Giải SGK Toán 10 Cánh Diều Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

Câu hỏi khởi động: Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức sau: y = – 200x2 + 92 000x – 8 400 000, trong đó x là số sản phẩm được bán ra. Như vậy, việc xác định lãi hay lỗ khi kinh doanh loại sản phẩm trên dẫn tới việc xét dấu của y = – 200x2 + 92 000x – 8 400 000, tức là ta cần xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = – 200x2 + 92 000x – 8 400 000.

Làm thế nào để xét dấu tam thức bậc hai?

Trả lời:

Đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) được gọi là tam thức tâm bậc hai.

Sau bài học thứ 3 của chương 3 này, ta sẽ biết cách xét dấu tam thức bậc hai và áp dụng vào xét dấu tam thức bậc hai f(x) = – 200x2 + 92 000x – 8 400 000.

Ta có: a = – 200, b = 92 000, c = – 8 400 000.

∆ = b2 – 4ac = 920002 – 4 . (– 200) . (– 8 400 000) = 1 744 000 000 > 0

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1744000000}=4000\sqrt{109}$

Khi đó f(x) có hai nghiệm $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-92000+4000\sqrt{109}}{-400}=230-10\sqrt{109}$; $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-92000-4000\sqrt{109}}{-400}=230+10\sqrt{109}$.

Lại có a = – 200 < 0.

Do đó f(x) < 0 với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ;230-10\sqrt{109}\right)$ và $\left(230+10\sqrt{109};+\infty \right)$.

f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng $\left(230-10\sqrt{109};230+10\sqrt{109}\right)$.

I. Dấu của tam thức bậc hai

Hoạt động 1:

a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 – 2x + 2 trên ℝ. 

b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 5 trên ℝ. 

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) trên ℝ với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ < 0. 

Trả lời:

Hoạt động 2:

a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 + 2x + 1.

b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 4.

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ = 0.

Trả lời:

a) Quan sát Hình 19, ta thấy parabol có đỉnh I(– 1; 0) thuộc trục hoành và phần parabol còn lại nằm phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x2 + 2x + 1 > 0 với mọi $x\in R\backslash \left\{-1\right\}$.

b) Quan sát Hình 20, ta thấy parabol có đỉnh I(2; 0) thuộc trục hoành và phần parabol còn lại nằm phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 4 < 0 với mọi $x\in R\backslash \left\{2\right\}$.

c) Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\in R\backslash \left\{\frac{-b}{2a}\right\}.$

Hoạt động 3:

a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 + 3x + 2 tùy theo các khoảng của x. 

b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 3 tùy theo các khoảng của x. 

c) Từ đó rút ra mối quan hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a tùy theo các khoảng của x trong trường hợp ∆ > 0. 

Trả lời:

II. Ví dụ

Luyện tập, vận dụng 1: Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = – 2x2 + 4x – 5;

b) f(x) = – x2 + 6x – 9.

Trả lời:

a. Tam thức bậc hai f(x)=−2x2+4x−5 có Δ=−24<0, hệ số a=−2<0 nên f(x)<0 với ∀x∈R

b. Tam thức bậc hai f(x)=−x2+6x−9 có Δ=0, hệ số a=−1<0 nên f(x)<0 với ∀x∈R∖3

Luyện tập, vận dụng 2: Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai: f(x) = – x2 – 2x + 8.

Trả lời:

Tam thức bậc hai f(x) = – x2 – 2x + 8 có ∆ = b2 – 4ac = (– 2)2 – 4 . (– 1) . 8 = 36 > 0.

Do đó tam thức bậc hai có hai nghiệm x1 = – 4, x2 = 2 và hệ số a = – 1 < 0. 

Ta có bảng xét dấu như sau: 

Bài tập

Bài tập 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x2 – 2x – 3 > 0 khi và chỉ khi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (3; + ∞). 

b) x2 – 2x – 3 < 0 khi và chỉ khi x ∈ [– 1; 3].

Trả lời:

Tam thức bậc hai x2−2x−3=0 có hai nghiệm phân biệt x1=−1, x2=3 và hệ số a=1>0

a. x2−2x−3>0 khi và chỉ khi x∈(−∞;−1)∪(3;+∞). Vậy phát biểu đúng.

b. x2−2x−3<0 khi và chỉ khi x∈(−1;3). Vậy phát biểu sai.

