Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài 1: Giới hạn của dãy số

Zénon (Zê-nông, 496 - 429 trước Công nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edéc đã phát biểu nghịch lí như sau: Achilles (A-sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là có "đôi chân chạy nhanh như gió" đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách Achilles một khoảng bằng a khác 0. Khi Achilles chạy đến vị trí rùa xuất phát thì rùa chạy về trước một khoảng (như Hình 1). Quá trình này tiếp tục vô hạn. Vì thế, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa. 

Câu hỏi khởi động: Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng? 

Trả lời:

- Kiến thức về giới hạn có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng. 

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Hoạt động 1: Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (un), với u­n = $\frac{1}{n}$trên hệ trục tọa độ.

a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị un khi n ngày càng lớn.

b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Kể từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?

Trả lời:

a) Khi n ngày càng lớn thì giá trị của un càng giảm dần về 0.

b) Ta có bảng:

Kể từ số hạng u1001 trở đi thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001.

Kể từ số hạng u10 001 trở đi thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,0001.

Luyện tập, vận dụng 1: Chứng minh rằng:

a) lim0=0;

b) lim1n√=0. 

Trả lời:

a) Vì |un|=|0|<1 nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có: lim0=0. 

b) Vì 0<∣∣1n√∣∣<1 nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có: lim1n√=0. 

Hoạt động 2: Cho dãy số (un), với un = 2 + $\frac{1}{n}$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n-2\right)$.

Trả lời:

Ta có: un – 2 = 2 + $\frac{1}{n}$– 2 = $\frac{1}{n}$

Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:

|un – 0| < ε ⇔ .

Chọn N ≥ $\frac{1}{\epsilon }$thì với mọi n > N ta có: 

Vì vậy lim(un-2) = 0.

Luyện tập, vận dụng 2: Chứng minh rằng lim−4n+1n=−4. 

Trả lời:

- Ta có: lim(−4n+1n+4)=lim1n=0 nên lim−4n+1n=−4.

Luyện tập, vận dụng 3: Chứng minh rằng lim(eπ)n=0. 

Trả lời:

- Vì ∣∣eπ∣∣<1 nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có: lim(eπ)n=0. 

II. Định lí về giới hạn hữu hạn

Hoạt động 3: Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 8+$\frac{1}{n}$; vn = 4-$\frac{2}{n}$.

a) Tính limun, limvn.

b) Tính lim(un + vn) và so sánh giá trị đó với tổng limun + limvn.

c) Tính lim(un.vn) và so sánh giá trị đó với tổng limun.limvn.

Trả lời:

a) Ta có: lim(un-8) = lim$\left(8+\frac{1}{n}-8\right)$ = 0.

Do đó limun = 8.

Ta có: lim(vn-4) = lim$\left(4-\frac{2}{n}-4\right)$ = 0.

Do đó limvn = 4.

b) limun + limvn = 8 + 4 = 12.

Ta có: un + vn = 8+$\frac{1}{n}$+4-$\frac{2}{n}$ = 12-$\frac{1}{n}$

Ta lại có: lim(un+vn-12) = lim$\left(12-\frac{1}{n}-12\right)$ = 0.

Suy ra lim(un + vn) = 12.

Vì vậy lim(un + vn) = limun + limvn.

b) Ta có: un.vn = $\left(8+\frac{1}{n}\right)\left(4-\frac{2}{n}\right)=32-\frac{12}{n}-\frac{2}{n^2}$.

Khi đó lim(un.vn – 32) = lim$\left(32-\frac{12}{n}-\frac{2}{n^2}-32\right)$=0.

Ta lại có: limun.limvn = 8.4 = 32.

Vì vậy limun.limvn = lim(unvn).

Luyện tập, vận dụng 4: Tính các giới hạn sau: 

a) lim8n2+nn2;

b) lim4+n2√n. 

Trả lời:

a) lim8n2+nn2=lim8+lim1n=8

b) lim4+n2√n=limn4n2+1√n=1

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Hoạt động 4: Cho cấp số nhân (un), với u1 = 1 và công bội q=$\frac{1}{2}$.

a) Hãy so sánh |q| với 1.

b) Tính Sn = u1 + u2 + ... + un. Từ đó, hãy tính limSn.

Trả lời:

a) Ta có: |q| = $\frac{1}{2}$< 1.

b) Ta có: (un) là cấp số nhân lùi vô hạn có tổng n số hạng đầu tiên là:

$S_n=\frac{1.\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)$

$\lim S_n=\lim 2\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)=\lim 2.\lim \left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)=2$.

Luyện tập, vận dụng 5: Tính tổng M=1−12+122−...+(−12)n−1+...

Trả lời:

S=11−(−12)=23

Luyện tập, vận dụng 6: Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.  

Trả lời:

Để đơn giản, ở đây ta chỉ xét một trường hợp cụ thể (trường hợp tổng quát được giải quyết tương tự).

Giả sử tốc độ chạy của A-sin là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách điểm xuất phát O của A-sin 100km.

Ta tính thời gian A-sin đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA1,A1A2,A2A3,... ,An−1An,... Nếu tổng này vô hạn thì A-sin không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà A-sin đuổi kịp rùa. 

Để chạy hết quãng đường OA1=100 (km), A-sin phải mất thời gian t1=100100=1 (h). 

Với thời gian t1 này, rùa đã chạy được quãng đường A1A2=1 (km).

Để chạy hết quãng đường A1A2=1 (km), A-sin phải mất thời gian t2=1100 (h). 

Với thời gian t2 rùa đã chạy thêm được quãng đường A2A3=1100 (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường An−1An=1100n−2 (km), A-sin phải mất thời gian tn=1100n−1 (h). 

Vậy tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OA1,A1A2,A2A3,... ,An−1An,... là: 

T=1+1100+11002+11003+... +1100n+... (h)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1=1, công bội q=1100, nên ta có:

T=11−1100=10099=1199 (h)

Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau 1199 giờ. 

Kết quả trên cho phép giải thích nghịch lí của Zénon.

IV. Giới hạn vô cực

Hoạt động 5: Quan sát dãy số (un) với u­n = n2 và cho biết giá trị của nn có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Trả lời:

Ta có bảng giá trị sau:

Từ đó ta có các nhận xét sau:

+) Kể từ số hạng thứ 2 trở đi thì un > 1 .

+) Kể từ số hạng thứ 101 trở đi thì un > 10 000.

...

Vậy ta thấy un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Luyện tập, vận dụng 7: Tính lim(−n3). 

Trả lời:

lim(−n3)=−∞

Luyện tập, vận dụng 8: Chứng tỏ rằng lim$\frac{n-1}{n^2}$=0.

Trả lời:

Ta có:

Đặt un = n – 1 và $v_n=\frac{1}{n^2}$, khi đó limun = +∞ và limvn=lim$\frac{1}{n^2}$=0.

Vậy lim$\frac{n-1}{n^2}$=limun.limvn=0.

Bài tập

Bài tập 1: Cho hai dãy số (un),(vn) với un=3+1n;vn=5−2n2. Tính các giới hạn sau:

a) limun,limvn.

b) lim(un+vn),lim(un−vn),lim(un.vn),limunvn. 

Trả lời:

a) limun=lim(3+1n)=lim3+lim1n=3

limvn=lim(5−2n2)=lim5−lim2n2=5

b) lim(un+vn)=limun+limvn=3+5=8

lim(un−vn)=limun−limvn=3−5=−2

lim(un.vn)=limun.limvn=3.5=15

limunvn=limunlimvn=35

Bài tập 2: Tính các giới hạn sau:

a) lim$\frac{5n+1}{2n}$;

b) lim$\frac{6n^2+8n+1}{5n^2+3}$;

c) lim$\frac{\sqrt{n^2+5n+3}}{6n+2}$;

d) lim$\left(2-\frac{1}{3^n}\right)$;

e) lim$\frac{3^n+2^n}{{4.3}^n}$;

g) lim$\frac{2+\frac{1}{n}}{3^n}$.

Trả lời:

a) lim$\frac{5n+1}{2n}$ = lim$\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2n}\right)=\lim \frac{5}{2}+\lim \frac{1}{2n}=\frac{5}{2}$.

Bài tập 3: 

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với (un), với u1=23,q=−14.

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số. 

Trả lời:

a) S=231−(−14)=56;

b) 1,(6)=53.

Bài tập 4: Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích Sn của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Trả lời:

a) Gọi Sn là diện tích của hình vuông thứ n.

Ta có: S1 = 1; S2 = $\frac{1}{2}$; S3 = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$; ...

Dãy (Sn) lập thành cấp số nhân có số hạng đầu S1 = 1 và công bội q = $\frac{1}{2}$có công thức tổng quát là: Sn = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

b) Ta có: |q|=|$\frac{1}{2}$|<1nên dãy (Sn­) trên lập thành một cấp số nhân lùi hạn nên ta có:

S = 1+$\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\mathrm{...}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

Vậy tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt).

Bài tập 5: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021)

Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. 

a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un). 

b) Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10−6 g. 

Trả lời:

a) Sau một chu kì bán rã: u1=12.1=12 (kg).

Sau hai chu kì bán rã: u2=12.u1=122.

Tổng quát: Sau n chu kì bán rã: un=12n.

b) limn→∞un=limn→∞(12)n=0.

c) Đổi 10−6 g = 10−9 kg

Ta có: un<10−9⇔12n<10−9⇔2n>109⇔n≥30

Vậy sau 30 chu kì, tức là 30.24000 = 720 000 năm thì 1 kg phóng xạ này không còn độc hại nữa. 

Bài tập 6: Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2}$.

C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{4}$, ...

Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2^n}$,...(Hình 4).

Gọi Pn là độ dài của Cn­, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB.

a) Tính pn, Sn.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).

Trả lời:

a)

+) Ta có: p1 = $\frac{\pi R}{2}$; p2 = $\frac{\pi R}{4}=\frac{\pi R}{2^2}$; p3 = $\frac{\pi R}{8}=\frac{\pi R}{2^3}$; ...

(pn) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p1 = $\frac{\pi R}{2}$và công bội q = $\frac{1}{2}$<1 có số hạng tổng quát pn = $\frac{\pi R}{2}.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

+) Ta có: C1 = $\frac{\pi R^2}{4}$; C2 = $\frac{\pi R^2}{4^2}$; C3 = $\frac{\pi R^3}{4^3}$; ...

(Cn) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu C1 = $\frac{\pi R^2}{4}$và công bội q = $\frac{1}{4}$<1có số hạng tổng quát Cn = $\frac{\pi R}{4}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$.