Câu hỏi khởi động: Để chuẩn bị trò chơi trong chuyến đi dã ngoại, cô Ánh đi siêu thị mua bóng bàn và cốc sao cho số quả bóng bàn bằng số cốc. Tuy nhiên, tại siêu thị, bóng bàn chỉ bán theo hộp gồm 6 quả, cốc chỉ bán theo bộ gồm 8 chiếc. Cô Ánh phải mua ít nhất bao nhiêu bộ cốc và bao nhiêu hộp bóng bàn?
Lời giải:
Ta có: 6 = 2 . 3 và 8 = 23
Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 6 và 8 là 2 và 3
Số mũ lớn nhất của 2 là 3, số mũ lớn nhất của 3 là 1
Khi đó BCNN(6, 8) = 23 . 3 = 24
Do đó cô Ánh phải mua 24 chiếc cốc và 24 quả bóng bàn.
Số bộ cốc là: 24 : 8 = 3 (bộ)
Số hộp bóng bàn là: 24 : 6 = 4 (hộp)
Vậy cô Ánh cần mua ít nhất 3 bộ cốc và 4 hộp bóng bàn để số bóng bàn và số cốc bằng nhau.
I. Bội chung và bội chung nhỏ nhất
Hoạt động 1:
a) Nêu một số bội của 2 và của 3 theo thứ tự tăng dần:
b) Tìm các số vừa ở trong hàng thứ nhất vừa ở trong hàng thứ hai.
c) Xác định số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 2 và 3.
Lời giải:
a)
b) Các số vừa ở hàng thứ nhất vừa ở hàng thứ 2 là: 0, 6, 12, 18.
c) Số nhỏ nhất khác 0 trong bội chung của 2 và 3 là: 6.
Luyện tập, vận dụng 1: Hãy nêu bốn bội chung của 5 và 9.
Lời giải:
- Bốn bội chung của 5 và 9 là: 45, 90, 135, 180.
Hoạt động 2: Quan sát bảng sau:
a) Viết ba bội chung của 8 và 12 theo thứ tự tăng dần.
b) Tìm BCNN(8, 12).
c) Thực hiện phép chia ba bội chung của 8 và 12 cho BCNN(8, 12).
Lời giải:
a) Quan sát bảng ta thấy các bội chung của 8 và 12 là: 0; 24; 48; 72.
Đề bài chỉ yêu cầu chúng ta đưa ra 3 bội chung của 8 và 12 nên ta chỉ cần chọn 3 trong 4 số trên và xếp chúng theo thứ tự tăng dần.
Ví dụ: 24; 48; 72.
b) Trong các bội chung của 8 và 12 ở trên, ta thấy số 24 là số bé nhất và khác 0 nên BCNN(8, 12) = 24.
c) Chia 3 bội chung của 8 và 12 cho BCNN(8, 12)
24 : 24 = 1
48 : 24 = 2
72 : 24 = 3.
Luyện tập, vận dụng 2: Tìm tất cả các số có ba chữ số là bội chung của a và b, biết rằng BCNN(a, b) = 300.
Lời giải:
BCNN(a,b) = 300
=> Tất cả các số có 3 chữ số là bội chung của a và b là: 300, 600, 900
III. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố
Hoạt động 3:
Lời giải:
Ta có thể tìm BCNN(6, 8) theo các bước sau:
Bước 1. Phân tích 6 và 8 ra thừa số nguyên tố
6 = 2 . 3
8 = 2 . 2 . 2 = 23
Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng của 6 và 8 lần lượt là 2 và 3.
Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố 2 và 3, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất
+) Số mũ lớn nhất của 2 là 3; ta chọn 23.
+) Số mũ lớn nhất của 3 là 1; ta chọn 31.
Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất cần tìm BCNN(6, 8) = 23 . 31 = 24.
Luyện tập, vận dụng 3: Tìm bội chung nhỏ nhất của 12, 18, 27.
