Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài tập cuối chương II - Giải SGK Toán 11 - Cánh Diều

Bài tập 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi: u1= $\frac{1}{3}$ và un = 3un-1 với mọi n ≥ 2. Số hạng thứ năm của dãy số (un) là:

A. 27;

B. 9;

C. 81;

D. 243.

Đáp án: A

Giải thích: Ta có: $\frac{u_{n}}{u_{n - 1}} = 3$ . Do đó dãy số (un) là một cấp số nhân với số hạng đầu u1= $\frac{1}{3}$ và công bội q = 3 nên ta có số hạng tổng quát là: $u_{n} = \frac{1}{3} {.3}^{n - 1} = 3^{n - 2}$ với n ∈ ℕ*.

Do đó số hạng thứ năm của dãy số (un) là: $u_{5} = 3^{5 - 2}$ =27.

Bài tập 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. 21; – 3; – 27; – 51; – 75;

B. $\frac{1}{2}; \frac{5}{4}; 2; \frac{11}{4}; \frac{15}{4}$ ;

C. $\sqrt{1}; \sqrt{2}; \sqrt{3}; \sqrt{4}; \sqrt{5}$ ;

D. $\frac{1}{20}; \frac{1}{30}; \frac{1}{40}; \frac{1}{50}; \frac{1}{60}$ .

Đáp án: A

Giải thích: Dãy số 21; – 3; – 27; – 51; – 75 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là u1 = 21 và công sai d = – 24.

Bài tập 3: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = – 5, công sai d = 4. Công thức của số hạng tổng quát un là:

A. un = – 5 + 4n;

B. un = – 1 – 4n;

C. un = – 5 + 4n2;

D. un = – 9 + 4n.

Đáp án: D

Giải thích: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng un = – 5 + (n – 1)4 = 4n – 9.

Bài tập 4: Tổng 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên tính từ 1 là:

A. 10 000;

B. 10 100;

C. 20 000;

D. 20 200.

Đáp án: A

Giải thích:

Các số tự nhiên lẻ lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 2.

Do đó tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

$S_{100} = \frac{100. (1 + 1 + 99.2)}{2}$ = 10 000.

Bài tập 5: Trong các dãy số (un) cho bằng phương pháp truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 1 và un = un – 1(n – 1) với mọi n ≥ 2;

B. Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 1 và un = 2un-1 + 1 với mọi n ≥ 2;

C. Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 1 và un = $u_{n - 1}^{2}$ với mọi n ≥ 2;

D. Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 3 và un = $\frac{1}{3}$ un-1 với mọi n ≥ 2.

Đáp án: D

Giải thích: Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 3 và un = $\frac{1}{3}$ un-1 với mọi n ≥ 2 là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 3 và q = $\frac{1}{3}$ .

Bài tập 6: Cho cấp số nhân (un) có un = – 1, công bội q=- $\frac{1}{10}$ . Khi đó $\frac{1}{10^{2 017}}$ là số hạng thứ:

A. 2 016;

B. 2 017;

C. 2 018;

D. 2 019.

Đáp án: C

Giải thích:

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: $u_{n} = (- 1) . {(- \frac{1}{10})}^{n - 1}$ .

Xét $u_{n} = (- 1) . {(- \frac{1}{10})}^{n - 1} = \frac{1}{10^{2 017}}$

$\Leftrightarrow {(- \frac{1}{10})}^{n - 1} = {(- \frac{1}{10})}^{2017}$

⇔ n – 1 = 2017

⇔ n = 2018.

Bài tập 7: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

A. un = sinn;

B. un = n.(– 1)n;

C. $u_{n} = \frac{1}{n}$ ;

D. un = 2n+1.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: un+1 = 2n+1+1 = 2n+2

Xét hiệu un+1 – un = 2n+2 – 2n = 3.2n > 0 với mọi n ∈ ℕ*

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Bài tập 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (un) sau, biết số hạng tổng quát:

a) un=n2n+1

b) un=25n

c) un=(−1)n.n2

Trả lời:

a) Dãy số (un) là dãy số tăng và bị chặn dưới vì n2n+1>0.

b) Dãy số (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới vì 25n≥25.

c) Dãy số (un) là dãy số không tăng không giảm và không bị chặn.

Bài tập 9: Cho cấp số cộng (un). Tìm số hạng đầu u1, công sai d trong mỗi trường hợp sau:

a) u2 + u5 = 42 và u4 + u9 = 66;

b) u2 + u4 = 22 và u1.u5 = 21.

Trả lời:

a) Ta có: u2 + u5 = u1 + d + u1 + 3d = 42

⇔ 2u1 + 4d = 42

Ta lại có: u4 + u9 = u1 + 3d + u1 + 8d = 2u1 + 11d = 66

Khi đó ta có hệ phương trình:

Bài 9 trang 58 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là: $u_{1} = \frac{99}{7}$ và công sai d= $\frac{24}{7}$ .

b) Ta có: u2 + u4 = u1 + d + u1 + 3d = 22

⇔ 2u1 + 4d = 22

⇔ u1 + 2d = 11

⇔ u1 = 11 – 2d

Ta lại có: u1.u5 = u1(u1 + 4d) = 21.

Thay u1 = 11 – 2d vào biểu thức trên ra được:

(11 – 2d)(11 – 2d + 4d) = 21

⇔ (11 – 2d)(11 + 2d) = 21

⇔ 121 – 4d2 = 21

⇔ d = 5 hoặc d = – 5.

Với d = 5 thì u1 = 1.

Với d = – 5 thì u1 = 21.

Bài tập 10: Cho cấp số nhân (un).Tìm số hạng đầu u1, công bội q trong mỗi trường hợp sau:

a) u6=192 và u7=384

b) u1+u2+u3=7 và u5−u2=14.

Trả lời:

a) Ta có: u6=u1.q5=192(1)

u7=u1.q6=384(2)

Chia (1)(2) ta có: u1.q5u1.q6=12⇔q=2

Thay q=2 vào (1) ta có: u1.25=192⇔u1=6

b) {u1+u2+u3u5−u2=7=14⇔{u1+u1q+u1q2u1q4−u1q=7=14⇔{u1(1+q+q2)u1(q4−q)=7(1)=14(2)

Chia (1)(2) ta có:

1+q+q2q4−q=12⇔2(1+q+q2)=q4−q⇔(q+1)(q3−q2−q−2)=0

⇔[qq=−1=2⇒u1=7⇒u1=1

Bài tập 11: Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ.

Trả lời:

Do A, B, C, D theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:

B = A + d; C = A + 2d; D = A + 3d.

Mặt khác: A + B + C + D = 360°

⇔ A + A + d + A + 2d + A + 3d = 360°

⇔ 4A + 6d = 360°

⇔ 2A + 3d = 180°

Ta lại có: A + 2d = 5A ⇔ d = 2A

⇒ 8A = 180°

⇒ A = 22,5° và d = 45°

⇒ B = 67,5°, C = 112,5°, D = 157,5°.

Bài tập 12: Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây, ... ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4 950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Trả lời:

u1=1,d=1

Ta có: Sn=n+n(n−1)2=4950⇔n=99

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.

Bài tập 13: Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là 12 288 m2. Tính diện tích của mặt trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Trả lời:

Diện tích mặt đáy tháp là u1 = 12 288 (m2).

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: u2 = 12 288. $\frac{1}{2}$ = 6 144 (m2).

...

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là un với n ∈ ℕ*.

Dãy (un) lập thành một cấp số nhân là u1 = 12 288 và công bội q= $\frac{1}{2}$ , có số hạng tổng quát là: un = 12 288. ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 11 nên ta có:

u11 = 12 288. ${(\frac{1}{2})}^{11 - 1}$ = 12 (m2).

Bài tập 14: Một khay nước có nhiệt độ 23∘C được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C.

Trả lời:

- Nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ là: u6=23.(1−0,5)5=0,72 (độ C).

Bài tập 15: Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (Hình 4). Từ hình vuông C2 lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông C3. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông C1, C2, C3, ..., Cn, ... Gọi an là độ dài cạnh hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là cấp số nhân.

Bài 15 trang 58 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Trả lời:

Bài 15 trang 58 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Độ dài cạnh của hình vuông đầu tiên là: a1 = 4.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là: an.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n + 1 là: an+1 = $(\frac{\sqrt{10}}{4}) . a_{n}$ .

Suy ra: $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$

Vậy (an) là một cấp số nhân với số hạng đầu a1 = 4 và công bội q = $\frac{\sqrt{10}}{4}$ .

Bài tập 16: Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Trả lời:

Ta có: 1 năm = 12 tháng ⇒12%/năm = 1%/ tháng

Có công bội q=1+0,01

S24=a.[1−(1+0,01)24]1−(1+0,01)=109⇒a≈37073 (đồng).