Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài tập cuối chương I

Bài tập 1: Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:

A. (0; π).

B. $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$ .

C. $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

D. (‒π; 0).

Đáp án: C

Giải thích:

Đồ thị hàm số y = sinx (hình vẽ):

Quan sát đồ thị trên, ta thấy hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ .

Bài tập 2: Hàm số nghịch biến trên khoảng (π; 2π) là:

A. y = sinx.

B. y = cosx.

C. y = tanx.

D. y = cotx.

Đáp án: D

Giải thích:

Xét đồ thị hàm số y = sinx:

Xét đồ thị hàm số y = cosx:

Xét đồ thị hàm số y = tanx:

Xét đồ thị hàm số y = cotx:

Quan sát các đồ thị trên, ta thấy hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (π; 2π).

Bài tập 3: Nếu tan(a + b) = 3, tan(a – b) = ‒3 thì tan2a bằng:

A. 0.

B. $\frac{3}{5}$ .

C. 1.

D. -$\frac{3}{4}$.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

tan2a = tan[(a + b) + (a – b)]

$=\frac{\tan \left(a+b\right)+\tan \left(a-b\right)}{1-\tan \left(a+b\right)\tan \left(a-b\right)}=\frac{3+\left(-3\right)}{1-3.\left(-3\right)}=0$.

Bài tập 4: Nếu cosa = $\frac{1}{4}$ thì cos2a bằng:

A. $\frac{7}{8}$ .

B. -$\frac{7}{8}$.

C. $\frac{15}{16}$ .

D. -$\frac{15}{16}$.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: cos2a = 2cos2a – 1 = $2.{\left(\frac{1}{4}\right)}^2-1=2.\frac{1}{16}-1=-\frac{7}{8}$.

Bài tập 5: Nếu cosa = $\frac{3}{5}$ và cosb = $-\frac{4}{5}$ thì cos(a + b)cos(a – b) bằng:

A. 0.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

cos (a+b)cos(a-b) = $\frac{1}{2}$[cos(a+b+a-b) + cos(a+b-a+b)]

= $\frac{1}{2}$[cos2a + cos2b]

Ta lại có:

cos2a = 2cos2a – 1 = $2.{\left(\frac{3}{5}\right)}^2-1=2.\frac{9}{25}-1=-\frac{7}{25}$;

cos2b = 2cos2b – 1 = $2.{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2-1=2.\frac{16}{25}-1=\frac{7}{25}$;

Do đó cos(a+b)cos(a-b) = $\frac{1}{2}$[cos2a + cos2b] = $\frac{1}{2}$.$\left(-\frac{7}{25}+\frac{7}{25}\right)$=0.

Bài tập 6: Nếu sina = $-\frac{\sqrt{2}}{3}$ thì sin$\left(a+\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$ bằng:

A. $\frac{2}{3}$ .

B. $\frac{1}{3}$ .

C. -$\frac{2}{3}$.

D. -$\frac{1}{3}$.

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:

sin$\left(a+\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$

= 2sin$\left(\frac{a+\frac{\pi }{4}+a-\frac{\pi }{4}}{2}\right)\cos \left(\frac{a+\frac{\pi }{4}-a+\frac{\pi }{4}}{2}\right)$

= 2sinacos$\frac{\pi }{4}=2.\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right).\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{2}{3}$.

Bài tập 7: Số nghiệm của phương trình cosx = 0 trên đoạn [0; 10π] là:

A. 5.

B. 9.

C. 10.

D. 11.

Đáp án: C

Giải thích:

cosx = 0

$\iff$x = $\frac{\pi }{2}$+k$\pi$ (k ∈ ℤ)

Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: 0$\le$$\frac{\pi }{2}$+k$\pi$$\le$10$\pi$

$\iff$0$\le$$\frac{\pi }{2}$+k$\le$10 $\iff$ -$\frac{1}{2}$$\le$k$\le$$\frac{19}{2}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 9}, khi đó ta tìm được 10 giá trị của x.

Vậy phương trình cosx = 0 có 10 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Bài tập 8: Số nghiệm của phương trình sinx = 0 trên đoạn [0; 10π] là:

A. 10.

B. 6.

C. 5.

D. 11.

Đáp án: D

Giải thích:

sinx = 0

$\iff$ x = kπ (k ∈ ℤ)

Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: 0 ≤ kπ ≤ 10π

$\iff$ 0 ≤ k ≤ 10

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 10}, khi đó ta tìm được 11 giá trị của x.

Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Bài tập 9: Nghiệm của phương trình cotx = ‒1 là:

A. $-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in Z\right)$ .

B. $\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in Z\right)$ .

C. $\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in Z\right)$ .

D. -$\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in Z\right)$.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: cotx = ‒1

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in Z\right)$.

Bài tập 10: Số nghiệm của phương trình sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ trên đoạn [0; π] là:

A. 4.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}$

• Do x ∈ [0; π] nên từ (1) ta có:

0 ≤ k2π ≤ π

$\iff$ 0 ≤ 2k ≤ 1

$\iff$ 0 ≤ k ≤ $\frac{1}{2}$

Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x (x = 0) trong trường hợp này.

• Do x ∈ [0; π] nên từ (2) ta có:

0 ≤ $\frac{\pi }{2}$+k2$\pi$ ≤ $\pi$

$\iff$ 0 ≤ $\frac{1}{2}$+2k ≤ 1

$\iff -\frac{1}{2}\le 2k\le \frac{1}{2}\iff -\frac{1}{4}\le k\le \frac{1}{4}$

Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x $\left(x=\frac{\pi }{2}\right)$ trong trường hợp này.

Vậy phương trình sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ có hai nghiệm trên đoạn [0; π].

Bài tập 11: Vẽ đồ thị hàm số y=cosx trên đoạn [−5π2;5π2] rồi xác định số nghiệm của phương trình 3cosx+2=0 trên đoạn đó. 

Trả lời:

Ta có: 3cosx + 2 = 0

$\iff$cosx = -$\frac{2}{3}$.

Đường thẳng y = -$\frac{2}{3}$ và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn  :

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = -$\frac{2}{3}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn  tại 4 điểm A, B, C, D.

Vậy phương trình 3cosx + 2 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn  .

Bài tập 12: Giải các phương trình sau:

a) sin$\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) cos$\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$;

c) sin3x – cos5x = 0;

d) ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$ ;

e) sinx - $\sqrt{3}$cosx = 0;

g) sinx + cosx = 0.

Trả lời:

a) sin$\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ và $x=\frac{3\pi }{4}+k\pi$ với k ∈ ℤ

b) cos$\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$

$\iff \cos \left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{3}$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{18}+k\frac{4\pi }{3}$ và $x=-\frac{7\pi }{18}+k\frac{4\pi }{3}$ với k ∈ ℤ

c) sin3x – cos5x = 0

$\iff$ sin3x = cos5x

$\iff$ cos$\left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$ = cos5x

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{4}$ và $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ với k ∈ ℤ

d) ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$

$\iff \frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{4}$

$\iff \cos 2x=-\frac{1}{2}$

$\iff$ cos2x = cos$\frac{2\pi }{3}$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$ với k ∈ ℤ

e) sinx - $\sqrt{3}$cosx = 0

$\iff \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=0$

$\iff$ sinxcos$\frac{\pi }{3}$ - cosxsin$\frac{\pi }{3}$ = 0 (do cos$\frac{\pi }{3}$=$\frac{1}{2}$ và sin$\frac{\pi }{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$)

$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0$

$\iff x-\frac{\pi }{3}=k\pi \left(k\in Z\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in Z\right)$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ với k ∈ ℤ

g) sinx + cosx = 0

$\iff$ cosx = ‒sinx

$\iff$ cosx = sin(‒x)

$\iff$ cosx = cos$\left(\frac{\pi }{2}-\left(-x\right)\right)$

$\iff$ cosx = cos$\left(\frac{\pi }{2}+x\right)$

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ với k ∈ ℤ.

Bài tập 13: Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0≤t<24) cho bởi công thức h=3cos(πt6+1)+12 (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021). Tìm t để độ sâu của mực nước là: 

a) 15 m;

b) 9 m;

c) 10,5 m. 

Trả lời:

a) 3cos(πt6+1)+12=15⇔t=−6π+12k(12π≤k<2+12π);

b) 3cos(πt6+1)+12=9⇔t=6−6π+12k(12π−12≤k<32+12π);

c) 3cos(πt6+1)+12=10,5⇔[tt=4−6π+12k=−4−6π+12k(12π−13≤k<53+12π)(12π+13≤k<73+12π). 

Bài tập 14: Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số y=4,8.sinx9 và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 39. 

a) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Tìm chiều rộng đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). 

b) Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6 m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 13,1 m. 

c) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hóa đó là 9 m sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 4,3 m. 

Trả lời:

a) Vì A nằm trên trục Ox nên tung độ của A = 0

Suy ra: 4,8.sinx9=0⇔sinx9=0⇔x9=π⇔x=9π

Vậy chiều rộng của con sông là 9π≈28,27 (m)

b) 

Sà lan có thể đi qua được gầm cầu khi và chỉ khi: 4,8.sinx9=3,6⇔sinx9=34

Do x∈[0;9π] nên x9∈[0;π]

Khi đó: x9≈0,848⇒x9<0,85⇒x<7,65

Ta có chiều rộng khối hàng hóa là: 2∣∣9π2−x∣∣

Vì x<7,65 nên 2∣∣9π2−x∣∣<12,97<13,1 (đcpcm)

c) 

Ta có: BC = 9

Nên 2∣∣9π2−x∣∣=9⇒x=92(π−1)

Do đó, chiều cao của khối hàng hóa là: 4,8.sin[92(π−1).19]=4,2<4,3 (đcpcm)