Lời giải:
III. Ứng dụng bội chung nhỏ nhất vào cộng, trừ các phân số không cùng mẫu
Hoạt động 4: Thực hiện phép tính: 
Lời giải:
+) Ở tiểu học, ta đã làm như sau:
Quy đồng mẫu hai phân số bằng cách chọn mẫu chung là tích của hai mẫu:
Mẫu chung = 12 . 18 = 216
Ta có: 
.
Vậy 
.
+) Để tính tổng hai phân số trên, ta có thể làm như sau:
- Chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu. Cụ thể:
Mẫu chung = BCNN(12, 18) = 36
- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu), ta có:
36 : 12 = 3; 36 : 18 = 2
- Sau khi nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng, ta cộng hai phân số có cùng mẫu:
Luyện tập, vận dụng 4: Thực hiện phép tính: 
.
Lời giải:
Bài tập
Bài tập 1:
a) Hãy viết các ước của 7 và các ước của 8. Tìm ƯCLN(7, 8).
b) Hai số 7 và 8 có nguyên tố cùng nhau hay không? Vì sao?
c) Tìm BCNN(7, 8). So sánh bội chung nhỏ nhất với tích hai số 7 và 8.
Lời giải:
a) + Để tìm các ước của 7 ta lấy 7 lần lượt chia cho các số tự nhiên từ 1 đến 7, các phép chia hết là: 7 : 1 = 7; 7 : 7 = 1
Do đó: các ước của 7 là: 1; 7
+ Để tìm các ước của 8 ta lấy 8 lần lượt chia cho các số tự nhiên từ 1 đến 8, các phép chia hết là: 8 : 1 = 8; 8 : 2 = 4; 8 : 4 = 2; 8 : 8 = 1.
Các ước của 8 là: 1; 2; 4; 8.
+ Từ đó suy ra ƯC(7, 8) = 1 nên ƯCLN(7, 8) = 1.
b) Vì ƯCLN(7, 8) = 1 (theo câu a) nên hai số 7 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau.
c) Ta có: 7 = 71; 8 = 23
Các thừa số nguyên tố chung và riêng là 7 và 2 với số mũ cao nhất lần lượt là 1 và 3.
Do đó BCNN(7, 8) = 71 . 23 = 56
Mà 7 . 8 = 56
Hay ta nói bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau 7 và 8 chính bằng tích của hai số 7 và 8.
Bài tập 2: Quan sát hai thanh sau:
a) Số 0 có phải là bội chung của 6 và 10 không? Vì sao?
b) Viết bốn bội chung của 6 và 10 theo thứ tự tăng dần.
c) Tìm BCNN(6, 10).
d) Tìm các bội chung của 6 và 10 mà nhỏ hơn 160.
Lời giải:
a) Số 0 là bội chung của 6 và 10. Vì số 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0.
b) Bốn bội chung của 6 và 10 theo thứ tự tăng dần là: 0, 30, 60, 90.
c) BCNN(6,10) = 30.
d) Bội của 30 và nhỏ hơn 160 là 0,30,60,90,120,150.
=> Các bội chung của 6 và 10 nhỏ hơn 160 là: 0, 30, 60, 90, 120, 150.
Bài tập 3: Tìm bội chung nhỏ nhất của:
a) 7 và 13;
b) 54 và 108;
c) 21, 30, 70.
Lời giải:
a) Ta có, 7 và 13 đều là các số nguyên tố
Nên 7 và 13 cũng là hai số nguyên tố cùng nhau
Do đó: BCNN(7, 13) = 7 . 13 = 91.
b) Ta có: 54 = 2 . 27 = 2 . 33
108 = 4 . 27 = 22 . 33
Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 54 và 108 là 2 và 3, tương ứng với các số mũ lớn nhất lần lượt là 2 và 3
Khi đó: BCNN(54, 108) = 22 . 33 = 4 . 27 = 108.
c) Ta có: 21 = 3 . 7
30 = 3 . 10 = 3 . 2 . 5; 70 = 7. 10 = 7 . 2 . 5
Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 21, 30, 70 là 2, 3, 5, 7; chúng đều có số mũ lớn nhất là 1.
Do đó: BCNN(21, 30, 70) = 2 . 3. 5 . 7 = 210.
Bài tập 4: Thực hiện phép tính sau:
Lời giải:
Bài tập 5: Bội chung nhỏ nhất của hai số là 45. Một trong hai số đó là 5. Hãy tìm số còn lại.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là x
Ta có: BCNN(x, 5) = 45
Mà 45 = 5 . 9 = 5 . 32 ; 5 = 51 và 5 là số nguyên tố nên x và 5 phải là hai số nguyên tố cùng nhau, mà bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau chính bằng tích của hai số đó.
Do đó x = 32 = 9.
Vậy số cần tìm là 9.
Bài tập 6: Câu lạc bộ thể thao của một trường trung học cơ sở có không quá 50 học sinh tham gia. Biết rằng khi chia số học sinh trong câu lạc bộ đó thành từng nhóm 5 học sinh hoặc 8 học sinh thì vừa hết. Câu lạc bộ thể thao đó có bao nhiêu học sinh?
Lời giải:
Gọi x là tổng số học sinh của câu lạc bộ.
Vì khi chia số học sinh trong câu lạc bộ đó thành từng nhóm 5 học sinh hoặc 8 học sinh thì vừa hết nên x chia hết cho 5 và 8. Hay x là bội chung của 5 và 8.
Ta có: BC(5,8) = {0;40; 80; 120;…}
Mà số học sinh trong câu lạc bộ không quá 50 nên 0<x<50.
Ta được x = 40
Vậy: Câu lạc bộ thể thao đó có 40 học sinh.
Bài tập 7: Lịch cập cảng của ba tàu như sau: tàu thứ nhất cứ 10 ngày cập cảng một lần; tàu thứ hai cứ 12 ngày cập cảng một lần; tàu thứ ba cứ 15 ngày cập cảng một lần. Vào một ngày nào đó, ba tàu cùng cập cảng. Sau ít nhất bao nhiêu ngày thì ba tàu lại cùng cập cảng?
Lời giải:
Gọi x là số ngày ít nhất mà ba tàu lại cập cảng cùng nhau. (x ∈ ℕ*)
Vì tàu thứ nhất cứ 10 ngày thì cập cảng một lần nên x là bội của 10.
Tàu thứ hai cứ 12 ngày thì cập cảng một lần nên x là bội của 12.
Tàu thứ ba cứ 15 ngày thì cập cảng một lần nên x là bội của 15.
Do đó x là bội chung của 10, 12 và 15
Mà x là ít nhất nên x là bội chung nhỏ nhất của 10, 12 và 15.
Ta đi tìm BCNN(10, 12, 15)
Ta có: 10 = 2 . 5; 12 = 3 . 4 = 3 . 22; 15 = 3 . 5
Khi đó: BCNN(10, 12, 15) = 22 . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60
Hay x = 60
Vậy sau ít nhất 60 ngày thì ba tàu lại cùng nhau cập cảng.
Có thể em chưa biết
Lịch can Chi
Một số nước phương Đông, trong đó có Việt Nam, gọi tên năm âm lịch bằng cách ghép tên của một trong 10 can (theo thứ tự là Giáp, Ất, Bính, Đinh, Mậu, Kỷ, Canh, Tân, Nhâm, Quý) với tên của một trong 12 chi (theo thứ tự là Tỷ, Sửu, Dần, Mão, Thìn, Tỵ, Ngọ, Mùi, Thân, Dậu, Tuất, Hợi). Đầu tiên, Giáp được ghép với Tý thành năm Giáp Tý. Cứ 10 năm, Giáp được lặp lại. Cứ 12 năm, Tý được lặp lại:
Giải thích tại sao cứ 60 năm thì năm Giáp Tý được lặp lại?
Lời giải:
Vì cứ 10 năm, can Giáp được lặp lại; cứ 12 năm, chi Tý được lặp lại, nên số năm Giáp Tý được lặp lại là bội chung của 10 và 12. Và số năm ít nhất năm Giáp Tý lặp lại là bội chung nhỏ nhất của 10 và 12.
Phân tích 10 và 12 ra thừa số nguyên tố ta được:
