Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài 3: Hàm số liên tục

Cầu Sông Hàn là một trong những cây cầu bắc qua sông Hàn ở Đà Nẵng. Đây là cây cầu quay đầu tiên do kĩ sư, công nhân Việt Nam tự thiết kế và thi công. Khi cầu không quay (Hình 10a), mặt cầu liền mạch nên các phương tiện có thể đi lại giữa hai đầu cầu. Khi cầu quay (Hình 10b) để các tàu, thuyền có thể đi qua thì mặt cầu không còn liền mạch nữa, các phương tiện không thể đi qua giữa hai đầu cầu. 

Câu hỏi: Kiến thức gì trong toán học thể hiện chuyển động có đường đi là đường liền mạch? 

Trả lời:

- Kiến thức về hàm số liên tục thể hiện chuyển động có đường đi là đường liền mạch. 

I. Khái niệm

Hoạt động 1: Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x ở Hình 11.

a) Tính $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x).

b) So sánh $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x)và f(1).

Trả lời:

a) Ta có: $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }x$ = 1.

b) Ta có: f(1) = 1 nên $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x)=f(1).

Luyện tập, vận dụng 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x)=x3+1 tại x0=1. 

Trả lời:

Ta có: f(1)=2

limx→1f(x)=limx→1(x3+1)=2

Suy ra: limx→1f(x)=f(1)=2

Do đó: Hàm số f(x)=x3+1 liên tục tại x0=1.

Hoạt động 2: Cho hàm số f(x) = x + 1 với x ∈ ℝ.

a) Giả sử x0 ∈ ℝ. Hàm= số f(x) có liên tục tại điểm x0 hay không?

b) Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x + 1 với x ∈ ℝ (Hình 13), nêu nhận xét về đặc điểm của đồ thị hàm số đó.

Trả lời:

a) Với x0 ∈ ℝ bất kì ta có: $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = xo+1 - f(xo). Do đó hàm số liên tục tại x = x0.

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số là một đường thẳng liền mạch với mọi giá trị x ∈ ℝ.

Luyện tập, vận dụng 2: Hàm số f(x) = . Có liên tục trên ℝ hay không?

Trả lời:

Ta có: limx→2−f(x)=limx→2−(x−1)=1

limx→2+f(x)=limx→2+(−x)=−2

f(2)=−2

Do đó: limx→2−f(x)≠limx→2+f(x)=f(2)

Vậy hàm số đã cho không liên tục trên R. 

II. Một số định lí cơ bản

Hoạt động 3: Quan sát đồ thị các hàm số: y = x2 – 4x + 3 (Hình 14a); y = $\frac{x+1}{x-1}\left(x\ne 1\right)$(Hình 14b); y = tanx (Hình 14c) và nêu nhận xét về tính liên tục của mỗi hàm số đó trên từng khoảng của tập xác định.

Trả lời:

Hình 14a) đồ thị là đường cong Parabol liền mạch nên hàm số liên tục trên toàn bộ khoảng xác định.

Hình 14b) đồ thị bị chia làm hai nhánh:

- Với x < 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên liên tục.

- Với x > 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên liên tục.

Vậy hàm đố liên tục trên từng khoảng xác định.

Hình 14c) đồ thị hàm số y = tanx chia thành nhiều nhánh, và mỗi nhánh là các đường cong liền. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng xác định của chúng.

Luyện tập, vận dụng 3: Hàm số f(x)=x+2x−8 có liên tục trên mỗi khoảng (−∞;8), (8;+∞) hay không?

Trả lời:

Tập xác định: R∖{8}

Do hàm số đã cho là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số này liên tục trên mỗi khoảng (−∞,8) và (8,+∞)

Hoạt động 4: Cho hai hàm số f(x)= x3 + x và g(x) = x2 + 1 (x ∈ ℝ). Hãy cho biết:

a) Hai hàm số f(x), g(x) có liên tục tại x = 2 hay không.

b) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) – g(x); f(x).g(x); $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$có liên tục tại x = 2 hay không.

Trả lời:

a) Tại x = 2 có $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^3+x\right)$ = 23+2 = 10 = f(2). Do đó hàm số f(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^2+1\right)$ = 22+1 = 5 = g(2). Do đó hàm số g(x) liên tục tại x = 2.

b) Tại x = 2 có$\underset{x\to 2}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=10+5=15=f\left(2\right)+g\left(2\right)$

Do đó hàm số f(x) + g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\to 2}{\lim }\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=10-5=5=f\left(2\right)-g\left(2\right)$

Do đó hàm số f(x) – g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\to 2}{\lim }\left(f\left(x\right).g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right).\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=10.5=50=f\left(2\right).g\left(2\right)$

Do đó hàm số f(x).g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)=\frac{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)}=\frac{10}{5}=2=\frac{f\left(2\right)}{g\left(2\right)}$

Do đó hàm số $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại x = 2.

Luyện tập, vận dụng 4: Xét tính liên tục của hàm số f(x)=sinx+cosx trên R. 

Trả lời:

Ta có: y=sinx là hàm lượng giác nên liên tục trên R, y=cosx là hàm lượng giác nên liên tục trên R. 

Do đó: Hàm số f(x)=sinx+cosx liên tục trên R. 

Bài tập

Bài tập 1: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = 2x3 + x + 1 tại điểm x = 2.

Trả lời:

Hàm số f(x) = 2x3 + x + 1 xác định trên ℝ.

Ta có: $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(2x^3+x+1\right)$ = 2.23+2+1 = 17 = f(2).

Do đó hàm số liên tục tại x = 2.

Bài tập 2: Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích. 

Trả lời:

a) f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

b) TXĐ: R∖{1}

Do hàm số g(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên mỗi khoảng (−∞,1) và (1,+∞). 

c) Ta có: limx→−1−h(x)=limx→−1−(−2x)=2

limx→−1+h(x)=limx→−1+(x+1)=0

h(−1)=−1+1=0

Do đó: limx→−1−h(x)≠limx→−1+h(x)=h(−1)

Vậy hàm số h(x) không liên tục tại x=−1. 

Bài tập 3: Bạn Nam cho rằng: “Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0, còn hàm số y = g(x) không liên tục tại x0, thì hàm số y = f(x) + g(x) không liên tục tại x0”. Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.

Trả lời:

Theo em ý kiến của bạn Nam là đúng.

Ta có: Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 nên $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

Hàm số y = g(x) không liên tục tại x0 nên $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)\ne g\left(x_0\right)$.

Do đó $\underset{x\to x_0}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)\ne f\left(x_0\right)+g\left(x_0\right)$.

Vì vậy hàm số không liên tục tại x0.

Bài tập 4: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:

a) f(x)=x2+sinx;

b) g(x)=x4−x2+6x−1;

c) h(x)=2xx−3+x−1x+4. 

Trả lời:

a) Ta có: y=x2 là hàm đa thức nên liên tục trên R.

y=sinx là hàm lượng giác nên liên tục trên R.

Do đó: Hàm số f(x)=x2+sinx liên tục trên R.

b) TXĐ: R∖{1}

Ta có: y=x4−x2 là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Do đó: Hàm số g(x)=x4−x2+6x−1 liên tục trên mỗi khoảng (−∞,1) và  (1,+∞). 

c) TXĐ: R∖{3;−4}

Hàm số h(x)=2xx−3+x−1x+4 liên tục trên mỗi khoảng (−∞,−4), (−4,3) và  (3,+∞).

Bài tập 5: Cho hàm số f(x) = 

a) Với a = 0, xét tính liên tục của hàm số tại x = 4.

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 4?

c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?

Trả lời:

a) Với a = 0, tại x = 4, ta có:

$\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4}{\lim }\left(x^2+x+1\right)=4^2$+4+1 = 21 và f(4) = 2.0 + 1 = 1

Suy ra $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)\ne f\left(4\right)$.

Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 4.

b) Ta có: $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4}{\lim }\left(x^2+x+1\right)=4^2$+4+1 = 21và f(4) = 2.a + 1

Để hàm số liên tục tại x = 4 thì $\underset{x\to 4}{\lim }$f(x) = f(4)

⇔ 21 = 2a + 1

⇔ 2a = 20

⇔ a = 10

Vậy với a = 10 thì hàm số liên tục tại x = 4.

c) Với x ∈ (– ∞; 4) có f(x) = x2 + x + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này.

Với x ∈ (4; +∞) có f(x) = 2a + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này.

Tại x = 4 thì a = 10 hàm số liên tục.

Vậy với a = 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

Bài tập 6: Hình 16 biểu thị độ cao h (m) của một quả bóng được đá lên theo thời gian t (s), trong đó h(t)=−2t2+8t. 

a) Chứng tỏ hàm số h(t) liên tục trên tập xác định.

b) Dựa vào đồ thị hãy xác định limt→2(−2t2+8t). 

Trả lời:

a) Ta có: h≥0,t≥0⇒−2t2+8t≥0⇔0≤t≤4

Suy ra tập xác định hàm số là: [0,4].

Vì hàm số là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên đoạn [0,4].

b) limt→2(−2t2+8t)=8