Giải SGK Toán 10 Cánh Diều Bài 1: Hàm số và đồ thị - Giải SGK Toán 10 - Cánh Diều

Câu hỏi khởi động: Làm thế nào để mô tả được mối liên hệ giữa thời gian t và quãng đường đi được S của vật rơi tự do? Làm thế nào để có được hình ảnh hình học minh họa mối liên hệ giữa hai đại lượng đó?

Trả lời:

- Công thức tính quãng đường S (m) của vật rơi tự do theo thời gian t (s) là: S = $\frac{1}{2}$ gt2, trong đó g là gia tốc rơi tự do, g ≈ 9,8 m/s2.

1. Hàm số

Hoạt động 1: Trong bài toán ở phần mở đầu, ta đã biết công thức tính quãng đường đi được S (m) của vật rơi tự do theo thời gian t(s) là

S = $\frac{1}{2}$ gt2, trong đó g là gia tốc rơi tự do, g ≈ 9,8 m/s2.

a) Với mỗi giá trị t = 1, t = 2, tính giá trị tương ứng của S.

b) Với mỗi giá trị của t có bao nhiêu giá trị tương ứng của S?

Trả lời:

Hoạt động 2: Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức sau: y = – 200x2 + 92 000x – 8 400 000, trong đó x là số sản phẩm loại đó được bán ra.

a) Với mỗi giá trị x = 100, x = 200, tính giá trị tương ứng của y.

b) Với mỗi giá trị của x có bao nhiêu giá trị tương ứng của y?

Trả lời:

a) Ta có: y = – 200x2 + 92 000x – 8 400 000 (1)

Thay x = 100 vào (1) ta được: y = – 200 . 1002 + 92 000 . 100 – 8 400 000 = – 1 200 000

Thay x = 200 vào (1) ta được: y = – 200 . 2002 + 92 000 . 200 – 8 400 000 = 2 000 000.

Vậy x = 100 thì y = – 1 200 000 và x = 200 thì y = 2 000 000.

b) Với mỗi giá trị của x, có một giá trị tương ứng của y.

Luyện tập, vận dụng 1: Trong y học một người cân nặng 60kg chạy với tốc độ 6,5 km /h thì lượng ca-lo tiêu thụ được tính theo công thức: c = 4,7t (Nguồn: https://icarre.vn), trong đó thời gian t được tính theo phút. Hỏi c có phải là hàm số của t không? Vì sao?

Trả lời:

c là hàm số của t vì với mỗi giá trị của t chỉ cho đúng một giá trị của c

Hoạt động 3: Cho hai hàm số y = 2x + 1 (1) và $y = \sqrt{x - 2}$ (2).

a) Nêu biểu thức xác định mỗi hàm số trên.

b) Tìm x sao cho mỗi biểu thức trên có nghĩa.

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 2: Tìm tập xác định của hàm số:

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$

Trả lời:

Hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$ xác định khi biểu thức $\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$ có nghĩa

⇔ $\{\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 2 \\ x \neq 3 \end{cases}$ .

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = { $x \in ℝ |$ x ≥ – 2, x ≠ 3} = $[- 2; + \infty) \ 3$ .

Luyện tập, vận dụng 3: Cho hàm số:

$y = \{\begin{cases} - x n ê^{'} u x < 0 \\ x n ê^{'} u x > 0. \end{cases}$

a) Tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tính giá trị của hàm số khi x = – 1; x = 2 022.

Trả lời:

a. D=R∖{0}

x=−1<0 ⇒y=−x=1

x=2022>0 ⇒y=x=2022

2. Đồ thị của hàm số

Hoạt động 4: Xét hàm số y = f(x) = x2.

a) Tính các giá trị y1 = f(x1), y2 = f(x2) tương ứng với giá trị x1 = – 1, x2 = 1.

b) Biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy các điểm M1(x1; y1), M2(x2; y2).

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 4: Cho hàm số $y = \frac{1}{x}$ và ba điểm M(– 1; – 1), N(0; 2), P(2; 1). Điểm nào thuộc đồ thị hàm số trên? Điểm nào không thuộc đồ thị hàm số trên?

Trả lời:

D=R∖{0}

⇒N không thuộc đồ thì hàm số.

