Giải SGK Toán 10 Cánh Diều Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Câu hỏi khởi động: Cột cờ Lũng Cú là cột cờ Quốc gia, nằm ở đỉnh Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi Rồng (Long Sơn) thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà Giang, cách cực Bắc Việt Nam khoảng 3,3 km. Thời nhà Lý, cột cờ Lũng Cú chỉ được làm bằng cây sa mộc. Ngày nay, cột cờ có độ cao 33,15 m bao gồm bệ cột cao 20,25 m và cán cờ cao 12,9 m. Chân bệ cột cờ có 8 mặt phù điêu bằng đá xanh mô phỏng hoa văn mặt của trống đồng Đông Sơn và những họa tiết minh họa các giai đoạn qua từng thời kì lịch sử của đất nước, cũng như con người, tập quán của các dân tộc ở Hà Giang. Trên đỉnh cột là Quốc kì Việt Nam có diện tích là 54 m2, biểu tượng cho 54 dân tộc của đất nước ta.

(Nguồn: http://baophutho.vn)

Từ chân bệ cột cờ và đỉnh bệ cột cờ bạn Nam đo được góc nâng (so với phương nằm ngang) tới một vị trí dưới chân núi lần lượt là 45° và 50° (Hình 1). 

Chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là bao nhiêu mét?

Trả lời:

Ta có: Bx // CH $\Rightarrow {\mathrm{BCH^\backslash widehat\{BCH\}BCH}}^{}={\mathrm{xBC^\backslash widehat\{xBC\}xBC}}^{}=50°$(hai góc so le trong)

Ay // CH $\Rightarrow {\mathrm{ACH^\backslash widehat\{ACH\}ACH}}^{}={\mathrm{yAC^\backslash widehat\{yAC\}yAC}}^{}=45°$(hai góc so le trong)

Tam giác ACH vuông tại H có ${\mathrm{ACH^\backslash widehat\{ACH\}ACH}}^{}=45°$ nên tam giác ACH vuông cân tại H 

Suy ra CH = AH = h (m). 

Ta có: BH = AB + AH = 20,25 + h 

Tam giác BCH vuông tại H nên $\tan \widehat{BCH}=\frac{BH}{CH}$

Do đó ta có: $\frac{20,25+h}{h}=\tan 50°\approx 1,2$

⇒ 20,25 + h = 1,2h 

⇒ 0,2h = 20,25 ⇒ h = 101,25 m.

Vậy chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là 101,25 m. 

I. Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800

Hoạt động 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}=\alpha$ (Hình 2). ....

a) Nhắc lại định nghĩa sin α, cos α, tan α, cot α. 

b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc 90° – α theo tỉ số lượng giác của góc α. 

Trả lời:

a) Tam giác ABC vuông tại A có $ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC=\alpha$. Khi đó ta có: 

$\sin \alpha =\frac{AC}{BC},\cos \alpha =\frac{AB}{BC},\tan \alpha =\frac{AC}{AB},\cot \alpha =\frac{AB}{AC}$

b) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\sin {\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}=\frac{AB}{BC}$

Ta lại có: ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}+{\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}=90°$ (hai góc phụ nhau).

Nên ${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}=90°-{\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}=90°-\alpha$

Mặt khác: $\cos \alpha =\frac{AB}{BC}$

⇒ sin(90° – α) = cos α;

cos(90° – α) = sin α;

tan(90° – α) = cot α;

cot(90° – α) = tan α. 

Hoạt động 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị (Hình 3). Với mỗi góc nhọn α ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0). Hãy tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x0, y­0.

Trả lời:

Để tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x0, y­0, ta làm như sau: 

Xét tam giác OMH vuông tại H, ta có: 

$\sin \alpha =\frac{MH}{OM}=\frac{y_0}{1}=y_0,\cos \alpha =\frac{OH}{OM}=\frac{x_0}{1}=x_0,$

$\tan \alpha =\frac{MH}{OH}=\frac{y_0}{x_0},\cot \alpha =\frac{OH}{MH}=\frac{x_0}{y_0}$.

Hoạt động 3: Trên nửa đường tròn đơn vị ta có dây cung MN song song với trục Ox và ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}=\alpha$ (Hình 6).

a) Chứng minh ${\mathrm{xON^\backslash widehat\{xON\}xON}}^{}=180°-\alpha .$

b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc 180° – α theo giá trị lượng giác của góc α. 

Trả lời:

Hoạt động 4: Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc (từ 0° đến 180°) bằng cách sử dụng các phím:

 trên máy tính cầm tay.

Tính sin75°, cos175°, tan64° (làm tròn đến hàng phần chục nghìn). 

Trả lời:

Để tính các giá trị lượng giác sin75°, cos175°, tan64°, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ” ta làm như sau: 

Vậy sin75° = 0,9659; cos175° = – 0,9962 , tan64° = 2,0503        (chú ý dấu phẩy thập phân trên máy tính cầm tay là dấu “.”). 

Hoạt động 5: Ta có thể tìm số đo (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° khi biết giá trị lượng giác của góc đó bằng cách sử dụng các phím:

$SHIFT$ cùng với $\sin ;cos;\tan$ trên máy tính cầm tay. 

Tìm số đo góc α (từ 0° đến 180°) và làm tròn đến độ, biết: 

a) cos α = – 0,97;

b) tan α = 0,68; 

c) sin α = 0,45. 

Trả lời:

Để tính gần đúng số đo góc α trong mỗi trường hợp trên, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ”, ta làm như sau: 

Luyện tập, vận dụng 1: Hãy tính chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi trong bài toán ở phần mở đầu.

Trả lời:

Ta có ⎧⎩⎨tan$\widehat{ACH}$ˆ=AHCHtan$\widehat{BCH}$$\widehat{BCH}$
sdfˆ=BHCH 

⇔{tan45∘=hCHtan50∘=h+20,25CH

⇒tan50∘=h+20,25h

⇒h≈106,6 (m)

II. Định lý cosin

Hoạt động 6: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=\alpha$ . Kẻ đường cao BH.

Cho α là góc nhọn, chứng minh: 

a) HC = |AC – AH| và BC2 = AB2 + AC2 – 2AH . AC; 

b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α. 

Trả lời:

a) Nếu góc C nhọn thì H nằm giữa A và C. 

Do đó: HC = AC – AH = |AC – AH|. 

Nếu góc C tù thì C nằm giữa A và H. 

Do đó: HC = AH – AC = |AC – AH|. 

Nếu góc C vuông thì C trùng với H. Do đó: HC = 0 = |AC – AH|.

Trong mọi trường hợp, ta đều có HC = |AC – AH|. 

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có: 

BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC – AH)2 = (BH2 + AH2) + AC2 – 2AH . AC 

        = AB2  + AC2 – 2AH . AC. 

b) Xét tam giác vuông AHB, ta có: AH = AB cosA = cosα. 

Do đó BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AH . AC = b2 + c2 – 2bc cosα. 

Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc cos α. 

Hoạt động 7: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=\alpha$ . Kẻ đường cao BH

Cho α là góc tù. Chứng minh:

a) HC = AC + AH và BC2 = AB2 + AC2 + 2 AH . AC; 

b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α. 

Trả lời:

a) Do α là góc tù nên A nằm giữa H và C. Do đó: HC = AC + AH. 

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có: 

BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC + AH)2 

        = (BH2 + AH2) + AC2 + 2AH . AC 

        = AB2 + AC2 + 2AH . AC. 

b) Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có: 

AH = AB cos(180° – α) = – c cos α. 

Do đó BC2 = AB2 + AC2 + 2AH . AC = b2 + c2 – 2bc cos α. 

Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.

Hoạt động 8: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, $BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC=\alpha$ . Kẻ đường cao BH.

Cho α là góc vuông. Chứng minh a2 = b2 + c2 – 2bc cos α. 

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 2: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Tính cos A.

Trả lời:

cosA=AC2+AB2−BC22.AC.AB=62+52−722.6.5=15

Luyện tập, vận dụng 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R=6 và có các góc Bˆ=65∘,Cˆ=85∘. Tính độ dài cạnh BC.

Trả lời:

Ta có Aˆ=180∘−Bˆ−Cˆ=180∘−65∘−85∘=30∘

BC=2R.sinAˆ=2R.sin30∘=6

III. Định lý sin

Hoạt động 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=\alpha$ . Kẻ đường kính BD của đường tròn (O).

Cho α là góc nhọn. Chứng minh:

a) ${\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}=\alpha$;

b) $\frac{a}{\sin \alpha }=2R$. 

Trả lời:

Do α là góc nhọn ta vẽ được hình như sau:

a) Trong đường tròn (O) có góc BAC và góc BDC là các góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BC.

Do đó: ${\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}={\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=\alpha$.

Vậy ${\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}=\alpha$.

b) Xét tam giác BDC, ta có $\stackrel{}{\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}=\alpha$. 

Vì BD là đường kính của đường tròn (O) nên ${\mathrm{BCD^\backslash widehat\{BCD\}BCD}}^{}=90°$. 

Do đó: $\sin {\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}=\frac{BC}{BD}$, tức là $\sin \alpha =\frac{a}{2R}$ hay $\frac{a}{\sin \alpha }=2R.$

Hoạt động 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=\alpha$ . Kẻ đường kính BD của đường tròn (O).

Cho α là tù. Chứng minh:

a) ${\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}=180°-\alpha$; 

b) $\frac{a}{\sin \alpha }=2R.$

Trả lời:

Do α là góc tù ta vẽ được hình như sau:

a) Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}+{\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}=180°$(hai góc đối) 

Suy ra ${\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}=180°-{\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=180°-\alpha .$

Vậy ${\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}=180°-\alpha$.

b) Xét tam giác BCD, ta có ${\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}=180°-\alpha$ và BD là đường kính của đường tròn (O) nên ${\mathrm{BCD^\backslash widehat\{BCD\}BCD}}^{}=90°$. 

Do đó: $\sin {\mathrm{BDC^\backslash widehat\{BDC\}BDC}}^{}=\frac{BC}{BD}$, tức là $\sin \left(180°-\alpha \right)=\frac{a}{2R}$. 

Mà sin(180° – α) = sin α nên $\sin \alpha =\frac{a}{2R}$ hay $\frac{a}{\sin \alpha }=2R.$

Hoạt động 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, $AC^\backslash widehat\{BAC\}BAC=\alpha$ . Kẻ đường kính BD của đường tròn (O).

Cho α là góc vuông. Chứng minh: $\frac{a}{\sin \alpha }=2R$. 

Trả lời

Luyện tập 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R = 6 và có các góc $\hat{B}=65°,\hat{C}=85°$ . Tính độ dài cạnh BC.

Lời giải:

Bài tập

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 3,5; AC = 7,5; $\hat{A}=135°$. Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trả lời

• Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cosA

⇔BC2=7,52+3,52−2⋅7,5⋅3,5⋅cos135∘

⇔BC2≈105,6

⇔BC≈10,3

• Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

BC=2RsinA ⇒R=BC2⋅sinA=10,32⋅sin135∘≈7,3

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{B}=75°,\hat{C}=45°$ và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.

Trả lời

Tam giác ABC có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\hat{A}=180°-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)=180°-\left(75°+45°\right)=60°$. 

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: 

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

Do đó: 

$AB=\frac{BC\sin C}{\sin A}=\frac{50.\sin 45°}{\sin 60°}=\frac{50\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $AB=\frac{50\sqrt{6}}{3}$.

Bài tập 3: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 7, BC = 8. Tính cosA, sinA và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trả lời

Bài tập 4: Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°;

b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°;

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°;   

d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°;

e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°.  

Trả lời

a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°

        = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos (180° – 40°)

        = cos 0° + cos 40° + cos 120° – cos 40°  

        = cos 0° + cos 120°

        = 1 + $\left(-\frac{1}{2}\right)$(giá trị lượng giác của góc đặc biệt)

        =$\frac{1}{2}.$

b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°

        = sin 5° + sin 150° – sin (180° – 5°) + sin 180°

        = sin 5° + sin 150° – sin 5° + sin 180°

        = sin 150° + sin 180°

        = $\frac{1}{2}+0$ (giá trị lượng giác của các góc đặc biệt)

        = $\frac{1}{2}.$

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°   

        = cos 15° + cos 35° – sin (90° – 15°) – sin (90° – 35°)  

        = cos 15° + cos 35° – cos 15° – cos 35°      (giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau)

        = 0. 

d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°

        = tan (90° – 65°) . tan 45° . tan (180° – 65°) 

        = cot 65° . tan 45° . (– tan 65°)

        = – (cot 65° . tan 65°) . tan 45°

        = $-\left(\frac{cos65°}{\sin 65°}.\frac{\sin 65°}{cos65°}\right).\tan 45°$

        = (– 1) . 1 = – 1. 

e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°

       = cot (90° – 80°) . cot 30° . cot (180° – 80°)

     = tan 80° . cot 30° . (– cot 80°)

     = – (tan 80° . cot 80°) . cot 30°

     = (– 1) .$\sqrt{3}$ = $-\sqrt{3}$. 

Bài tập 5: Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) $\sin \frac{A}{2}=cos\frac{B+C}{2}$; 

b) $\tan \frac{B+C}{2}=\cot \frac{A}{2}$.

Trả lời

Ta có Aˆ+Bˆ+Cˆ=180⇒Aˆ2+Bˆ2+Cˆ2=90∘

a. sinA2=sin(90∘−B+C2)=cosB+C2 (đpcm)

b. tanB+C2=tan(90∘−A2)=cotA2 (đpcm)

Bài tập 6: Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA. Biết AC = 25 m,${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=59,95°,{\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=82,15°$ (Hình 16). Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trả lời

Bài tập 7: Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hướng tạo với nhau góc 75°. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trả lời

Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ nên sau 2,5 giờ thì tàu thứ nhất chạy được  8 . 2,5 = 20 (hải lí). 

Tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ nên sau 2,5 giờ thì tàu thứ hai chạy được 12 . 2,5 = 30 (hải lí). 

Hai tàu cùng chạy từ bến A và đi thẳng về 2 vùng biển khác nhau theo hướng tạo với nhau góc 75°, giả sử tàu thứ nhất chạy về vùng biển B và tàu thứ hai chạy về vùng biển C, ta có hình vẽ mô phỏng như sau: 

Khi đó khoảng cách giữa hai tàu sau 2,5 giờ chính là khoảng cách giữa B và C. 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: 

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB. AC. cos A = 202 + 302 – 2 . 20 . 30 . cos 75° ≈ 989,4

Suy ra: BC ≈ 31,5 (hải lí).

Vậy sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là 31,5 hải lí. 

Bài tập 8: Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là α = 35°; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là β = 75°; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trả lời

Gọi khoảng cách từ mặt đất tới chiếc diều bay cao là x (m)

Ta có: x−20−1,5tanα=x−1,5tanβ

⇒x−21,5tan35∘=x−1,5tan75∘

⇒x≈26,1

Vậy chiếc diều bay cao 26,1 mét so với mặt đất.