Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài 3: Cấp số nhân

Câu hỏi khởi động: Vi khuẩn E. coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần.

(Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010)

Giả sử lúc đầu có 100 vi khuẩn E. coli.

Hỏi có bao nhiêu vi khuẩn E.coli sau 180 phút?

Trả lời:

- Số lượng vi khuẩn lúc đầu Q0 = 100 (vi khuẩn).

- Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi đầu tiên (sau 20 = 1.20 phút) là: Q1 = 100.2 = 200 (vi khuẩn).

- Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ hai (sau 40 = 2.20 phút) là: Q2 = 100.2.2 = 100.22 = 400 (vi khuẩn).

- Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ ba (sau 60 = 3.20 phút) là: Q3 = 100.2.2.2 = 100.23 = 800 (vi khuẩn).

- Tổng quát: Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ n (sau n. 20 phút) là: Qn = 100.2n (vi khuẩn).

- Vì vậy số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ thứ 9 (sau 180 = 9.20 phút) là: Q9 = 100.29 = 51 200 (vi khuẩn).

I. Định nghĩa

Hoạt động 1: Cho dãy số 13 ; 1; 3; 9; 27; 81; 243. Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.

Trả lời:

- Ta có số hạng thứ hai gấp số hạng đứng trước nó 1:13=3 lần.

- Số hạng thứ ba gấp số hạng đứng trước nó 3:1 = 3 lần.

- Số hạng thứ tư gấp số hạng đứng trước nó 9:3 = 3 lần.

- Số hạng thứ năm gấp số hạng đứng trước nó 27:9 = 3 lần.

- Số hạng thứ sáu gấp số hạng đứng trước nó 81: 27 = 3 lần.

- Số hạng thứ bảy gấp số hạng đứng trước nó 243:81 = 3 lần.

- Vì vậy ta có kết luận kể từ số hạng thứ hai, ta thấy số hạng sau gấp 3 lần số hạng đứng trước nó.

Luyện tập , vận dụng 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = – 6, u2 = – 2.

a) Tìm công bội q.

b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó.

Trả lời:

a) (un) là cấp số nhân có công bội q = $\frac{u_2}{u_1}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$ .

b) Năm số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:

u1 = – 6, u2 = – 2; u3=(-6).${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=-\frac{2}{3}$; u4=(-6).${\left(\frac{1}{3}\right)}^3=-\frac{2}{9}$; u5=(-6).${\left(\frac{1}{3}\right)}^4=-\frac{2}{27}$

Luyện tập, vận dụng 2: Cho dãy số (un) với un = 3.2n (n ≥ 1). Dãy (un) có là cấp số nhân không? Vì sao?

Trả lời:

Ta có: un+1 = 3.2n+1

$\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{3.2}^{n+1}}{{3.2}^n}$ = 2 với n ≥ 1

Vì vậy dãy (un) là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 6 và công bội q = 2.

II. Số hạng tổng quát

Hoạt động 2: Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1, công bội q.

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân theo u1 và q.

b) Dự đoán công thức tính un theo u1 và q.

Trả lời:

a) Năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là: u1;u1.q;u1.q2;u1q3;u1q4.

b) Dự đoán công thức tính un theo u1 và q là: un=u1qn−1.

Luyện tập, vận dụng 3: Bác Linh gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng tiền tiết kiệm với hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 6%/năm. Viết công thức tính số tiền (cả gốc lẫn lãi) mà bác Linh có được sau n năm (giả sử lãi suất không thay đổi qua các năm).

Trả lời:

Số tiền ban đầu T1 = 100 (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:

T2 = 100 + 100.6% = 100.(1 + 6%) (triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:

T3 = 100.(1 + 6%) + 100.(1 + 6%).6% = 100.(1 + 6%)2 (triệu đồng).

Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:

T4 = 100.(1 + 6%)2 + 100.(1 + 6%)2.6% = 100.(1 + 6%)3 (triệu đồng).

Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu T1 = 100 và công bội q = 1 + 6% có số hạng tổng quát là:

Tn + 1 = 100.(1 + 6%)n (triệu đồng).

III. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Hoạt động 3: Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1, công bội q ≠ 1. Đặt Sn=u1+u2+u3+...+un=u1+u1q+u1q2+...+u1qn−1.

a) Tính Sn.q và Sn–Sn.q.

b) Từ đó, hãy tìm công thức tính Sn theo u1 và q.

Trả lời:

a) Ta có: Sn.q=(u1+u1q+u1q2+...+u1qn−1).q=u1.q+u1.q2+u1q3+...+u1qn

Sn–Sn.q=u1+u1q+u1q2+...+u1qn−1–(u1.q+u1.q2+u1q3+...+u1qn)

= u1–u1qn

b) Ta có: Sn−Snq=u1−u1qn

<=> Sn(1−q)=u1(1−qn)

<=> Sn=u1(1−qn)1−q

Vậy công thức tính Sn là Sn=u1(1−qn)1−q

Luyện tập, vận dụng 4: Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

a) 3; – 6; 12; – 24; ... với n = 12;

b) $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000}$,... với n = 5.

Trả lời:

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với u1 = 3 và công bội q = – 2.

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$S_{12}=\frac{3\left(1-{\left(-2\right)}^{12}\right)}{1-\left(-2\right)}$= 12 285.

b) Ta có: $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000}$,... là một cấp số nhân với u1 = $\frac{1}{10}$ và công bội q=$\frac{1}{10}$

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$S_5=\frac{\frac{1}{10}\left(1-{\left(\frac{1}{10}\right)}^5\right)}{1-\frac{1}{10}}$= 0,1111.

Bài tập

Bài tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) 5;−0,5;0,05;−0,005;0,0005;

b) −9,3,−1,13,−19;

c) 2,8,32,64,256. 

Trả lời:

a) Vì −0,55=0,05−0,5=−0,0050,05=0,0005−0,005=−110 nên dãy số đã cho là cấp số nhân với q=−110.

b) Vì 3−9=−13=13−1=−1913=−13 nên dãy số đã cho là cấp số nhân với q=−13.

c) Vì 82=328=25664≠6432 nên dãy số đã cho không phải là cấp số nhân. 

Bài tập 2: Chứng minh mỗi dãy số (un) với mỗi số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:

a) $u_n=-\frac{3}{4}{.2}^n$ ;

b) $u_n=\frac{5}{3^n}$;

c) un = ( – 0,75)n.

Trả lời:

a) Ta có: $u_{n+1}=-\frac{3}{4}{.2}^{n+1}$

Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(-\frac{3}{4}{.2}^{n+1}\right):\left(-\frac{3}{4}{.2}^n\right)=2$

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

b) Ta có: $u_{n+1}=\frac{5}{3^{n+1}}$

Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5}{3^{n+1}}:\frac{5}{3^n}=\frac{1}{3}$.

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

c) Ta có: un+1 = (– 0,75)n+1.

Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}={\left(-0,75\right)}^{n+1}:{\left(-0,75\right)}^n=-0,75$.

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

Bài tập 3: Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu un=−5, công bội q=2. 

a) Tìm u9. 

b) Số −320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?

c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không? 

Trả lời:

a) Ta có số hạng tổng quát: un=u1.qn−1=−5.2n−1.

Do đó: u9=(−5).29−1=−1280.

b) Ta có: −5.2n−1=−320⇔n=7. Vậy -320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân trên. 

c) Số 160 không phải là số hạng của cấp số nhân trên. 

Bài tập 4: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3, $u_3=\frac{27}{4}$ .

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Trả lời:

a) Ta có u3 = u1.q2

Xét 

+) Với q = -$\frac{3}{2}$ ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u1 = 3, u2 = 3.$\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{4}$ ; u3 = $\frac{27}{4}$; u4 = 3.${\left(-\frac{3}{2}\right)}^3=-\frac{81}{8}$ ; u5 = 3.${\left(-\frac{3}{2}\right)}^4=\frac{243}{16}$ .

+) Với q=$\frac{3}{2}$ ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u1 = 3, u2 = 3.$\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}$; u3 = $\frac{27}{4}$; u4 = 3.${\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{81}{8}$ ; u5 = 3.${\left(\frac{3}{2}\right)}^4=\frac{243}{16}$ .

b) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = -$\frac{3}{2}$ là: $S_{10}=\frac{3\left(1-{\left(-\frac{3}{2}\right)}^{10}\right)}{1-\left(-\frac{3}{2}\right)}\approx$-68.

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 3 và công bội q=$\frac{3}{2}$ là: $S_{10}=\frac{3\left(1-{\left(\frac{3}{2}\right)}^{10}\right)}{1-\left(\frac{3}{2}\right)}\approx$340.

Bài tập 5: Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi un là dân số của tỉnh đó sau n năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi. 

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020.

b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020. 

Trả lời:

a) Số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020 là: un=2.(1+0,01)n−1

b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là: u10=2.(1+0,01)10−1 ≈ 2,19 (triệu dân)

Bài tập 6: Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).

a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng.

b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?

Trả lời:

a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u1 = 800 – 800.4% = 800.(1 – 4%) = 768 (triệu đồng).

Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u1 = 800.(1 – 4%) – 800.(1 – 4%).4% = 800.(1 – 4%)2 = 737,28 (triệu đồng).

b) Gọi un là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

Dãy số (un) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là u0 = 800 triệu đồng và công bội q = 1 – 4%.

Khi đó công thức tổng quát để tính un = 800.(1 – 4%)n.

c) Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là:

u10 = 800.(1 – 4%)10 ≈ 531,87 (triệu đồng).

Bài tập 7: Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống. 

Trả lời:

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là:

$S_{10}=\frac{100\left(1-{\left(75\%\right)}^{10}\right)}{1-75\%}\approx$377,5 (m).