Khi x=−1; x=2 thì lần lượt y=−1; y=12. Vậy điểm M thuộc đồ thị hàm số, điểm P không thuộc đồ thì hàm số.

Luyện tập, vận dụng 5: Dựa vào Hình 4, xác định g(– 2), g(0), g(2).

Luyện tập 5 trang 35 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

Trả lời:

Ta có: g(– 2) là giá trị của hàm số tại x = – 2, g(0) là giá trị của hàm số tại x = 0, g(2) là giá trị của hàm số tại x = 2.

Tại các điểm x = – 2, x = 0, x = 2 ta dóng lên đồ thị như sau:

Luyện tập 5 trang 35 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

Quan sát đồ thị ta thấy, g(– 2) = – 1, g(0) = 0, g(2) = – 1.

3. Sự biến thiên của hàm số

Hoạt động 5: Cho hàm số f(x) = x + 1.

a) So sánh f(1) và f(2).

b) Chứng minh rằng nếu $x_{1}, x_{2} \in ℝ$ sao cho x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 6: Chứng tỏ rằng hàm số y = 6x2 nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).

Trả lời:

Xét hai số bất kì x1,x2∈(−∞;0) sao cho x1<x2.

Ta có: x1<x2<0 nên 6x21>6x22 hay f(x1)>f(x2).

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0).

Hoạt động 6: Cho đồ thị hàm số: y = f(x) = x2 như Hình 6.

Hoạt động 6 trang 36, 37 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

a) So sánh f(– 2), f(– 1). Nêu nhận xét về sự biến thiên của giá trị hàm số khi giá trị biến x tăng dần từ – 2 đến – 1.

b) So sánh f(1), f(2). Nêu nhận xét về sự biến thiên của giá trị hàm số khi giá trị biến x tăng dần từ 1 đến 2.

Trả lời:

a) Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: f(– 2) = 4, f(– 1) = 1.

Vì 4 > 1 nên f(– 2) > f(– 1).

Khi giá trị biến x tăng dần từ – 2 đến – 1 thì giá trị của hàm số giảm dần từ 4 xuống 1.

b) Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: f(1) = 1, f(2) = 4.

Vì 1 < 4 nên f(1) < f(2).

Khi giá trị biến x tăng dần từ 1 đến 2 thì giá trị của hàm số tăng dần từ 1 lên 4.

Bài tập

Bài tập 1: Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) y = – x2;

b) $y = \sqrt{2 - 3 x}$ ;

c) $y = \frac{4}{x + 1}$ ;

d) $y = \{\begin{cases} 1 n ê^{'} u x \in ℚ \\ 0 n ê^{'} u x \in ℝ \ ℚ . \end{cases}$

Trả lời:

Bài tập 2: Bảng 1 dưới đây cho biết chỉ số PM2,5 (bụi mịn) ở Thành phố Hà Nội từ tháng 1 đến tháng 12 của năm 2019

Bài 2 trang 37, 38 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

a) Nêu chỉ số PM2,5 trong tháng 2; tháng 5; tháng 10.

b) Chỉ số PM2,5 có phải là hàm số của tháng không? Tại sao?

c) Bụi mịn PM2,5 có đường kính nhỏ hơn 2,5 μm (mi-crô-mét) dễ dàng xâm nhập vào cơ thể con người thông qua đường hô hấp và gây nên một số bệnh nguy hiểm như đột quỵ, tim mạch,.. Em hãy nêu một số biện pháp bảo vệ bản thân trước bụi mịn.

Trả lời:

a) Quan sát bảng ta thấy chỉ số PM2,5 trong tháng 2 là 36,0 μg/m3 ; trong tháng 5 là 45,8 μg/m3; trong tháng 10 là 43,2 μg/m3.

b) Chỉ số PM2,5 là hàm số của tháng vì mỗi tháng chỉ tương ứng với đúng một giá trị của chỉ số PM2,5.

c) Một số biện pháp bảo vệ bản thân trước bụi mịn:

- Dọn dẹp vệ sinh nơi ở, nếu có điều kiện nên sử dụng máy lọc không khí trong nhà.

- Sử dụng khẩu trang thích hợp khi đi ra ngoài.

- Tạo ra thoái quen sinh hoạt tốt cho sức khỏe: Vệ sinh mũi họng, ăn uống lành mạnh, đủ chất, uống nhiều nước, tránh tiếp xúc với môi trường bụi bẩn,…

Bài tập 3: Theo quyết định số 2019/QĐ-BĐVN ngày 01/11/2018 của Tổng công ty Bưu điện Việt Nam, giá cước dịch vụ Bưu chính phổ cập đối với dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp trong nước có khối lượng đến 250 g như trong bảng sau:

Bài 3 trang 38 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

a) Số tiền dịch vụ thư cơ bản phải trả y (đồng) có là hàm số của khối lượng thư cơ bản x (g) hay không? Nếu đúng, hãy xác định những công thức tính y.

b) Tính số tiền phải trả khi bạn Dương gửi thư có khối lượng 150g, 200g.

Trả lời:

Bài tập 4: Cho hàm số y = – 2x2.

a) Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt bằng – 2; 3 và 10.

b) Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng – 18.

Trả lời:

a) Điểm có hoành độ bằng – 2 hay x = – 2 thì tung độ y = (– 2) . (– 2)2 = – 8.

Điểm có hoành độ bằng 3 hay x = 3 thì tung độ y = (– 2) . 32 = – 18.

Điểm có hoành độ bằng 10 hay x = 10 thì tung độ y = (– 2) . 102 = – 200.

Vậy các điểm cần tìm có tọa độ là (– 2; – 8), (3; – 18) và (10; – 200).

b) Điểm có tung độ bằng – 18 hay y = – 18.

Khi đó: – 2x2 = – 18 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ± 3.

Vậy các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng – 18 là (3; – 18) và (– 3; – 18).

Bài tập 5: Cho đồ thị hàm số y = f(x) như Hình 8.

Bài 5 trang 38 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

a) Trong các điểm có tọa độ (1; – 2), (0; 0), (2; – 1), điểm nào thuộc đồ thị hàm số? Điểm nào không thuộc đồ thị hàm số?

b) Xác định f(0); f(3).

c) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng 0.

Trả lời:

a) Quan sát đồ thị:

- Điểm (1;−2) (tức là có x =1; y=-2) thuộc đồ thị.

- Điểm (2;−1) (tức là có x=2; y=-1) thuộc đồ thị hàm số.

- Điểm (0;0) không thuộc đồ thị hàm số.

Từ điểm trên Ox: x=0 ta kẻ đường thẳng song song với Oy ta được: f(0) = −1

Từ điểm trên Ox: x=3 ta kẻ đường thẳng song song với Oy ta được: f(3)=0

c) Giao điểm của đồ thị và trục Ox là điểm (3;0)

Bài tập 6: Cho hàm số $y = \frac{1}{x}$ . Chứng tỏ hàm số đã cho:

a) Nghịch biến trên khoảng (0; + ∞);

b) Nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).

Trả lời:

Ta có: $y = f (x) = \frac{1}{x}$ .

Tập xác định của hàm số đã cho: D = $ℝ \ \{0\}$ .

a) Lấy hai giá trị x1, x2 tùy ý thuộc khoảng (0; + ∞) sao cho 0 < x1 < x2.

Khi đó $\frac{1}{x_{1}} > \frac{1}{x_{2}}$ hay f(x1) > f(x2).

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; + ∞).

b) Lấy hai giá trị x1, x2 tùy ý thuộc khoảng (– ∞; 0) sao cho x1 < x2 < 0.

Khi đó $\frac{1}{x_{1}} > \frac{1}{x_{2}}$ hay f(x1) > f(x2).

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).

Bài tập 7: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 9.

Bài 7 trang 38 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

Chỉ ra khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số y = f(x).

Trả lời:

- Từ chiều hướng đi lên và đi xuống của đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (−3;0) và nghịch biến trên khoảng (0;2).

Bài tập 8: Một lớp muốn thuê một chiếc xe khách cho chuyến tham quan với tổng đoạn đường cần di chuyển trong khoảng từ 550 km đến 600 km, có hai công ty được tiếp cận để tham khảo giá.

Công ty A có giá khởi đầu là 3,75 triệu đồng cộng thêm 5 000 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe.

Công ty B có giá khởi đầu là 2,5 triệu đồng cộng thêm 7 500 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe. Lớp đó nên chọn công ty nào để chi phí là thấp nhất?

Trả lời: