Giải SGK Toán 10 Cánh Diều Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - Giải SGK Toán 10 - Cánh Diều

Câu hỏi khởi động: Trong vật lí, nếu có một lực $\vec{F}$ tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OM (Hình 63) thì công A của lực $\vec{F}$ được tính theo công thức $A = |\vec{F}| . |\vec{O M}| . \cos φ$ trong đó $|\vec{F}|$ gọi là cường độ của lực $\vec{F}$ tính bằng Newton (N), $|\vec{O M}|$ là độ dài của vectơ $\vec{O M}$ tính bằng mét (m), φ là góc giữa hai vectơ $\vec{O M}$ và $\vec{F}$ , còn công A tính bằng Jun (J).

Câu hỏi khởi động trang 93 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

Trong toán học, giá trị của biểu thức $A = |\vec{F}| . |\vec{O M}| . \cos φ$ (không kể đơn vị đo) được gọi là gì?

Trả lời:

Giá trị của biểu thức $A = |\vec{F}| . |\vec{O M}| . \cos φ$ là tích vô hướng của hai vectơ $\vec{F}$ và $\vec{O M}$ .

I. Định nghĩa

Luyện tập, vận dụng 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B} = 30 °$ , AB = 3 cm. Tính $\vec{B A} . \vec{B C}; \vec{C A} . \vec{C B}$ .

Trả lời:

Ta có: AC=tan30∘⋅AB=3–√

và BC=ABcos30∘=23–√

BA−→−⋅BC−→−=|BA−→−|⋅|BC−→−|⋅cos(BA−→−,BC−→−)=3⋅23–√⋅cos30∘=9
CA−→−⋅CB−→−=|CA−→−|⋅|CB−→−|⋅cos(CA−→−,CB−→−)=3–√⋅23–√⋅cos60∘=3

Luyện tập, vận dụng 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:

a) $\vec{C B} . \vec{B A}$ ;

b) $\vec{A H} . \vec{B C}$ .

Trả lời:

II. Tính chất

Luyện tập, vận dụng 3: Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}$ , ta có:

${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ ;

${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ ;

$(\vec{a} - \vec{b}) . (\vec{a} + \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$ .

Trả lời:

+ Ta có:

${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = (\vec{a} + \vec{b}) . (\vec{a} + \vec{b})$ (bình phương vô hướng của vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ )

$= \vec{a} . \vec{a} + \vec{a} . \vec{b} + \vec{b} . \vec{a} + \vec{b} . \vec{b}$

$= {\vec{a}}^{2} + \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$= {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

Vậy ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ .

+ Ta có:

${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = (\vec{a} - \vec{b}) . (\vec{a} - \vec{b})$ (bình phương vô hướng của vectơ $\vec{a} - \vec{b}$ )

$= \vec{a} . \vec{a} - \vec{a} . \vec{b} - \vec{b} . \vec{a} + (- \vec{b}) . (- \vec{b})$

$= {\vec{a}}^{2} - \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$= {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

Vậy ${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ .

+ Ta có:

$(\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b})$ $= \vec{a} . \vec{a} + \vec{a} . \vec{b} + (- \vec{b}) . \vec{a} + (- \vec{b}) . \vec{b}$

$= {\vec{a}}^{2} + \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b} - \vec{b} . \vec{b}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$= {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$ .

Vậy $(\vec{a} - \vec{b}) . (\vec{a} + \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$ .

III. Một số ứng dụng

Luyện tập, vận dụng 4: Sử dụng tích vô hướng, chứng minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BC2 = AB2 + AC2

Trả lời:

Ta có: BC
→
2=(AC
→
−AB
→
)2=AC
→
2+AB
→
2−2AC
→
⋅AB
→

Suy ra BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos(AB
→
,AC
→
).

=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos90∘

=AB2+AC2 (Đpcm)

Bài tập

Bài tập 1: Nếu hai điểm M, N thỏa mãn $\vec{M N} . \vec{N M} = - 4$ thì độ dài đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?

A. MN = 4;

B. MN = 2;

C. MN = 16;

D. MN = 256.

Đáp án: B.

Giải thích:

Bài tập 2: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) < 90 °$ thì $\vec{a} . \vec{b} < 0;$

B. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) > 90 °$ thì $\vec{a} . \vec{b} > 0$

C. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) < 90 °$ thì $\vec{a} . \vec{b} > 0$

D. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) \neq 90 °$ thì $\vec{a} . \vec{b} < 0.$

Đáp án: C.

Giải thích:

Với $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ thì $(\vec{a}, \vec{b}) < 90 °$ $\Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) > 0$

Do đó ta có: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b}) > 0$ .

Vậy $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) < 90 °$ thì $\vec{a} . \vec{b} > 0$ .

Bài tập 3: Tính $\vec{a} . \vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 4, (\vec{a}, \vec{b}) = 30 °$ ;

b) $|\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 6, (\vec{a}, \vec{b}) = 120 °$ ;

c) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3,$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng;

d) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3,$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

Trả lời:

a. a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ |⋅|b⃗ |⋅cos(a⃗ ,b⃗ )=3⋅4⋅cos30∘=63–√

b. a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ |⋅|b⃗ |⋅cos(a⃗ ,b⃗ )=5⋅6⋅cos120∘=−15

c. a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ |⋅|b⃗ |⋅cos(a⃗ ,b⃗ )=2⋅3⋅cos0∘=6

d. a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ |⋅|b⃗ |⋅cos(a⃗ ,b⃗ )=2⋅3⋅cos180∘=−6

Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\vec{A B} . \vec{A C}$ ;

b) $\vec{A C} . \vec{B D}$ .

Trả lời:

Bài tập 5: Cho tam giác ABC. Chứng minh:

$A B^{2} + \vec{A B} . \vec{B C} + \vec{A B} . \vec{C A} = 0$

Trả lời:

Bài 5 trang 98 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

Ta có:

$A B^{2} + \vec{A B} . \vec{B C} + \vec{A B} . \vec{C A}$

$= A B^{2} + \vec{A B} . (\vec{B C} + \vec{C A})$

$= A B^{2} + \vec{A B} . \vec{B A}$

$= A B^{2} + \vec{A B} . (- \vec{A B})$

$= A B^{2} - {\vec{A B}}^{2}$

$= A B^{2} - A B^{2} = 0$ .

Vậy $A B^{2} + \vec{A B} . \vec{B C} + \vec{A B} . \vec{C A} = 0$ .

Bài tập 6: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A B} . \vec{A H} = \vec{A C} . \vec{A H}$ ;

b) $\vec{A B} . \vec{B C} = \vec{H B} . \vec{B C}$ .

Trả lời:

a. AB−→−⋅AH−→−=(AC−→−+CB−→−)⋅AH−→−=AC−→−⋅AH−→−+CB−→−⋅AH−→−=AC−→−⋅AH−→− (do AH vuông góc với CB)

b. HB−→−⋅BC−→−=(HA−→−+AB−→−)⋅BC−→−=HA−→−⋅BC−→−+AB−→−⋅BC−→−=AB−→−⋅BC−→− (do AH vuông góc với CB)

Bài tập 7: Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 68). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi.

Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h).

Bài 7 trang 98 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

Trả lời:

Bài tập 8: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\hat{B A C} = 60 °$ . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = \frac{7}{12} \vec{A C}$ .

a) Tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ .

b) Biểu diễn $\vec{A M}, \vec{B D}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

c) Chứng minh AM ⊥ BD.

Trả lời:

Bài 8 trang 98 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

a) Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

$= A B . A C . c o s \hat{B A C}$ = 2 . 3 . cos60° = 3.

b) + Do M là trung điểm của BC nên với điểm A ta có:

$\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$

Do đó: $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ .

+ Ta có: $\vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} = (- \vec{A B}) + \vec{A D}$

Mà $\vec{A D} = \frac{7}{12} \vec{A C}$

Nên

$\vec{B D} = (- \vec{A B}) + \frac{7}{12} \vec{A C}$

$= - \vec{A B} + \frac{7}{12} \vec{A C}$

Vậy $\vec{B D} = - \vec{A B} + \frac{7}{12} \vec{A C}$ .

c) Ta có:

$\vec{A M} . \vec{B D} = (\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}) . (- \vec{A B} + \frac{7}{12} \vec{A C})$

$= \frac{- 1}{2} {\vec{A B}}^{2} + \frac{7}{24} \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A C} . \vec{A B} + \frac{7}{24} {\vec{A C}}^{2}$

$= \frac{- 1}{2} . A B^{2} + \frac{7}{24} . \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{7}{24} . A C^{2}$

$= \frac{- 1}{2} {.2}^{2} + \frac{7}{24} .3 - \frac{1}{2} .3 + \frac{7}{24} {.3}^{2}$ = 0

Suy ra: $\vec{A M} . \vec{B D} = 0$ .

Vậy AM ⊥ BD.