Giải SGK Toán 10 Cánh Diều Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Câu hỏi khởi động: Hình 58 minh họa hai đoàn tàu chạy song song với vectơ vận tốc lần lượt là $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$.

Mối liên hệ giữa hai vectơ vận tốc $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$ là như thế nào? 

Trả lời:

Qua bài học này, chúng ta sẽ biết được hai vectơ vận tốc $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$ cùng phương với nhau và liên hệ với nhau theo công thức: $\overrightarrow{v_1}=k\overrightarrow{v_2}$ với $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$ là các vectơ khác $\overrightarrow{0}$ và số thực k ≠ 0.

I. Định nghĩa

Hoạt động 1: Gọi B là trung điểm của AC.

Chứng tỏ rằng $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$.

Trả lời:

Do B là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$

Hoạt động 2: Quan sát vectơ $\overrightarrow{AB}$ và ${AC}^{}$, nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ $2\overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AB}$.

Trả lời:

Từ hoạt động 1, ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}$

Do đó độ dài vectơ $2\overrightarrow{AB}$ bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{AC}$ và vectơ $2\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với vectơ .

Theo quan sát trên Hình 59 ta thấy, đoạn thẳng AC dài 6 ô, còn đoạn thẳng AB dài 3 ô. Suy ra độ dài đoạn thẳng AC bằng 2 lần độ dài đoạn thẳng AB. Do đó ta có AC = 2AB hay $\left|\overrightarrow{AC}\right|=2\left|\overrightarrow{AB}\right|$ và vectơ $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AC}$.

Vậy vectơ $2\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ và $\left|2\overrightarrow{AB}\right|=2\left|\overrightarrow{AB}\right|$.

Luyện tập, vận dụng 1: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b biết: $\overrightarrow{AG}=a\overrightarrow{AM};\overrightarrow{GN}=b\overrightarrow{GB}$ .

Trả lời:

II. Tính chất

Luyện tập, vận dụng 2: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$ .

Trả lời:

Ta có: 3(AB
→
+2BC
→
)−2(AB
→
+3BC
→
)

=3AB
→
+6BC
→
−2AB
→
−6BC
→

=AB
→
 (đpcm).

III. Một số ứng dụng

Hoạt động 3: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ .

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$ .

Trả lời:

• Cách 1:

Ta có:

AB−→−+BM−→−=AM−→−

AC−→−+CM−→−=AM−→−

Cộng vế với vế: AB−→−+BM−→−+AC−→−+CM−→−=2AM−→−

⇔AB−→−+AC−→−=2⋅23AG−→− (chứng minh ở Luyện tập 1)

⇔AB−→−+AC−→−=3AG−→− (đpcm).

• Cách 2: AB−→−+AC−→−

=AG−→−+GB−→−+AG−→−+GC−→−

=2AG−→−+GB−→−+GC−→−

=3AG−→−+GA−→−+GB−→−+GC−→−

=3AG−→− (đpcm).

Hoạt động 5: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ với k là số thực khác 0. Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .

Trả lời:

Ta có: $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ với k là số thực khác 0, hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. 

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Hoạt động 6: Cho ba điểm phân biệt A, B, C.

a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ có cùng phương hay không? 

b) Ngược lại, nếu hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ cùng phương thì ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không? 

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 4: Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AD}$,

b) $\overrightarrow{BD}=k\overrightarrow{DC}$.

Trả lời:

a. Từ hình vẽ, AC=34AD

⇒AC−→−=34AD−→−  (hai vectơ cùng hướng)

⇒k=34

b. Từ hình vẽ, BD=3CD

⇒BD−→−=−3DC−→− (hai vectơ ngược hướng)

⇒k=−3

Bài tập

Bài tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{PQ}$;

B. $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{NP}$;

C. $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{PQ}$;

D. $\overrightarrow{MQ}=-2\overrightarrow{NP}$.

Đáp án: C.

MNPQ là hình thang với MN // PQ nên hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ ngược hướng.

Mà MN = 2 PQ nên $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{PQ}$.

Bài tập 2: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Trả lời:

a. 

b. 

Bài tập 3: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AN}$;

b) $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BA}$.

Trả lời:

Bài tập 4: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$. Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$ theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

Trả lời:

+ Ta có:

$\begin{array}{c}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\\ =-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\end{array}$ 

+ BD = DE = EC và D, E thuộc cạnh BC nên BD = $\frac{1}{3}$BC.

Mà $\overrightarrow{BD}$  và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.

Suy ra: $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$.

Vậy $\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$.

+ Hai vectơ $\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và BE = $\frac{2}{3}$BC nên $\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.

Suy ra: $\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\left(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$.

Vậy $\overrightarrow{BE}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$.

Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$;

b) $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$.

Trả lời:

a. EA−→−+EB−→−+EC−→−+ED−→−

=EM−→−+MA−→−+EM−→−+MB−→−+EN−→−+NC−→−+EN−→−+ND−→−

=2(EM−→−+EN−→−)

=2(EG−→−+GM−→−+EG−→−+GN−→−)

=4EG−→− (Đpcm)

b. E là trọng tâm tam giác BCD ⇒EB−→−+EC−→−+ED−→−=0⃗ 

⇒EA−→−=4EG−→−

c. Vì EA−→−=4EG−→− ⇒G thuộc đoạn thẳng AE

Mặt khác: EA−→−=4EG−→−⇒AE−→−=4GE−→−⇒GE−→−=14AE−→−

⇒AG−→−=34AE−→−

Bài tập 6: Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{CG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

Trả lời:

Bài tập 7: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

a) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DH},\overrightarrow{HE}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Trả lời:

Vì $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và $DB=\frac{1}{3}BC$.

$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AC}$ cùng hướng và AE = $\frac{1}{3}AC$.

$\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AB}$ cùng hướng và $AH=\frac{2}{3}AB$.

a)

+ Ta có

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{DB}\right)$

Mà $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.

Do đó:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}\right)-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Suy ra: $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có:

$\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AH}=\left(-\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AH}$

Mà $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó:

$\overrightarrow{DH}=-\left(\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=\left(-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=\left(\frac{2}{3}-\frac{4}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{DH}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có:

$\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AE}$

$=\left(-\overrightarrow{AH}\right)+\overrightarrow{AE}$

Mà $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

Do đó: 

$\overrightarrow{HE}=\left(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

b) Theo câu a, ta có: $\overrightarrow{DH}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó: $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{HE}$.

Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.