Giải SGK Toán 10 Cánh Diều Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Câu hỏi khởi động: Bác Dũng muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 32 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông (Hình 25). Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 120 cm2.

Rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là bao nhiêu xăng-ti-mét?

Trả lời:

Khi chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông như Hình 25 thì kích thước của mặt cắt ngang là x (cm) và 32 – 2x (cm). Khi đó diện tích mặt cắt ngang là (32 – 2x)x (cm2). 

Ta thấy: Diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước lớn hơn 120 cm2 khi và chỉ khi

(32 – 2x)x ≥ 120 ⇔ – 2x2 + 32x – 120 ≥ 0. 

Tam thức – 2x2 + 32x – 120 có hai nghiệm x1 = 6, x2 = 10 và hệ số a = – 2 < 0. Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – 2x2 + 32x – 120 mang dấu “+” là (6; 10).

Do đó tập nghiệm của bất phương trình – 2x2 + 32x – 120 ≥ 0 là [6; 10].

Vậy rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là 6 cm. 

I. Bất phương trình bậc hai một ẩn

Hoạt động 1: Quan sát và nêu đặc điểm của biểu thức ở vế trái của bất phương trình 3x2 – 4x – 8 < 0.

Trả lời:

- Vế trái của bất phương trình là đa thức bậc 2 và có hệ số cao nhất là 3 > 0

Luyện tập, vận dụng 1:

a) Cho hai ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn.

b) Cho hai ví dụ về bất phương trình mà không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Trả lời:

a. x2−2x+2>0 và −x2+5x−3≤0

b. 4x−1>0 và −3x+2≥7

II. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Hoạt động 2:

a) Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 – x – 2. 

b) Giải bất phương trình x2 – x – 2 > 0.

Trả lời:

a) Tam thức bậc hai f(x) = x2 – x – 2 có ∆ = (– 1)2 – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt là x1 = – 2, x2 = 1. 

Lại có hệ số a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu sau: 

b) Dựa vào bảng xét dấu ở câu a, ta thấy x2 – x – 2 > 0 hay f(x) > 0 hay chính là tam thức f(x) mang dấu “+” khi (– ∞; – 2) ∪ (1; +∞).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x2 – x – 2 > 0 là (– ∞; – 2) ∪ (1; +∞). 

Luyện tập, vận dụng 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) 3x2 – 2x + 4 ≤ 0; 

b) – x2 + 6x – 9 ≥ 0. 

Trả lời:

Hoạt động 3: Cho bất phương trình x2 – 4x + 3 > 0 (2).

Quan sát parabol (P): y = x2 – 4x + 3 ở Hình 26 và cho biết: 

a) Bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm ở phía nào của trục hoành.

b) Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với những giá trị nào của x. 

Trả lời:

a) Bất phương trình: x2 – 4x + 3 > 0 (2).

Quan sát Hình 26, ta thấy bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm phía trên của trục hoành.

b) Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với x < 1 hoặc x > 3. 

Luyện tập, vận dụng 3: Giải mỗi bất phương trình bậc hai sau bằng cách sử dụng đồ thị:

a) x2 + 2x + 2 > 0;

b) – 3x2 + 2x – 1 > 0.

Trả lời:

a. Từ đồ thị ta thấy x2+2x+2>0 biểu diễn phần parabol x2+2x+2=0 nằm phía trên trục hoành, tương ứng với x∈R

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x2+2x+2>0 là R

b. Từ đồ thị ta thấy −3x2+2x−1>0 biểu diễn phần parabol −3x2+2x−1=0 nằm phía trên trục hoành, tương ứng với x∈∅

Vậy bất phương trình −3x2+2x−1>0 vô nghiệm.

III. Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn

Luyện tập, vận dụng 4: Tổng chi phí T (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất Q sản phẩm được cho bởi biểu thức T = Q2 + 30Q + 3 300; giá bán của 1 sản phẩm là 170 nghìn đồng. Số sản phẩm được sản xuất trong khoảng nào để đảm bảo có lãi (giả thiết các sản phẩm được bán hết)?

Trả lời:

Theo đề bài, ta có điều kiện của Q là: $Q\in N^{\ast }$.

Giá bán 1 sản phẩm là 170 nghìn đồng, do đó giá bán Q sản phẩm là 170Q (nghìn đồng), đây chính là doanh thu sau khi bán Q sản phẩm. 

Tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là T = Q2 + 30Q + 3 300 (nghìn đồng).

Để có lãi thì doanh thu phải lớn hơn hoặc bằng chi phí sản xuất, do đó 170Q ≥ T hay T ≤ 170Q. Khi đó ta có: Q2 + 30Q + 3 300 ≤ 170Q

⇔ Q2 + (30Q – 170Q) + 3 300 ≤ 0 

⇔ Q2 – 140Q + 3 300 ≤ 0, đây là một bất phương trình bậc hai một ẩn Q. 

Tam thức bậc hai Q2 – 140Q + 3 300 có hai nghiệm là Q1 = 30, Q2 = 110 và có hệ số a = 1 > 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của Q sao cho tam thức Q2 – 140Q + 3 300 mang dấu “–” là (30; 110). 

Do đó tập nghiệm của bất phương trình Q2 – 1400Q + 3 300 ≤ 0 là [30; 110].

Vậy số sản phẩm được sản xuất trong khoảng từ 30 đến không quá 110 sản phẩm thì có lãi.

Bài tập

Bài tập 1: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn? Vì sao?

a) – 2x + 2 < 0; 

b) $\frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}\left(y+1\right)\le 0$;

c) y2 + x2 – 2x ≥ 0. 

Trả lời:

a. −2x+2<0 không phải bất phương trình bậc 2 một ẩn vì a=0;b=−2;c=2, ẩn là x

b. 12y2−2–√(y+1)≤0 là bất phương trình bậc 2 một ẩn vì a=12;b=−2–√;c=−2–√, ẩn là y

c. y2+x2−2x≥0 là không bất phương trình bậc 2 một ẩn vì có hai ẩn là x và y

Bài tập 2: Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) trong mỗi Hình 30a, 30b, 30c, hãy viết tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau: f(x) > 0, f(x) < 0; f(x) ≥ 0; f(x) ≤ 0.

Trả lời:

a) Quan sát đồ thị Hình 30 a, ta thấy: 

+ f(x) > 0 biểu diễn phần parabol y = f(x) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với x < 1 hoặc x > 4.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là (– ∞; 1) ∪ (4; + ∞). 

Và tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≥ 0 là (– ∞; 1] ∪ [4; + ∞). 

+ f(x) < 0 biểu diễn phần parabol y = f(x) nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với 1 < x < 4. 

Do đó tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là (1; 4). 

Và tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là [1; 4]. 

b) Quan sát đồ thị Hình 30 b, ta thấy: 

Tại x = 2 thì f(x) = 0.

+ f(x) > 0 biểu diễn phần parabol y = f(x) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với x ≠ 2.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là $R\backslash \left\{2\right\}$.

Và tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≥ 0 là $R$.

+ f(x) < 0 biểu diễn phần parabol y = f(x) nằm phía dưới trục hoành, mà phần đồ thị nằm phía trên trục hoành.

Do đó bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm.

Và nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là x = 2. 

c) Quan sát đồ thị Hình 30 c, ta thấy phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, do đó f(x) > 0 với mọi $x\in R$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là $x\in R$ và các bất phương trình f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0 vô nghiệm. 

Bài tập 3: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) 2x2 – 5x + 3 > 0;

b) – x2 – 2x + 8 ≤ 0; 

c) 4x2 – 12x + 9 < 0; 

d) – 3x2 + 7x – 4 ≥ 0.

Trả lời:

Bài tập 4: Tìm m để phương trình 2x2 + (m + 1)x + m – 8 = 0 có nghiệm.

Trả lời:

Phương trình 2x2 + (m + 1)x + m – 8 = 0 (1) là phương trình bậc hai một ẩn với ẩn x và m là tham số.

Ta có: a = 2, b = m + 1, c = m – 8 và 

∆ = (m + 1)2 – 4 . 2 . (m – 8) = m2 + 2m + 1 – 8m + 64 = m2 – 6m + 65.

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 

⇔ m2 – 6m + 65 ≥ 0, đây là bất phương trình bậc hai một ẩn với ẩn m.

Ta giải bất phương trình trên. 

Tam thức bậc hai m2 – 6m + 65 có ∆m = (– 6)2 – 4 . 1 . 65 = – 224 < 0 và hệ số am = 1 > 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tam thức m2 – 6m + 65 mang dấu dương với mọi  . 

Do đó m2 – 6m + 65 > 0 với mọi số thực m. 

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị thực của m. 

Bài tập 5: Xét hệ tọa độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng. 

b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất? 

Trả lời:

a. Gọi hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là h=at2+bt+c (a≠0)

Quả bóng được đá lên từ điểm A(0;0,2) ⇒c=0,2

Theo bài ra ta có: {a+b=8,34a+2b=5,8⇔{a=−5,4b=13,7

Vậy hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là h=−5,4t2+13,7t+0,2

b. Để quả bóng không chạm đất thì h>0

⇔−5,4t2+13,7t+0,2>0

⇔−0,01<t<2,55

Vậy trong khoảng thời gian từ lúc đá đến thời gian t=2,55 giây thì quả bóng chưa chạm đất.

Bài tập 6: Công ty An Bình thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:

10 khách đầu tiên có giá vé là 800 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 10 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vẽ sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.

a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x. 

b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 700 000 đồng/người.

Trả lời: