; – 2 ; – 1). Gọi A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). Tìm toạ độ của các điểm A1, A2, A3.

Trả lời:

Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho A(– 2; 3; 4). Gọi H, K, P lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các trục Ox, Oy, Oz. Tìm toạ độ của các điểm H, K, P.

Trả lời:

Gọi H(x1; y1; z1), K(x2; y2; z2) và P(x3; y3; z3).

Với A(– 2; 3; 4), đặt xA = – 2, yA = 3, zA = 4. Ta có:

+ x1 = xA = – 2; y1 = 0; z1 = 0 (vì H nằm trên trục Ox). Do đó H(– 2; 0; 0).

+ y2 = yA = 3; x2 = 0; z2 = 0 (vì K nằm trên trục Oy). Do đó K(0; 3; 0).

+ z3 = zA = 4; x3 = 0; y3 = 0 (vì P nằm trên trục Oz). Do đó P(0; 0; 4).

Bài tập 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(4; 6; – 5), B(5; 7; – 4), C(5; 6; – 4), D'(2; 0; 2). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Trả lời:

Ta có $\overrightarrow{AB}$  = (5 – 4; 7 – 6; – 4 – (– 5)) = (1; 1; 1).

Gọi tọa độ của điểm D là (xD; yD; zD), ta có $\overrightarrow{DC}$ = (5 – xD; 6 – yD; – 4 – zD).

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành.

Do đó, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ . Suy ra 

Khi đó, D(4; 5; – 5).

Ta có $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$  = (2 – 4; 0 – 5; 2 – (– 5)) = (– 2; – 5; 7).

Gọi tọa độ của điểm A' là (xA'; yA'; zA'), ta có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ = (xA' – 4; yA' – 6; zA' – (– 5)).

Ta có 

Suy ra A'(2; 1; 2).

Gọi tọa độ của điểm B' là (xB'; yB'; zB'), ta có $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ = (xB' – 5; yB' – 7; zB' – (– 4)).

Ta có 

Suy ra B'(3; 2; 3).

Gọi tọa độ của điểm C' là (xC'; yC'; zC'), ta có $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ = (xC' – 5; yC' – 6; zB' – (– 4)).

Ta có 

Suy ra C'(3; 1; 3).

Vậy D(4; 5; – 5), A'(2; 1; 2), B'(3; 2; 3), C'(3; 1; 3).

Bài tập 9: Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.

Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm M(90; 0; 30), N(90; 120; 30), P(0; 120; 30), Q(0; 0; 30) (Hình 34).

Giả sử K0 là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và K0M = K0N = K0P = K0Q. Để theo dõi quả bóng đến vị trí A, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm K1 có cao độ bằng 19 (Nguồn: https:⁄/www.abiturloesumg.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie VI).

Tìm tọa độ của các điểm K0, K1 và của vectơ $\overrightarrow{K_0{K}_1}$.

Trả lời: