Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Câu hỏi khởi động: Ở lớp dưới, ta đã làm quen với một số phép tính trong tập hợp các số thực, chẳng hạn: phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên và những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa các luỹ thừa như vậy. Việc lấy các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã hình thành nên những phép tính mới trong tập hợp các số thực, đó là những phép tính lượng giác.

Có hay không những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác?

Trả lời:

Có các công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác sau:

‒ Công thức cộng;

‒ Công thức nhân đôi;

‒ Công thức biến đổi tích thành tổng;

‒ Công thức biến đổi tổng thành tích.

I. Công thức cộng

Hoạt động 1:

a) Cho $a=\frac{\pi }{6},b=\frac{\pi }{3}$. Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b). Từ đó rút ra đẳng thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (*).

b) Tính sin(a – b) bằng cách biến đổi sin(a – b) = sin[a + (‒b)] và sử dụng công thức (*).

Trả lời:

a) Với $a=\frac{\pi }{6}$ ta có sina = $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$; cosa = cos$\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Với b = $\frac{\pi }{3}$ ta có sinb = sin$\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$; cosb = cos$\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$.

Ta có sin(a+b) = sin$\left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)$ = sin$\frac{\pi }{2}$= 1;

sinacosb + cosasinb = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$= 1

Do đó sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (vì cùng bằng 1).

b) Ta có sin(a – b) = sin[a + (‒b)]

= sina cos(‒b) + cosa sin(‒b)

= sina cosb + cosa (‒sinb)

= sina cosb ‒ cosa sinb

Luyện tập, vận dụng 1: Tính sinπ12. 

Trả lời:

Ta có: sinπ12=sin(π3−π4)=sinπ3cosπ4−cosπ3sinπ4=6√−2√4

Hoạt động 2:

a) Tính cos(a + b) bằng cách biến đổi cos(a + b) = sin$\left(\frac{\pi }{2}-\left(a+b\right)\right)=\sin \left(\left(\frac{\pi }{2}-a\right)-b\right)$ và sử dụng công thức cộng đối với sin.

b) Tính cos(a ‒ b) bằng cách biến đổi cos(a – b) = cos[a + (‒b)] và sử dụng công thức cos(a + b) có được ở câu a.

Trả lời:

a) Ta có: cos(a + b) = sin$\left(\frac{\pi }{2}-\left(a+b\right)\right)=\sin \left(\left(\frac{\pi }{2}-a\right)-b\right)$

= sin$\left(\frac{\pi }{2}-a\right)$.cosb - cos$\left(\frac{\pi }{2}-a\right)$.sinb

= cosa.cosb - sina.sinb

Vậy cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb.

b) Ta có: cos(a – b) = cos[a + (‒b)]

= cosa cos(‒b) – sina sin(‒b)

= cosa cosb ‒ sina (‒sinb)

= cosa cosb + sina sinb.

Vậy cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb.

Luyện tập, vận dụng 2: Tính cos15∘.

Trả lời:

Ta có: cos15∘=cos(45∘−30∘)=cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘=6√+2√4

Hoạt động 3:

a) Sử dụng công thức cộng đối với sin và côsin, hãy tính tan(a + b) theo tana và tanb khi các biểu thức đều có nghĩa.

b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính tan (a – b) bằng cách biến đổi tan(a-b) = tan[a+(-b)] và sử dụng công thức tan(a + b) có được ở câu a.

Trả lời:

a) Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

tan(a + b) = $\frac{\sin \left(a+b\right)}{cos\left(a+b\right)}=\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}$

 (chia cả tử và mẫu cho cosacosb)

Vậy tan(a+b) = $\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$.

b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

tan(a-b) = tan[a+(-b)]

$=\frac{\tan a+\tan \left(-b\right)}{1-\tan a\tan \left(-b\right)}$

$=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$ .

Vậy tan(a-b) = $\tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$.

Luyện tập, vận dụng 3: Tính tan165∘. 

Trả lời:

Ta có: tan165∘=tan(135∘+30∘)=tan135∘+tan30∘1−tan135∘tan30∘=−2+3–√.

II. Công thức nhân đôi

Hoạt động 4: Tính sin2a, cos2a, tan2a bằng cách thay b = a trong công thức cộng.

Trả lời:

Ta có:

• sin2a = sin(a + a) = sinacosa + cosasina = 2sinacosa;

• cos2a = cos(a + a) = cosacosa – sinasina = cos2a – sin2a;

• Khi các biểu thức đều có nghĩa thì

tan2a = tan(a+a) = $\frac{\tan a+\tan a}{1-\tan a\tan a}=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$ .

Luyện tập, vận dụng 4: Cho tana2=−2. Tính tana. 

Trả lời:

Ta có: tan2a2=4

Áp dụng công thức: 1+tan2a=1cos2a (a≠π2+kπ,k∈Z) 

Ta có: 1cos2a2−1=4⇔21+cosa=5⇔cosa=−35⇔cos2a=925 

Suy ra: tan2a=169⇔tana=±43. 

Luyện tập, vận dụng 5: Tính: sin$\frac{\pi }{8}$, cos$\frac{\pi }{8}$.

Trả lời:

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:

Mà sin$\frac{\pi }{8}$>0 nên sin$\frac{\pi }{8}$= $\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

Mà cos$\frac{\pi }{8}$>0 nên cos$\frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

Hoạt động 5: Sử dụng công thức cộng, rút gọn mỗi biểu thức sau:

cos(a + b) + cos(a – b); cos(a + b) – cos(a – b); sin(a + b) + sin(a – b).

Trả lời:

Ta có:

• cos(a + b) + cos(a – b)

= (cosa cosb – sina sinb) + (cosa cosb + sina sinb)

= cosa cosb – sina sinb + cosa cosb + sina sinb

= 2cosa cosb.

• cos(a + b) – cos(a – b)

= (cosa cosb – sina sinb) – (cosa cosb + sina sinb)

= cosa cosb – sina sinb – cosa cosb – sina sinb

= –2sina sinb.

• sin(a + b) + sin(a – b)

= (sina cosb + cosa sinb) + (sina cosb ‒ cosa sinb)

= sina cosb + cosa sinb + sina cosb ‒ cosa sinb

= 2sina cosb.

Vậy cos(a + b) + cos(a – b) = 2cosa cosb;

cos(a + b) – cos(a – b) = –2sina sinb;

sin(a + b) + sin(a – b) = 2sina cosb.

Luyện tập, vận dụng 6: Cho cosa=23. Tính: B = cos3a2cosa2. 

Trả lời:

Ta có: cos3a2cosa2=12[cos2a+cosa]

Mà: cos2a=2cos2a−1=13

Suy ra: cos3a2cosa2=12. 

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

Hoạt động 6: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt a + b = u; a − b = v rồi biến đổi các biểu thức sau thành tích: cosu + cosv; cosu – cos v; sinu + sinv; sinu – sinv.

Trả lời:

Ta có 

Khi đó:

• cosu + cosv = cos(a + b) + cos(a – b)

= 2cosa cosb

= 2cos$\frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$.

• cosu – cosv = cos(a + b) – cos(a – b)

= –2sina sinb

= -2sin$\frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$.

• sinu + sinv = sin(a + b) + sin(a – b)

= 2sina cosb

= 2sin$\frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$.

• sinu – sinv = sin(a + b) – sin(a – b)

= sin(b + a) + sin(b – a)

= 2sinb cosa = 2cosa sinb

= 2cos$\frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$.

Luyện tập, vận dụng 7: Tính: D=sin7π9+sinπ9cos7π9−cosπ9. 

Trả lời:

D=sin7π9+sinπ9cos7π9−cosπ9=2sin7π9+π92cos7π9−π92−2sin7π9+π92sin7π9−π92=−cotπ3=−3√3

Bài tập

Bài tập 1: Cho cosa = $\frac{3}{5}$ với 0<a<$\frac{\pi }{2}$. Tính sin$\left(a+\frac{\pi }{6}\right)$, cos$\left(a-\frac{\pi }{3}\right)$, tan$\left(a+\frac{\pi }{4}\right)$.

Trả lời:

Do 0<a<$\frac{\pi }{2}$ nên sina>0.

Áp dụng công thức sin2a + cos2a = 1, ta có:

$si{n}^{2}a+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1$

$\Rightarrow si{n}^{2}a=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

$\Rightarrow$sina = $\frac{4}{5}$ (do sina > 0).

Khi đó tana = $\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$.

Áp dụng công thức cộng, ta có:

Bài tập 2: Tính:

A=sin(a−17∘)cos(a+13∘)−sin(a+13∘)cos(a−17∘);

B=cos(b+π3)cos(π6−b)−sin(b+π3)sin(π6−b). 

Trả lời:

A=sin(a−17∘)cos(a+13∘)−sin(a+13∘)cos(a−17∘)

    =sin(a−17∘−a−13∘)=sin(−30∘)=−12

B=cos(b+π3)cos(π6−b)−sin(b+π3)sin(π6−b)

    =cos(b+π3+π6−b)=cosπ2=0

Bài tập 3: Cho tan(a + b) = 3, tan(a – b) = 2. Tính: tan2a, tan2b.

Trả lời:

Ta có:

tan2a = tan[(a + b) + (a – b)]

$=\frac{\tan \left(a+b\right)+\tan \left(a-b\right)}{1-\tan \left(a+b\right)\tan \left(a-b\right)}=\frac{3+2}{1-3.2}=\frac{5}{-5}=-1$;

tan2b = tan[(a + b) ‒ (a – b)]

$=\frac{\tan \left(a+b\right)-\tan \left(a-b\right)}{1+\tan \left(a+b\right)\tan \left(a-b\right)}=\frac{3-2}{1+3.2}=\frac{1}{7}$.

Bài tập 4: Cho sina=25√. Tính: cos2a,cos4a. 

Trả lời:

cos2a=1−2sin2a=−35

cos4a=cos(2.2a)=1−2sin22a=1−2(1−cos22a)=−725

Bài tập 5: Cho sina + cosa = 1. Tính: sin2a.

Trả lời:

Ta có: sina + cosa = 1

$\Rightarrow$ (sina + cosa)2 = 12

$\Rightarrow$ sin2a + 2sina cosa + cos2a = 1

$\Rightarrow$ 2sina cosa + (sin2a + cos2a) = 1

$\Rightarrow$ sin2a + 1 = 1

$\Rightarrow$ sin2a = 0.

Vậy với sina + cosa = 1 thì sin2a = 0.

Bài tập 6: Cho cos2a = $\frac{1}{3}$ với $\frac{\pi }{2}$<a<$\pi$. Tính: sina, cosa, tana.

Trả lời:

Do $\frac{\pi }{2}$<a<$\pi$ nên cosa < 0 và sina > 0.

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

+ sin2a = $\frac{1-\cos 2a}{2}=\frac{1-\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{3}$$\Rightarrow$sina = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (do sina > 0).

+ cos2a = $\frac{1+\cos 2a}{2}=\frac{1+\frac{1}{3}}{2}=\frac{2}{3}$ $\Rightarrow$ cosa = $-\frac{\sqrt{6}}{3}$(do cosa < 0).

Khi đó: tan a = $\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}}$ = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy sin a = $\frac{\sqrt{3}}{3}$, cos a = $-\frac{\sqrt{6}}{3}$ và tan a = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Bài tập 7:

Cho cos2x=14

Tính: A=cos(x+π6)cos(x−π6);B=sin(x+π3)sin(x−π3). 

Trả lời:

Áp dụng công thức: cosacosb=12[cos(a+b)+cos(a−b)]

⇒A=cos(x+π6)cos(x−π6)=12[cos2x+cosπ3]=38

Áp dụng công thức: sinasinb=−12[cos(a+b)−cos(a−b)]

⇒B=sin(x+π3)sin(x−π3)=−12[cos2x−cos2π3]=−38.

Bài tập 8: Rút gọn biểu thức: A = $\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}$.

Trả lời:

A = $\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}$

= $\frac{2\sin x\cos x}{1+\left(2{\cos }^{2}x-1\right)}$ (sử dụng công thức nhân đôi)

= $\frac{2\sin x\cos x}{2{\cos }^{2}x}$

= $\frac{\sin x}{\cos x}$ = tan x.

Vậy A = tan x.

Bài tập 9: Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 17). 

a) Tính tanα, ở đó α là góc giữa hai sợi cáp trên.

b) Tìm góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ). 

Trả lời:

a) Gọi β là góc tạo thành của sợi cáp R với mặt đất; γ là góc tạo thành của sợi cáp S với mặt đất.

Do đó: α=β−γ.

Ta có: tanα=tan(β−γ)=tanβ−tanγ1+tanβ.tanγ=1415−12151+1415.1215=10131

b) tanα=10131⇒α≈0,076. 

Bài tập 10: Có hai chung cư cao tầng I và II xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư II người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư I mà camera có thể quan sát được (Hình 18). Hãy tính số đo góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư I). Biết rằng chiều cao của chung cư II là CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Trả lời:

Kẻ AM ⊥ CK, BN ⊥CK (hình vẽ) ta có:

BN = AM = HK = 20 (m);

CN = CK – NK = CK – BH = 32 – 24 = 8 (m);

MN = AB = BH – AH = 24 – 6 = 18 (m);

CM = CN + MN = 8 + 18 = 26 (m).

Đặt ${\mathrm{BCN^\backslash widehat\{BCN\}BCN}}^{}=\alpha ,{\mathrm{ACM^\backslash widehat\{ACM\}ACM}}^{}=\beta$.

Xét $\Delta$BCN vuông tại N có: tan$\alpha =\frac{BN}{CN}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$;

Xét $\Delta$ACM vuông tại M có: tan$\beta =\frac{AM}{CM}=\frac{20}{26}=\frac{10}{13}$;

Ta có: tan${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}=\tan \left({\mathrm{BCN^\backslash widehat\{BCN\}BCN}}^{}-{\mathrm{ACM^\backslash widehat\{ACM\}ACM}}^{}\right)=\tan \left(\alpha -\beta \right)$

$\Rightarrow \tan {\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }=\frac{\frac{5}{2}-\frac{10}{13}}{1+\frac{5}{2}.\frac{10}{13}}=\frac{45}{76}$.

=> ${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}\approx 31°$.

Vậy góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư I) có số đo xấp xỉ 31°.