Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Câu hỏi khởi động: Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là đường elip (Hình 32). Độ cao h (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức h = 550 + 450cos$\frac{\pi }{50}$t (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Tại thời điểm t bằng bao nhiêu thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km; 250 km; 100 km?

Trên thực tế, có nhiều bài toán dẫn đến việc giải một trong các phương trình có dạng: sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m, trong đó x là ẩn số, m là số thực cho trước. Các phương trình đó là các phương trình lượng giác cơ bản.

Trả lời:

• Để vệ tinh cách mặt đất 1 000 km thì 550 + 450cos$\frac{\pi }{50}$t = 1 000

$\iff$450cos$\frac{\pi }{50}$t=450

$\iff$ cos$\frac{\pi }{50}$t = 1

$\iff$$\frac{\pi }{50}$t = k2$\pi$ (k$\in Z$, t$\ge$0)

$\iff$t = k2$\pi$.$\frac{50}{\pi }$ = 100k (k$\in Z${0; 1; 2; 3;...}

Vậy tại các thời điểm t = 100k (với k ∈ ℤ, t ≥ 0) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km.

• Để vệ tinh cách mặt đất 250 km thì 550 + 450cos$\frac{\pi }{50}$t = 250

$\iff$ 450cos$\frac{\pi }{50}$t = -300

$\iff$ cos$\frac{\pi }{50}$t = -$\frac{2}{3}$

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp  ta được kết quả gần đúng là 2,3)

Vậy tại các thời điểm t $\approx \pm \frac{115}{\pi }$+100k (với k ∈ ℤ, t ≥ 0) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 250 km.

• Để vệ tinh cách mặt đất 100 km thì 550 + 450cos$\frac{\pi }{50}$t = 100

$\iff$ 450cos$\frac{\pi }{50}$t = -450

$\iff$ cos$\frac{\pi }{50}$t = -1

$\iff$$\frac{\pi }{50}$t = $\pi$+k2$\pi$ (k$\in$Z, t$\ge$0).

$\iff$ t = 50+100k (k$\in${0;1;2;3;...}

Vậy tại các thời điểm t = 50 + 100k (với k ∈ ℤ, t ≥ 0) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 100 km.

I. Phương trình tương đương

Hoạt động 1: Cho hai phương trình (với cùng ẩn x):

x2 ‒ 3x + 2 = 0 (1)

(x – 1)(x – 2) = 0 (2)

a) Tìm tập nghiệm S1 của phương trình (1) và tập nghiệm S2 của phương trình (2).

b) Hai tập S1, S2 có bằng nhau hay không?

Trả lời:

a) Ta có:

x2 ‒ 3x + 2 = 0 (1)

Suy ra x = 1 hoặc x = 2.

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S1 = {1; 2}.

(x – 1)(x – 2) = 0 (2)

Suy ra x = 1 hoặc x = 2.

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S2 = {1; 2}.

b) Hai tập S1, S2 bằng nhau vì cùng là tập {1; 2}.

Luyện tập, vận dụng 1: Hai phương trình x−1=0 và x2−1x+1=0 có tương đương không? Vì sao? 

Trả lời:

Tập nghiệm của phương trình x−1=0 là S1={1}.

Tập nghiệm của phương trình x2−1x+1=0 là S2={±1}. 

Vì S2>S1 nên hai phương trình x−1=0 và x2−1x+1=0 không tương đương. 

Hoạt động 2: Khẳng định 3x ‒ 6 = 0 $\iff$ 3x = 6 đúng hay sai?

Trả lời:

Phương trình 3x ‒ 6 = 0 có tập nghiệm S1 = {2}.

Phương trình 3x = 6 có tập nghiệm S2 = {2}.

Vì S1 = S2 nên hai phương trình 3x ‒ 6 = 0 và 3x = 6 tương đương

Khi đó ta viết 3x ‒ 6 = 0 $\iff$ 3x = 6.

Vậy khẳng định 3x ‒ 6 = 0 $\iff$ 3x = 6 là khẳng định đúng.

Luyện tập, vận dụng 2: Giải phương trình: (x−1)2=5x−11. 

Trả lời:

Ta có: (x−1)2=5x−11⇔x2−2x+1=5x−11⇔x2−7x+12=0⇔x=3hoặc x=4

II. Phương trình sinx = m

Hoạt động 3:

a) Đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm A0, B0­ (Hình 33). Tìm hoành độ của hai giao điểm A0, B0­.

b) Đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm A1, B1­ (Hình 33). Tìm hoành độ của hai giao điểm A1, B1­.

Trả lời:

a) Với x ∈ [‒π; π] ta thấy sin x = $\frac{1}{2}$ tại x = $\frac{\pi }{6}$ và x = $\frac{5\pi }{6}$.