Bài tập 2: Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) với đồ thị được cho ở mỗi Hình 24a, 24b, 24c.

Trả lời:

Hình 24a:

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại điểm (2;0)

=> Phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất x=2

Ta thấy đồ thị nằm trên trục hoành nên có bảng xét dấu:

Hình 24b:

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt (-4;0) và (-1;0)

=> Phương trình f(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x = −4, x = −1

Trong các khoảng (−∞; −4) và  (−1;+∞) thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên f(x) < 0

Trong khoảng (−4;−1) thì đồ thị nằm trên trục hoành nên f(x) > 0

Bảng xét dấu:

Hình 24c: 

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt (-1;0) và (2;0)

=> Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x=−1,x=2

Trong các khoảng (−∞;−1) và  (2;+∞) thì đồ thị nằm trên trục hoành nên f(x)>0

Trong khoảng (−1;2) thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên f(x)<0

Bảng xét dấu:

Bài tập 3: Xét dấu mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 3x2 – 4x + 1;

b) f(x) = 9x2 + 6x + 1; 

c) f(x) = 2x2 – 3x + 10; 

d) f(x) = – 5x2 + 2x + 3;

e) f(x) = – 4x2 + 8x – 4; 

g) f(x) = – 3x2 + 3x – 1. 

Trả lời:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 3x2 – 4x + 1 có ∆ = (– 4)2 – 4 . 3 . 1 = 4 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = $\frac{1}{3}$ và x2 = 1.

Lại có hệ số a = 3 > 0.

Vậy f(x) > 0 với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và (1; + ∞); f(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng $\left(\frac{1}{3};1\right)$.

b) Tam thức bậc hai f(x) = 9x2 + 6x + 1 có ∆ = 62 – 4 . 9 . 1 = 0.

Do đó tam thức f(x) có nghiệm kép là x0 = $-\frac{1}{3}$.

Lại có hệ số a = 9 > 0.

Vậy f(x) > 0 với mọi $x\in R\backslash \left\{-\frac{1}{3}\right\}$.

c) Tam thức bậc hai f(x) = 2x2 – 3x + 10 có ∆ = (– 3)2 – 4 . 2 . 10 = – 71 < 0 và hệ số a = 2 > 0 nên f(x) > 0 với mọi $x\in R$.

d) Tam thức bậc hai f(x) = – 5x2 + 2x + 3 có ∆ = 22 – 4 . (– 5) . 3 = 64 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = $-\frac{3}{5}$ và x2 = 1.

Lại có hệ số a = – 5 < 0.

Vậy f(x) < 0 với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{3}{5}\right)$ và (1; + ∞); f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng $\left(-\frac{3}{5};1\right)$.

e) Tam thức bậc hai f(x) = – 4x2 + 8x – 4 có ∆ = 82 – 4 . (– 4) . (– 4) = 0.

Do đó tam thức f(x) có nghiệm kép x0 = 1.

Lại có hệ số a = – 4 < 0.

Vậy f(x) < 0 với mọi $x\in R\backslash \left\{1\right\}$.

g) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x2 + 3x – 1 có ∆ = 32 – 4 . (– 3) . (– 1) = – 3 < 0 và hệ số a = – 3 < 0 nên f(x) < 0 với mọi $x\in R.$

Bài tập 4: Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:

50 khách đầu tiên có giá là 300 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách. 

a) Gọi x là số lượng người khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x. 

b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080 000 đồng. 

Trả lời:

a. x là số lượng khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm (x∈N, x≠0)

Theo đầu bài, ta có nếu thêm x người thì giá vé là: (300−5.x) nghìn đồng.

Tổng doanh thu là: (50+x).(300−5x) nghìn đồng.

b. Để công ty không bị lỗ thì: (50+x).(300−5x)≥15080

⇔(50+x)(60−x)≥3016

⇔−x2+10x+3000≥3016

⇔−x2+10x−16≥0

⇔(x−2)(8−x)≥0

⇔2≤x≤8

Vậy nhóm khách du lịch nhiều nhất là 58 người thì công ty không bị lỗ.

Bài tập 5: Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là Q2 + 180Q + 140 000 (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 200 nghìn đồng.

a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết Q sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất. 

b) Xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để không bị lỗ? Biết rằng các sản phẩm được sản xuất đều bán hết.

Trả lời: