Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Câu hỏi khởi động: Trên mặt chiếc đồng hồ, kim giây đang ở vị trí ban đầu chỉ vào số 3 (Hình 1). Kim giây quay ba vòng và một phần tư vòng (tức là $3\frac{1}{4}$vòng) đến vị trí cuối chỉ vào số 6. Khi quay như thế, kim giây đã quét một góc với tia đầu chỉ vào số 3, tia cuối chỉ vào số 6.

Góc đó gợi nên khái niệm gì trong toán học? Những góc như thế có tính chất gì?

Trả lời:

Kim giây đã quét một góc với tia đầu Ou chỉ vào số 3, tia cuối Ov chỉ vào số 6 (hình vẽ trên), góc này là một góc lượng giác.

Những góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì có số đo hơn kém nhau k360° (hay k2π).

I. Góc lượng giác

1. Góc hình học và số đo của chúng

Hoạt động 1: Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng.

Trả lời:

Góc (còn được gọi là góc hình học) là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc (hình học) là độ. Số đo của một góc (hình học) không vượt quá 180°.

Chẳng hạn: Góc xOy gồm hai tia Ox và Oy chung gốc O có số đo là 60° (hình vẽ).

Luyện tập, vận dụng 1: Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau?

Trả lời:

2. Góc lượng giác và số đo của chúng

Hoạt động 2: So sánh chiều quay của kim đồng hồ với:

a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.

b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.

Trả lời:

a) Chiều quay của kim đồng hồ ngược chiều với chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.

b) Chiều quay của kim đồng hồ cùng chiều với chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.

Luyện tập, vận dụng 2: Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác đó trong hình 4b

Trả lời:

- Trong hình 4b, góc lượng giác là (Oz, Ot) với tia đầu Oz và tia cuối Ot. 

Hoạt động 3:

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là $3\frac{1}{4}$ vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

c) Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

Trả lời:

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc 360°.

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là $3\frac{1}{4}$ vòng) thì tia đó quét nên một góc là $3\frac{1}{4}.360°=1170°$ .

c) Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc là ‒360°.

Luyện tập, vận dụng 3: Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo −5π4. 

Trả lời:

Ta có: −5π4 = −π+(−π4)

Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo −5π4 được biểu diễn ở hình dưới đây

Hoạt động 4: Trong Hình 7a, ba góc lượng giác có cùng tia đầu Ou và tia cuối Ov, trong đó Ou ⊥ Ov. Xác định số đo của góc lượng giác trong các Hình 7b, 7c, 7d.

Trả lời:

Quan sát Hình 7 ta thấy:

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7b) là 90°.

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7c) là 360° + 90° = 450°.

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7d) là – (360° – 90°) = 90° – 360° = 270°. 

Luyện tập, vận dụng 4: Cho góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo −4π3. Cho góc lượng giác (O'u', O'v') có tia đầu O'u' ≡ Ou, tia cuối O'v' ≡ Ov. Viết công thức biểu thị số đo góc lượng giác (O'u', O'v').

Trả lời:

Ta có: (O'u', O'v') = (Ou, Ov) + k2π = −4π3 + k2π  (k∈Z). 

Hoạt động 5: Cho góc (hình học) xOz, tia Oy nằm trong góc xOz (Hình 8). Nêu mối liên hệ giữa số đo của góc xOz và tổng số đo của hai góc xOy và yOz.

Trả lời:

- Do tia Oy nằm trong góc xOz nên ${\mathrm{xOz^xOz}}^{}=\stackrel{}{}xOy^xOy+{\mathrm{yOz^yOz}}^{}$ .

Luyện tập, vận dụng 5: Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là −11π4, góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là 3π4. Tìm số đo của góc lượng giác (Ov, Ow).

Trả lời:

Theo hệ thức Chasles, ta có: 

(Ov, Ow) = - (Ou, Ov) + (Ou, Ow) + k2π = 11π4 + 3π4 + k2π (k∈Z).

II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Đường tròn lượng giác

Hoạt động 6:

a) Trong mặt phẳng toạ độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.

b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.

Trả lời:

a) Đường tròn tâm O có bán kính bằng 1 (hình vẽ):

b) Chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ; chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

Luyện tập, vận dụng 6: Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = −π3.

Trả lời:

Gọi N là điểm nằm trên cung AB' trên đường tròn lượng giác, sao cho cung AN = 23 cung AB'.

Ta có: (OA, ON) = −π3

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hoạt động 7:

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60°.

b) So sánh: hoành độ của điểm M với cos60°; tung độ của điểm M với sin60°.

Trả lời:

a) Ta có (OA, OM) = 60° là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc 60°.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60° được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

b) Gọi H là K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Ta có: $\widehat{HOM}=\widehat{AOM}={60}^o$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OHM, ta có:

OH = OM . cos${\mathrm{HOM^HOM}}^{}$ = 1 . cos 60° = cos 60° = $\frac{1}{2}$.

MH = OM . sin${\mathrm{HOM^HOM}}^{}$ = 1 . sin 60° = sin 60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Do đó, OK = MH = sin 60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Khi đó M$\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Vậy xM = cos60° và yM = sin60°.

Luyện tập, vận dụng 7: Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác β=−π4. 

Trả lời:

Lấy điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = β = −π4 (Hình dưới). Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của điểm N trên các trục Ox, Oy. 

Theo hệ thức trong tam giác vuông DON, ta có:

OD = ON.cos$\widehat{DON}$$\widehat{DON}$
 = cos(−π4) = cos(π4) = 2√2

ND = ON.sin$\widehat{DON}$
 = sin(−π4)=−sin(π4)=−2√2 

Do đó, N(2√2, −2√2 ).

Vậy: sin(−π4) = −2√2 ; cos(−π4) = 2√2; tan(−π4)=−tan(π4)=−1; cot(−π4)=−cot(π4)=−1. 

Hoạt động 8: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác α = ‒30°.

Trả lời:

Giả sử M là một điểm trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α = ‒30°.

Điểm M được biểu diễn như hình vẽ sau:

Khi đó ta có xM > 0 và yM < 0

Suy ra cosα > 0 và sinα < 0

Do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }<0$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }<0$ .

Luyện tập, vận dụng 8: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác α=5π6.

Trả lời:

Do π2<5π6<π nên sin(5π6)>0; cos(5π6)<0; tan(5π6)<0; cot(5π6)<0. 

Hoạt động 9: Cho góc lượng giác α. So sánh:

a) cos2α + sin2α và 1;

b) tanα . cotα và 1 (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0);

c) $1+{\tan }^2\alpha$ và $\frac{1}{co{s}^2\alpha }$ với cosα ≠ 0;

d) $1+{\cot }^2\alpha$ và với $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$sinα ≠ 0.

Trả lời:

a)

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó ta có:${\mathrm{AOM^AOM}}^{}=\alpha$.

Xét DOMH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

OM2 = OH2 + MH2

Suy ra ${\mathrm{AOM^AOM}}^{}=\alpha$ hay$1={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha$.

Vậy cos2α + sin2α= 1.

b) Ta có $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ '$\cot \alpha =\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }$, (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0)

Suy ra $\tan \alpha .\cot \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=1$

c) Với cosα ≠ 0, ta có:

$1+{\tan }^2\alpha =1+{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (do cos2α + sin2α= 1).

d) Với sinα ≠ 0, ta có:

$1+{\cot }^2\alpha =1+{\left(\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\right)}^2=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (do cos2α + sin2α= 1).

Luyện tập, vận dụng 9: Cho góc lượng giác α sao cho π<α<3π2 và sinα=−45. Tìm cosα. 

Trả lời:

Do π<α<3π2 nên cosα<0.

Áp dụng công thức cos2α+sin2α=1 với mọi α, ta có:

cos2α=1−sin2α=1−(−45)2=925

Suy ra cosα=−35.

Hoạt động 10: Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác α = $\frac{\pi }{4}$.

Trả lời:

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α = $\frac{\pi }{4}$ = 45° (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó, ta có: ${\mathrm{AOM^AOM}}^{}=\text{45}°$.

Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có:

$x_M=OH=OM.cos{\mathrm{HOM^HOM}}^{}=1.c\text{os45}°=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$y_M=OK=MH=OM.\sin {\mathrm{HOM^HOM}}^{}=1.\sin \text{45}°=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Do đó $M\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Vậy $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2};cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2};$$\tan 45°=1;\cot 45°=1$.

Luyện tập, vận dụng 10: Tính giá trị của biểu thức: 

Q=tan2π3+sin2π4+cotπ4+cosπ2.

Trả lời:

Ta có: Q=tan2π3+sin2π4+cotπ4+cosπ2=(3–√)2+(2√2)2+1+0=92.

3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Hoạt động 11: Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác (OA, OM) = α, góc lượng giác (OA, OM’) = – α (Hình 13).

a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.

b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác α và – α.

Trả lời:

a) Nhận xét: xM = xM’ và yM = ‒yM’.

b) Do xM = xM’ nên cosα = cos(‒α)

Do yM = ‒yM’ nên sinα = ‒sin(‒α).

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\sin \left(-\alpha \right)}{\cos \left(-\alpha \right)}=-\tan \left(-\alpha \right)$; $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\tan \left(-\alpha \right)}=-\cot \left(-\alpha \right)$.

Luyện tập, vận dụng 11: Tính:

a) cos2π8+cos23π8;

b) tan1∘.tan2∘.tan45∘.tan88∘.tan89∘. 

Trả lời:

Ta có:

a) cos2π8+cos23π8=cos2(π2−3π8)+cos23π8=sin23π8+cos23π8=1

b) tan1∘.tan2∘.tan45∘.tan88∘.tan89∘

    =cot(90∘−1∘).cot(90∘−2∘).tan45∘.tan88∘.tan89∘

    =cot89∘.cot88∘.tan45∘.tan88∘.tan89∘

    =cot89∘.tan89∘.cot88∘.tan88∘.tan45∘

    =tan45∘=1. 

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Luyện tập 12: Dùng máy tính cầm tay để tính:

a) tan(‒75°);

b) $\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)$.

Trả lời:

a) Chuyển máy tính về chế độ “độ”:

b) Ta có: $\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)=\frac{1}{\tan \left(-\frac{\pi }{5}\right)}$

Chuyển máy tính về chế độ “radian”.

Vậy $\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)=-1,37638192$

Bài tập

Bài tập 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằng π2,7π6,−π6. 

Trả lời:

Điểm M ≡ điểm B thì (OA, OM) = π2. 

Điểm N nằm trên cung A'B', sao cho cung A'N = 13 cung A'B' thì (OA, ON) =  7π6. 

Điểm P nằm trên cung AB', sao cho cung AP = 13 cung AB' thì (OA, OP) = −π6. 

Bài tập 2: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225°; ‒225°; ‒1 035°; $\frac{5\pi }{3};\frac{19\pi }{2};-\frac{159\pi }{4}$.

Trả lời:

‒ Các giá trị lượng giác của góc 225°:

Ta có: cos225° = cos(45° + 180°)= ‒cos45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin225° = sin(45° + 180°) = ‒sin45° =$=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

tan225° = tan(45° + 180°) = tan45° = 1;

cot225° = cot(45° + 180°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒225°:

Ta có: cos(‒225°) = cos225° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin(‒225°) = ‒sin225° = $-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

tan(‒225°) = ‒tan225° = ‒1;

cot(‒225°) = ‒cot225° = ‒1;

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒1 035°:

Ta có: cos(‒1 035°) = cos(‒3 . 360° + 45°) = cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin(‒1 035°) = sin(‒3 . 360° + 45°) = sin45° =$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

tan(‒1 035°) = tan(‒3 . 360° + 45°) = tan45° = 1;

cot(‒1 035°) = cot(‒3 . 360° + 45°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc $\frac{5\pi }{3}$:

Ta có: $cos\frac{5\pi }{3}=cos\left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=-cos\frac{2\pi }{3}=-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$;

$\sin \frac{5\pi }{3}=\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=-\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

$\tan \frac{5\pi }{3}=\tan \left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=\tan \frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$ ;

$\cot \frac{5\pi }{3}=\cot \left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=\cot \frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

‒ Các giá trị lượng giác của góc $\frac{19\pi }{2}$ :

Ta có: $cos\frac{19\pi }{2}=cos\left(9\pi +\frac{\pi }{2}\right)=c\text{os}\left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-cos\frac{\pi }{2}=0$ ;

$\sin \frac{19\pi }{2}=\sin \left(9\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \frac{\pi }{2}=-1$ ;

Do $cos\frac{19\pi }{2}=0$ nên $\tan \frac{19\pi }{2}$ không xác định;

$\cot \frac{19\pi }{2}=\cot \left(9\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\cot \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\cot \frac{\pi }{2}=0$ .

‒ Các giá trị lượng giác của góc $-\frac{159\pi }{4}$ :

Ta có: $cos\left(-\frac{159\pi }{4}\right)=cos\left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=c\text{os}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\sin \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\sin \left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\text{sin}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$\tan \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\tan \left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$;

$\cot \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\cot \left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\cot \frac{\pi }{4}=1$ .

Bài tập 3: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau: 

a) π3+k2π  (k∈Z);

b) kπ  (k∈Z);

c) π2+kπ  (k∈Z);

d) π4+kπ  (k∈Z). 

Trả lời:

a) sin(π3+k2π)=3√2;cos(π3+k2π)=12;tan(π3+k2π)=3–√;cot(π3+k2π)=3√3.

b) sin(kπ)=0; cos(kπ)=−1 nếu k lẻ hoặc =1 nếu k chẵn; tan(kπ)=0.

c) sin(π2+kπ)=−1 nếu k lẻ hoặc =1 nếu k chẵn; cos(π2+kπ)=0;cot(π2+kπ)=0.

d) sin(π4+kπ)=−2√2 nếu k lẻ hoặc =2√2 nếu k chẵn; cos(π4+kπ)=−2√2 nếu k lẻ hoặc =2√2 nếu k chẵn; tan(π4+kπ)=1;cot(π4+kπ)=1.

Bài tập 4: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

b) $cos\alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$ ;

c) tanα = 3 với ‒π < α < 0;

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Trả lời:

a) Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên cosα < 0.

Áp dụng công thức sin2α + cos2α = 1, ta có:

${\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2+co{s}^2\alpha =1$

$\Rightarrow co{s}^2\alpha =1-{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow cos\alpha =-\frac{1}{4}$ (do cosα < 0).

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}=-\sqrt{15}$ ;

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\sqrt{15}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}$ .

Vậy $cos\alpha =-\frac{1}{4}$ ; $\tan \alpha =-\sqrt{15}$ và $\cot \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{15}$.

b) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin2α + cos2α = 1, ta có:

${\sin }^2\alpha +{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.

$\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (do sinα < 0).

Ta có: tanα = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$;

            cotα = $\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Vậy $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$; $\tan \alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

c) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0 khi khi $-\frac{\pi }{2}\le \alpha <0$, cosα < 0 khi $-\pi <\alpha <-\frac{\pi }{2}$.

Mà tanα = 3 > 0, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }>0$, từ đó suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.

Áp dụng công thức $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, ta có

$1+3^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ hay$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=10$

=> $\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$ => $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$ (do cosα < 0).

Áp dụng công thức $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ , ta có:

$1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$hay $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{10}{9}$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$ (do sinα < 0).

Vậy $\sin \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}$; $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$; $\cot \alpha =\frac{1}{3}$.

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$.

Do 0 < α < π nên sinα > 0.

Mà cotα = ‒2 < 0 nên $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }<0$, suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$, ta có:

1 + (-2)2 = $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ hay $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ = 5

=> ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$ => $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ (do sinα > 0).

Ta có: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ => $\cos \alpha =\cot \alpha .\sin \alpha$ = $\left(-2\right).\frac{\sqrt{5}}{5}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Bài tập 5: Tính: 

a) A = sin25∘+sin210∘+sin215∘+...+sin285∘ (17 số hạng).

b) B = cos5∘+cos10∘+cos15∘+...+cos175∘ (35 số hạng). 

Trả lời:

a) A = cos285∘+cos280∘+cos275∘+...+sin245∘+...+sin285∘ = 172

b) B = −cos175∘−cos170∘−cos165∘−...+cos175∘ = 0       

Bài tập 6: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 h.

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1 h; 3 h; 5 h.

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Giả sử vệ tinh được định tại vị trí A, chuyển động quanh Trái Đất được mô tả như hình vẽ dưới đây:

a) Vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo tức là vệ tinh chuyển động được quãng đường bằng chu vi của quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.

Do đó quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 2 h là:

2π . 9 000 = 18 000π (km).

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1 h là: $\frac{18000\pi }{2}.1=9000\pi \left(km\right)$.

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 3 h là: $\frac{18000\pi }{2}.3=27000\pi \left(km\right)$.

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 5 h là: $\frac{18000\pi }{2}.5=45000\pi \left(km\right)$.

b) Ta thấy vệ tinh chuyển động được quãng đường là 9000π (km) trong 1h.

Vậy vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km trong thời gian là:

$\frac{200000}{9000\pi }\approx 7$ (giờ).