Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài 2: Cấp số cộng - Giải SGK Toán 11 - Cánh Diều

Ruộng bậc thang là một hình thức canh tác có nhiều ở khu vực Tây Bắc và Đông Bắc Việt Nam. Hình ảnh ruộng bậc thang thể hiện nét đẹp văn hóa, là công trình nghệ thuật độc đáo của đồng bào vùng cao phía Bắc. Ruộng bậc thang ở một số nơi đã trở thành những địa chỉ tham quan du lịch đầy hấp dẫn của du khách trong nước và quốc tế.

Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao 1 250 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,2 m.

Câu hỏi khởi động: Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là bao nhiêu so với mực nước biển?

Trả lời:

- Thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao: 1250 + 9.1,2 = 1260,8 mét so với mực nước biển.

I. Định nghĩa

Hoạt động 1: Cho dãy số – 2; 3; 8; 13; 18; 23; 28. Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.

Trả lời:

- Số hạng thứ hai là số 3, so với số hạng đầu tiên ta thấy 3 lớn hơn – 2 năm đơn vị.

- Số hạng thứ ba là số 8, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 8 hơn 3 năm đơn vị.

- Số hạng thứ tư là số 13, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 13 hơn 8 năm đơn vị.

- Số hạng thứ năm là số 18, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 18 hơn 13 năm đơn vị.

- Số hạng thứ sáu là số 23, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 23 hơn 18 năm đơn vị.

- Số hạng cuối là số 28, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 28 hơn 23 năm đơn vị.

=> Vậy ta thấy kể từ số hạng thứ hai trở đi số hạng sau hơn số hạng trước năm đơn vị.

Luyện tập, vận dụng 1: Cho (un) là cấp số cộng với u1=−7,u2=−2. Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó.

Trả lời:

- Năm số hạng đầu của cấp số cộng: -7; -2; 3; 8; 13.

Luyện tập, vận dụng 2: Cho dãy số (un) với un=−5n+7(n≥1). Dãy (un) có là cấp số cộng không? Vì sao?

Trả lời:

- Dãy số un=−5n+7 là cấp số cộng vì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với -5. Công sai của cấp số cộng này là -5.

II. Số hạng tổng quát

Hoạt động 2: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1, công sai d.

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng theo u1 và d.

b) Dự đoán công thức tính un theo u1 theo d.

Trả lời:

a) Năm số hạng đầu của cấp số cộng theo u1 và d là:

u1; u2 = u1 + d; u3 = u1 + 2d, u4 = u1 + 3d, u5 = u1 + 4d.

b) Dự đoán: un=u1+(n−1)d

Luyện tập, vận dụng 3: Hãy giải bài toán trong phần mở đầu.

Trả lời:

- Ta có: u1=1250,d=1,2

- Do đó: u10=1250+(10−1).1,2=1260,8.

III. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Hoạt động 3: Cho cấp số cộng (un) có số dạng đầu u1, công sai d.

a) So sánh các tổng sau: u1 + un; u2 + un-1; u3 + un-2; ...; un + u1.

b) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un. So sánh n(un + u1) với 2Sn.

Trả lời:

a) Ta có: u1 + un = u1 + u1 + (n – 1)d = 2u1 + (n – 1)d;

u2 + un-1 = u1 + d + u1 + (n – 1 – 1)d = 2u1 + (n – 1)d;

u3 + un-2 = u1 + 2d + u1 + (n – 2 – 1)d = 2u1 + (n – 1)d;

...

un + u1 = u1 + (n – 1)d + u1 = 2u1 + (n – 1)d.

Ta thấy u1 + un = u2 + un-1 = u3 + un-2 = ... = un + u1.

b) Ta có: 2Sn = 2.(u1 + u2 + u3 + ... + un) = (u1 + un) + (u2 + un-1) + ... + (un + u1)

= 2u1 + (n – 1)d + 2u1 + (n – 1)d + 2u1 + (n – 1)d + ... + 2u1 + (n – 1)d

= 2n.u1 + n(n – 1)d

= n(u1 + u1 + (n – 1)d)

= n(u1 + un).

Luyện tập, vận dụng 4: Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau:

a) 3,1, -1, ... với n=10;

b) 1, 2; 1, 7; 2, 2; ... với n=15.

Trả lời:

a) n=10,d=−2. Suy ra: Sn=[2.3+(10−1)(−2)].102=−60.

b) n=15,d=0,5. Suy ra: Sn=[2.1,2+(15−1).0,5].152=70,5.

Bài tập

Bài tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp cố cộng?

a) 10; – 2; – 14; – 26; – 38;

b) $\frac{1}{2}; \frac{5}{4}; 2; \frac{11}{4}; \frac{7}{2}$ ;

c) 12; 22; 32; 42; 52;

d) 1; 4; 7; 10; 13.

Trả lời:

a) Ta có: 10; – 2; – 14; – 26; – 38 là cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 10 và công sai của cấp số cộng là: d = – 12.

b) Ta có: $\frac{1}{2}; \frac{5}{4}; 2; \frac{11}{4}; \frac{7}{2}$ là cấp số cộng có số hạng đầu là u1 = $\frac{1}{2}$ và công sai d = $\frac{3}{4}$ .

c) Ta có: 12; 22; 32; 42; 52 không là cấp số cộng vì 22 – 12 ≠ 32 – 22.

d) Ta có: 1; 4; 7; 10; 13 là cấp số cộng có số hạng đầu là u1 = 1 và công sai d = 3.

Bài tập 2: Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu u1 và công sai d.

a) un=3−2n;

b) un=3n+75;

c) un=3n.

Trả lời:

a) Dãy số là cấp số cộng với u1=1,d=−2.

b) Dãy số là cấp số cộng với u1=2,d=35.

c) Dãy số không phải là cấp số cộng.

Bài tập 3: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = – 3, công sai d = 5.

a) Viết công thức của số hạng tổng quát un.

b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?

Trả lời:

a) Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là: u1 = – 3 + (n – 1).5 = 5n – 8.

b) Xét un = 492

⇔ 5n – 8 = 492

⇔ n = 100.

Vậy số 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng trên.

c) Xét un = 300

⇔ 5n – 8 = 300

⇔ n = 61,6 ∉ ℕ*

Vậy không tồn tại số hạng trong cấp số cộng bằng 300.

Bài tập 4: Cho cấp số cộng (un) có u1=4,u2=1. Tính u10.

Trả lời:

- Ta có: d=1−4=−3 nên u10=4+(10−1).(−3)=−23.

Bài tập 5: Cho cấp số cộng (un) có u1 = $\frac{1}{3}$ và u1 + u2 + u3 = – 1.

a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát un.

b) Số – 67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên.

c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

Trả lời:

a) Ta có: u1 + u2 + u3 = – 1

⇒ u1 + u1 + d + u1 + 2d = – 1

⇒ 3u1 + 3d = – 1

Mà u1 = $\frac{1}{3}$ nên d = - $\frac{2}{3}$

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: un = $\frac{1}{3} - \frac{2}{3} (n - 1) = - \frac{2}{3} n + \frac{1}{3}$ với mọi n ∈ ℕ*.

b) Xét un = $- \frac{2}{3} n + \frac{1}{3}$ = -67

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3} n = \frac{- 202}{3}$

$\Leftrightarrow$ n = 101

Vậy số – 67 là số hạng thứ 101 của dãy.

c) Xét un = 7

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3} n + \frac{1}{3} = 7$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3} n = \frac{20}{3}$

⇔ n = – 10 ∉ ℕ*

Vậy số 7 không phải là một số hạng trong cấp số cộng.

Bài tập 6: Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số (un) với un=0,3n+5 với mọi n≥1.

Trả lời:

Ta có: n=100.

Suy ra: S100=(u1+u100).1002=(5,3+35).1002=2015.

Bài tập 7: Chiều cao (đơn vị: centimet) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức:

xn = 75 + 5(n – 1).

(Nguồn: https://bibabo.vn)

a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao 3 năm tuổi là bao nhiêu centimet?

b) Dãy số (xn) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimet?

Trả lời:

a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là:

x3 = 75 + 5(3 – 1) = 85 (cm).

b) Ta có: xn+1 = 75 + 5(n + 1 – 1) = 75 + 5n

Xét hiệu xn+1 – xn = 75 + 5n – [75 + 5(n – 1)] = 5

Do đó (xn) là một cấp số cộng có số hạng đầu x1 = 75 và công sai d = 5

Bài tập 8: Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu.

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu.

Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:

a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?

b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Trả lời:

a) Ta có: 3 năm = 12 quý

Phương án 1: u3=156⇒S3=414

Phương án 2: u12=43,8⇒S12=406,8

Suy ra, chọn phương án 1.

b) Ta có: 10 năm = 40 quý

Phương án 1: u10=282⇒S10=2010

Phương án 2: u40=94,2⇒S40=2364

Suy ra, chọn phương án 2.