Do đó đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm A0, B0­ có hoành độ lần lượt là $x_{A_0}=\frac{\pi }{6}$ và $x_{B_0}=\frac{5\pi }{6}$.

b) Với x ∈ [π; 3π] ta thấy sin x = $\frac{1}{2}$ tại x = $\frac{13\pi }{6}$ và x = $\frac{17\pi }{6}$.

Do đó đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm A1, B1­ có hoành độ lần lượt là $x_{A_1}=\frac{13\pi }{6}$ và $x_{B_1}=\frac{17\pi }{6}$.

Luyện tập, vận dụng 3: 

a) Giải phương trình: sinx=3√2;

b) Tìm góc lượng giác x sao cho sinx=sin55∘. 

Trả lời:

a) sinx=3√2⇔x=π3+k2π(k∈Z)

b) sinx=sin55∘⇔x=55∘+k360∘ hoặc x=−125∘+k360∘(k∈Z)

Luyện tập, vận dụng 4: Giải phương trình sin2x = sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

Trả lời:

Ta có:

sin2x = sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $\frac{\pi }{4}$+k2$\pi$ và x = $\frac{\pi }{4}$+k$\frac{2\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

III. Phương trình cosx = m

Hoạt động 4:

a) Đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm C0, D0­ (Hình 34). Tìm hoành độ của hai giao điểm C0, D0­.

b) Đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm C1, D1­ (Hình 34). Tìm hoành độ của hai giao điểm C1, D1­.

Trả lời:

a) Với x ∈ [‒π; π] ta thấy cosx = $\frac{1}{2}$ tại x = -$\frac{\pi }{3}$ và x = $\frac{\pi }{3}$.

Do đó đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm C0, D0­ có hoành độ lần lượt là $x_{C_0}=-\frac{\pi }{3}$ và $x_{D_0}=\frac{\pi }{3}$.

b) Với x ∈ [π; 3π] ta thấy cosx = $\frac{1}{2}$ tại x = $\frac{5\pi }{3}$ và x = $\frac{7\pi }{3}$.

Do đó đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm C1, D1­ có hoành độ lần lượt là $x_{C_1}=\frac{5\pi }{3}$ và $x_{D_1}=\frac{7\pi }{3}$.

Luyện tập, vận dụng 5: 

a) Giải phương trình: cosx=−12.

b) Tìm góc lượng giác x sao cho cosx=cos(−87∘). 

Trả lời:

a) cosx=−12⇔x=±2π3+k2π(k∈Z).

b) cosx=cos(−87∘)⇔x=±87∘+k360∘(k∈Z).

Luyện tập, vận dụng 6: Giải phương trình được nêu trong bài toán mở đầu.

Trả lời:

IV. Phương trình tanx = m

Hoạt động 5: Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 (Hình 35).

a) Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó.

b) Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình tanx = 1?

Trả lời:

a) Với x$\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ ta thấy tanx = 1 tại x=$\frac{\pi }{4}$.

Do đó đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ tại điểm có hoành độ là $\frac{\pi }{4}$.

Do hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì là π nên đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tanx tại các điểm có hoành độ là x = $\frac{\pi }{4}$+k$\pi$ (k$\in$Z).

b) Phương trình tanx = 1 có các nghiệm là x = $\frac{\pi }{4}$+k$\pi$ (k$\in$Z).

Luyện tập, vận dụng 7: 

a) Giải phương trình: tanx=1.

b) Tìm góc lượng giác x sao cho tanx=tan67∘. 

Trả lời:

a) tanx=1⇔x=π4+kπ(k∈Z)

b) tanx=tan67∘⇔x=67∘+k180∘(k∈Z)

V. Phương trình cotx = m

Hoạt động 6: Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = ‒1 (Hình 36).

a) Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = ‒1 trên khoảng (0; π), hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó.

b) Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình cotx = ‒1?

Trả lời:

a) Với x ∈ (0; π), ta thấy cotx = ‒1 tại x=$\frac{3\pi }{4}$.

Do đó đường thẳng y = ‒1 cắt đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) tại điểm có hoành độ là $\frac{3\pi }{4}$.

Do hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì là π nên đường thẳng y = ‒1 cắt đồ thị hàm số y = cotx tại các điểm có hoành độ là x=$\frac{3\pi }{4}$+k$\pi$ (k$\in$Z).

b) Phương trình cotx = ‒1 có các nghiệm là x=-$\frac{3\pi }{4}$+k$\pi$.

Luyện tập, vận dụng 8: 

a) Giải phương trình: cotx=1. 

b) Tìm góc lượng giác x sao cho cotx=cot(−83∘). 

Trả lời:

a) cotx=1⇔x=π4+kπ(k∈Z). 

b) cotx=cot(−83∘)⇔x=−83∘+k180∘(k∈Z). 

VI. Giải phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay

Luyện tập, vận dụng 9: Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn):

a) sinx=0,2;

b) cosx=−15;

c) tanx=2–√. 

Trả lời:

a) x≈0,201+k2π hoặc x≈π−0,201+k2π(k∈Z). 

b) x≈±1,772+k2π(k∈Z).

c) x≈0,955+kπ(k∈Z). 

Bài tập

Bài tập 1: Giải phương trình:

a) sin$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) sin$\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$;

c) cos$\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

d) 2cos3x + 5 = 3;

e) 3tanx = -$\sqrt{3}$;

g) cotx - 3 = $\sqrt{3}$(1-cotx).

Trả lời:

a) sin$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff$sin$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ = sin$\left(-\frac{\pi }{3}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=k$\pi$ và x=$\frac{5\pi }{6}$+k$\pi$ với k ∈ ℤ.

b) sin$\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$

$\iff$ sin$\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$ = sin$\left(-\frac{\pi }{6}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$ và x = $\frac{11\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

c) cos$\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff$cos$\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)$ = cos$\frac{\pi }{6}$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{\pi }{6}$+k4$\pi$ và x=$-\frac{5\pi }{6}+k4\pi$ với k ∈ ℤ.

d) 2cos3x + 5 = 3

$\iff$ cos3x = ‒1

$\iff$ 3x = π + k2π (k ∈ ℤ)

$\iff$ x = $\frac{\pi }{3}$+k$\frac{2\pi }{3}$(k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $\frac{\pi }{3}$+k$\frac{2\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

e) 3tanx = -$\sqrt{3}$

$\iff$ tanx = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\iff$ tanx = tan$\left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff$ x = $-\frac{\pi }{6}$ + k$\pi$ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{\pi }{6}$ + k$\pi$ với k ∈ ℤ.

g) cotx - 3 = $\sqrt{3}$(1-cotx)

$\iff$ cotx - 3 = $\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cotx

$\iff$ (1+$\sqrt{3}$)cotx = $\sqrt{3}$+3

$\iff$ cotx = $\frac{\sqrt{3}\left(1+\sqrt{3}\right)}{1+\sqrt{3}}$

$\iff$ cotx = $\sqrt{3}$

$\iff$ cotx = cot$\frac{\pi }{6}$

$\iff$ x = $\frac{\pi }{6}$+k$\pi$ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $\frac{\pi }{6}$+k$\pi$ với k ∈ ℤ.

Bài tập 2: Giải phương trình:

a) sin(2x+π4)=sinx;

b) sin2x=cos3x; 

c) cos22x=cos2(x+π6). 

Trả lời:

a) x=−π4+k2π hoặc x=π4+k2π3(k∈Z)

b) cos(π2−2x)=cos3x⇔x=π10−k2π5 hoặc x=−π2+k2π(k∈Z)

c) cos2x=±cos(x+π6)⇔x=π6+k2π hoặc x=−π18+k2π3 hoặc x=5π18+k2π3 hoặc x=−5π6+k2π(k∈Z)

Bài tập 3: Dùng đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx để xác định số nghiệm của phương trình:

a) 3sinx + 2 = 0 trên khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$ ;

b) cosx = 0 trên đoạn  .

Trả lời:

a) Ta có: 3sinx + 2 = 0

$\iff$sinx = -$\frac{2}{3}$.

Đường thẳng y = -$\frac{2}{3}$ và đồ thị hàm số y = sinx trên khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$ được vẽ như sau:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = -$\frac{2}{3}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx trên khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$ tại 5 điểm A, B, C, D, E.

Vậy phương trình 3sinx + 2 = 0 có 5 nghiệm trên khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$.

b) Đường thẳng y = 0 (trục Ox) và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn  được vẽ như sau:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn  tại 6 điểm M, N, P, Q, I, K.

Vậy phương trình cosx = 0 có 6 nghiệm trên đoạn .

Bài tập 4: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40∘ Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

d(t)=3sin[π182(t−80)]+12 với t∈Z và 0<t≤365. 

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm? 

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời? 

Trả lời:

a) sin[π182(t−80)]=0⇔t=80+182k,−4091<k≤285182

b) sin[π182(t−80)]=−1⇔t=−11+364k,11364<k≤9491

c) sin[π182(t−80)]=1⇔t=171+364k,−171364<k≤97182

Bài tập 5: Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 38). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) (với t ≥ 0) bởi hệ thức h = |d| với d = 3cos$\left(\frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)\right)$, trong đó ta quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian t nào thì khoảng cách h là 3 m, 0 m?

Trả lời:

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 3 m thì:

Do t ≥ 0, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}

Khi đó 

Vậy $t\in \left(\frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{13}{2};8;\mathrm{...}\right)$ (giây) thì khoảng cách h là 3 m.

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 0 m thì:

Do t ≥ 0, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}, khi đó $t\in${$\frac{5}{4};\frac{11}{4};\frac{17}{4};\mathrm{...}$}.

Vậy $t\in${$\frac{5}{4};\frac{11}{4};\frac{17}{4};\mathrm{...}$} (giây) thì khoảng cách h là 0 m.