Giải SGK Toán 10 Cánh Diều Bài 3: Khái niệm vectơ

Câu hỏi khởi động: Mũi tên xuất phát từ A đến B trong Hình 34 mô tả chuyển động (có hướng) của một máy bay trên đường băng.

Đoạn thẳng AB có hướng được gọi là gì?

Trả lời:

Đoạn thẳng AB có hướng được gọi là một vectơ.

I. Khái niệm vectơ

Hoạt động 1: Trong công viên, để chỉ dẫn hướng đi và khoảng cách từ cổng đến khu vui chơi của trẻ em, người ta vẽ đoạn thẳng có mũi tên như Hình 35. Hình ảnh về mũi tên chỉ dẫn cho ta biết những thông tin gì?

Trả lời:

Hình ảnh về mũi tên chỉ dẫn cho biết:

+) Hướng đi từ Cổng đến Khu vui chơi: Đi sang phải

+) Khoảng cách từ Cổng đến Khu vui chơi: 200 m.

Luyện tập, vận dụng 1: Cho tam giác ABC. Viết tất cả các vectơ mà điểm đầu và điểm cuối là A, B hoặc C.

Trả lời:

AA
→
,AB
→
,AC
→
,BA
→
,BB
→
,BC
→
,CA
→
,CB
→
,CC
→

II. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Hoạt động 2: Quan sát Hình 40 và cho biết vị trí tương đối giữa giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$ với giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{PQ}$.

Trả lời:

Quan sát Hình 39, ta thấy: 

Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là đường thẳng m. 

Giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$ là đường thẳng n. 

Giá của vectơ $\overrightarrow{PQ}$ là đường thẳng n. 

Lại có đường thẳng m song song với đường thẳng n. 

Khi đó ta có nhận xét sau: 

- Giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$. 

- Giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$ trùng với giá của vectơ $\overrightarrow{PQ}$.

Hoạt động 3: Quan sát hai biển báo ở Hình 41a, Hình 41b, cho biết hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có cùng hướng hay không.

Trả lời:

Hoạt động 4: Quan sát hai vectơ ${AB}^{}$ , $\overrightarrow{CD}$ ở Hình 43.

a) Nhận xét về phương, về hướng của hai vectơ đó.

b) So sánh độ dài của hai vectơ đó.

Trả lời:

Quan sát Hình 43, ta thấy:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{CD}$ cùng phương với nhau (do có giá song song với nhau).

Hai vectơ ${AB}^{}$ , ${CD}^{}$ cùng hướng với nhau. 

b) Hai vectơ ${AB}^{}$ , $\overrightarrow{CD}$ có cùng độ dài (bằng 5 ô vuông). 

III. Hai vectơ bằng nhau

Luyện tập, vận dụng 2: Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Tứ giác ABCD là hình gì?

Trả lời:

AD
→
=BC
→
.

⇒{AD//BCAD=BC

⇒ Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài tập

Bài tập 1: Cho A, B, C là ba điểm thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Viết các cặp vectơ cùng hướng, ngược hướng trong những vectơ sau: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$.

Trả lời:

Bài tập 2: Cho đoạn thẳng MN có trung điểm là I.

a) Viết các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là một trong ba điểm M, N, I. 

b) Trong các vectơ được viết ở câu a), vectơ nào bằng vectơ $\overrightarrow{MI}$? $\overrightarrow{NI}$? 

Trả lời:

a) Các vectơ cần tìm là:${MI}^{};\overrightarrow{MN};\overrightarrow{IM};\overrightarrow{IN};\overrightarrow{NI};\overrightarrow{NM}$ . 

b) Các vectơ $\overrightarrow{MI};\overrightarrow{MN};\overrightarrow{IM};\overrightarrow{IN};\overrightarrow{NI};\overrightarrow{NM}$ đều cùng phương (do có giá trùng nhau). 

Khi đó ta có:

+ Hai vectơ $\overrightarrow{MI};\overrightarrow{IN}$ cùng hướng và MI = IN (do I là trung điểm của MN) nên $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{IN}$.

+ Hai vectơ $\overrightarrow{NI};\overrightarrow{IM}$ cùng hướng và NI = IM nên $\overrightarrow{NI}=\overrightarrow{IM}$. 

Bài tập 3: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Trong các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là một trong bốn điểm A, B, C, D, tìm vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$

Trả lời:

Giá của vectơ AB
→
 là AB

Mặt khác AB//CD

⇒CD
→
 ngược hướng với AB
→
.

Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 3 cm. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

Trả lời:

Bài tập 5: Quan sát ròng rọc hoạt động khi dùng lực để kéo một đầu của ròng rọc. Chuyển động của các đoạn dây được mô tả bằng các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ (Hình 47).

a) Hãy chỉ ra các cặp vectơ cùng phương. 

b) Trong các cặp vectơ đó, cho biết chúng cùng hướng hay ngược hướng. 

Trả lời:

a) Quan sát Hình 47 ta thấy giá của các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ song song với nhau, do đó các cặp vectơ cùng phương là: 

+ Vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$; 

+ Vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ ; 

+ Vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ . 

b) Quan sát hướng mũi tên, ta thấy: 

+ Vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng; 

+ Vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng hướng; 

+ Vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng.