Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài 1: Dãy số - Giải SGK Toán 11 - Cánh Diều

Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định. Số cánh hoa trong các bông hoa thường xuất hiện nhiều theo những con số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Ta có thể viết số cánh hoa của các bông hoa ở các hình trên lần lượt như sau: vị trí thứ nhất viết số 1, vị trí thứ hai viết số 1, vị trí thứ ba viết số 2, ..., vị trí thứ tám viết số 21.

Câu hỏi khởi động: Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm nào trong toán học?

Trả lời:

- Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm dãy số trong toán học.

I. Khái niệm

Hoạt động 1: Một vật chuyển động đều với vận tốc 20 m/s. Hãy viết các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang.

Trả lời:

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 1 giây là: 20 . 1 = 20 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 2 giây là: 20 . 2 = 40 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 3 giây là: 20 . 3 = 60 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 4 giây là: 20 . 4 = 80 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 5 giây là: 20 . 5 = 100 (m).

Vậy các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang là: 20, 40, 60, 80, 100.

Luyện tập, vận dụng 1: Hàm số u(n)=n3 xác định trên tập hợp M={1;2;3;4;5} là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển.

Trả lời:

- Số hạng đầu: 1, số hạng cuối: 125

- Dạng khai triển của dãy số: 1, 8, 27, 64, 125.

Hoạt động 2: Cho hàm số u(n) = $\frac{1}{n}$ , n ∈ ℕ*. Hãy viết các số u1; u2; ...; un; ... theo hàng ngang.

Trả lời:

Ta có: u1 = $\frac{1}{1}$ =1; u2 = $\frac{1}{2}$ ; u3 = $\frac{1}{3}$ ; ... un = $\frac{1}{n}$ ; ...

Luyện tập, vận dụng 2: Cho dãy số (un)=n2.

a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số (un).

b) Viết dạng khai triển của dãy số (un).

Trả lời:

a) Năm số hạng đầu của dãy số: 1; 4; 9; 16; 25

Số hạng tổng quát của dãy số: (un)=n2.

b) Dạng khai triển của dãy số: 1; 4; 9; ...; n2; ...

II. Cách cho một dãy số

Hoạt động 3: Xét mỗi dãy số sau:

● Dãy số: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 (1)

● Cho số $\sqrt{2}$ =1,414213562... . Dãy số (un) được xác định bởi: Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, un là số thập phân hữu hạn có phần số nguyên là 1 và phần thập phân là n chữ số thập phân đầu tiên đứng sau dấu “,” của số $\sqrt{2}$ . Cụ thể là: u1 = 1,4; u2 = 1,41; u3 = 1,414; u4 = 1,4142; u5 = 1,41421; ... (2)

● Dãy số (un) với (un) = (– 2)n (3)

● Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 1 và un = un-1 + 2 với mọi n ≥ 2 (4)

a) Hãy nêu cách xác định mỗi số hạng của lần lượt các dãy số (1), (2), (3), (4).

b) Từ đó hãy cho biết dãy số có thể cho bằng những cách nào.

Trả lời:

a) Cách xác định mỗi số hạng của các dãy số đã cho là:

- Dãy số (1) được xác định bằng cách liệt kê.

- Dãy số (2) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

- Dãy số (3) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

- Dãy số (4) được xác định bằng cách cho bằng phương pháp quy hồi.

b) Từ ý a) ta có thể thấy dãy số có thể cho bằng 4 phương pháp: liệt kê, diễn đạt bằng lời các xác định mỗi số hạng của dãy số đó, cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó, cho bằng phương pháp quy hồi.

Luyện tập, vận dụng 3: Cho dãy số (un) với un=n−33n+1. Tìm u33,u333 và viết dãy số dưới dạng khai triển.

Trả lời:

u33=33−33.33+1=310

u333=33100

Dạng khai triển của dãy số: −12;−17;0;113;...310;...33100...

III. Dãy số tăng, dãy số giảm

Hoạt động 4: Cho dãy số (un) với un = n2. Tính un+1. Từ đó, hãy so sánh un+1 và un với mọi n ∈ ℕ*.

Trả lời:

Ta có: un+1 = (n + 1)2 = n2 + 2n + 1.

Xét hiệu: un+1 – un = n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy un+1 > un.

Luyện tập, vận dụng 4: Chứng minh rằng dãy số (vn) với vn=13n là một dãy số giảm.

Trả lời:

Với mọi n∈N∗, ta có: vn+1=13n+1.

Xét hiệu: vn+1−vn=13n+1−13n=−23n+1<0 hay vn+1<vn với mọi n∈N∗.

Vậy dãy số (vn) là dãy số giảm.

IV. Dãy số bị chặn

Hoạt động 5: Cho dãy số (un) với un = 1+ $\frac{1}{n}$ . Khẳng định un ≤ 2 với mọi n ∈ ℕ* có đúng không?

Trả lời:

Xét hiệu un – 2 = 1+ $\frac{1}{n}$ - 2 = $\frac{1}{n}$ -1

Vì n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 suy ra $\frac{1}{n}$ ≤ 1 do đó: $\frac{1}{n}$ -1≤ 0 .

Vậy un – 2 ≤ 0 hay un ≤ 2.

Luyện tập, vận dụng 5: Chứng minh rằng dãy số (un) với un=n2+12n2+4 là bị chặn.

Trả lời:

Ta có: un=n2+12n2+4=12−12(n2+2), với mọi n∈N∗.

Có 13≤un<12, với mọi n∈N∗.

Vậy dãy số (un) là dãy số bị chặn.

Bài tập

Bài tập 1: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức sau:

a) un = 2n2 + 1;

b) un = $\frac{{(- 1)}^{n}}{2 n - 1}$ ;

c) un = $\frac{2^{n}}{n}$ ;

d) un = ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ .

Trả lời:

a) Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy (un) là: u1 = 2.12 + 1 = 3; u2 = 2.22 + 1 = 9; u3 = 2.32 + 1 = 19; u4 = 2.42 + 1 = 33; u5 = 2.52 + 1 = 51.

b) Ta có 5 số hạng đầu của dãy un = $\frac{{(- 1)}^{n}}{2 n - 1}$ là:

$u_{1} = \frac{{(- 1)}^{1}}{2.1 - 1} = \frac{- 1}{1} = - 1;$

$u_{2} = \frac{{(- 1)}^{2}}{2.2 - 1} = \frac{1}{3};$

$u_{3} = \frac{{(- 1)}^{3}}{2.3 - 1} = - \frac{1}{5};$

$u_{4} = \frac{{(- 1)}^{4}}{2.4 - 1} = \frac{1}{7}; u_{5} = \frac{{(- 1)}^{5}}{2.5 - 1} = - \frac{1}{9}$

c) Ta có 5 số hàng đầu của dãy un = $\frac{2^{n}}{n}$ là:

u1 = $\frac{2^{1}}{1}$ = 2 ; u2 = $\frac{2^{2}}{1}$ =4; u3 = $\frac{2^{3}}{1}$ = 8 ; u4 = $\frac{2^{4}}{1}$ = 16 ; u5 = $\frac{2^{5}}{1}$ = 32 .

d) Ta có 5 số hạng đầu của dãy un = ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ là:

u1 = ${(1 + \frac{1}{1})}^{1}$ = 2; u2 = ${(1 + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$ ; u3 = ${(1 + \frac{1}{3})}^{3} = \frac{64}{27}$ ; u4 = ${(1 + \frac{1}{4})}^{4} = \frac{625}{256}$ ; u5 = ${(1 + \frac{1}{5})}^{5} = \frac{7776}{3125}$ .

Bài tập 2:

a) Gọi un là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (un).

b) Gọi vn là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (vn).

Trả lời:

a) Số hạng tổng quát un=n.

b) Ta có: v1=13, v2=23, v3=33, v4=43 ...

Do đó: Số hạng tổng quát vn=n3.

Bài tập 3: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (un), biết:

a) $u_{n} = \frac{n - 3}{n + 2}$ ;

b) $u_{n} = \frac{3^{n}}{2^{n} . n!}$ ;

c) un = (– 1)n.(2n + 1).

Trả lời:

a) Ta có: $u_{n + 1} = \frac{n + 1 - 3}{n + 1 + 2} = \frac{n - 2}{n + 3}$

Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n - 2}{n + 3} - \frac{n - 3}{n + 2} = \frac{n^{2} - 4 - n^{2} + 9}{(n + 3) (n + 2)} = \frac{5}{(n + 3) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Suy ra un+1 > un

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.

b) Ta có: $u_{n + 1} = \frac{3^{n + 1}}{2^{n + 1} . (n + 1)!} = \frac{{3.3}^{n}}{2 (n + 1) {.2}^{n} . n!} = \frac{3}{2 (n + 1)} . u_{n}$

Vì n ∈ ℕ* nên $\frac{3}{2 (n + 1)} < \frac{3}{2}$ suy ra un+1 < un.

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

c) Ta có: un+1 = (– 1)n+1.(2n+1 + 1)

+) Nếu n chẵn thì un+1 = – (2.2n + 1) và un = 2n + 1. Do đó un+1 < un.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.

+) Nếu n lẻ thì un+1 = 2.2n + 1 và un = – (2n + 1). Do đó un+1 > un.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng.

Bài tập 4: Trong các dãy số (un) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) un=n2+2;

b) un=−2n+1;

c) un=1n2+n.

Trả lời:

a) Vì n2+2≥3 nên dãy số un là dãy số bị chặn dưới;

b) Vì −2n+1≤−1 nên dãy số un là dãy số bị chặn trên;

c) Vì 0<1n2+n≤12 nên dãy số un là dãy số bị chặn.

Bài tập 5: Cho dãy số thực dương (un). Chứng minh rằng dãy số (un) là dãy số tăng khi và chỉ khi $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ >1 với mọi n ∈ ℕ*.

Trả lời:

+) Nếu $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ >1 với mọi n ∈ ℕ* thì un+1 > un. Do đó dãy số (un) là dãy số tăng.

+) Nếu (un) là dãy số tăng thì un+1 > un do đó $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ >1.

Bài tập 6: Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi Pn (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.

c) Dự đoán công thức của Pn tính theo n.

Trả lời:

a) Sau 1 tháng, chị Mai có: 100(1+0,005) (triệu đồng)

b) Sau 3 tháng, chị Mai có: 100(1+0,005)3+6(1+0,005)2 (triệu đồng)

c) Dự đoán công thức: Pn=100(1+0,005)n+6(1+0,005)n−1 (triệu đồng).