Giải SGK Toán 10 Cánh Diều Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Câu hỏi khởi động: Hai ô tô xuất phát tại cùng một điểm với vận tốc trung bình như nhau là 40 km/h từ hai vị trí A và B trên hai con đường vuông góc với nhau để đi về bến cuối O (Hình 31). Vị trí A cách bến 8 km, vị trí B cách bến 7 km. Gọi x là thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau 5 km.

Bạn Dương xác định được x thỏa mãn phương trình $\sqrt{{\left(8-40x\right)}^2+{\left(7-40x\right)}^2}=5.$

Làm thế nào để tìm được giá trị của x?

Trả lời:

1. Giải phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}(I)$

Luyện tập, vận dụng 1: Giải phương trình:

$\sqrt{3x^2-4x+1}=\sqrt{x^2+x-1}\left(1\right).$

Trả lời:

Bình phương hai vế của (1) ta được: 3x2 – 4x + 1 = x2 + x – 1 (2).

Ta có: (2) ⇔ 2x2 – 5x + 2 = 0 $\iff [\begin{array}{c}x=2\\ x=\frac{1}{2}\end{array}$.

Thay lần lượt hai giá trị trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn. 

Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 2. 

2. Giải phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}(II)$

Luyện tập, vận dụng 2: Giải phương trình:

$\sqrt{3x-5}=x-1$

Trả lời:

Ta có x−1≥0⇔x≥1

Bình phương hai vế ta được 3x−5=x2−2x+1⇔−x2+5x−6=0

⇔ [x=2  thỏa mãnx=3 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm {2;3}

Bài tập

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2-3x-1}=\sqrt{2x+3}$;

b) $\sqrt{4x^2-6x-6}=\sqrt{x^2-6}$;

c) $\sqrt{x+9}=2x-3$;

d) $\sqrt{-x^2+4x-2}=2-x$.

Trả lời:

a) $\sqrt{2x^2-3x-1}=\sqrt{2x+3}$(1)

Bình phương hai vế của (1) ta được: 2x2 – 3x – 1 = 2x + 3

⇔ 2x2 – 3x – 1 – 2x – 3 = 0

⇔ 2x2 – 5x – 4 = 0

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}\\ x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}\end{array}$

Thử lại ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (1).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}$ và $x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$.

b. 4x2−6x−6−−−−−−−−−−√=x2−6−−−−−√;

Bình phương hai vế ta được: 4x2−6x−6=x2−6 ⇔3x2−6x=0

⇔ [x=0 không thỏa mãnx=2 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm là {2}

d) $\sqrt{-x^2+4x-2}=2-x$ (4)

Trước hết ta giải bất phương trình: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.

Bình phương hai vế của (4) ta được: – x2 + 4x – 2 = (2 – x)2

⇔ – x2 + 4x – 2 = 4 – 4x + x2

⇔ 2x2 – 8x + 6 = 0

⇔ x2 – 4x + 3 = 0

$\iff [\begin{array}{c}x=3\\ x=1\end{array}$

Trong hai giá trị trên có giá trị x = 1 thỏa mãn x ≤ 2.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2-x}+2x=3$;

b) $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$.

Trả lời:

a. 2−x−−−−−√+2x=3⇔2−x−−−−−√=3−2x.

Ta có 3−2x≥0⇔x≤32

Bình phương hai vế ta được 2−x=4x2−12x+9⇔−4x2+11x−7=0

⇔ [x=1 thỏa mãnx=74 không thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm {1}

Bài tập 3: Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng và mép trên bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc 60° (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trả lời:

Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0). 

Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m). 

Khi đó quan sát Hình 33a ta thấy, AC = x, AB = x + 1, tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: AB2 = AC2 + BC2 

Suy ra: BC2 = AB2 – AC2 = (x + 1)2 – x2 = 2x + 1$\Rightarrow BC=\sqrt{2x+1}$(m).

Quan sát Hình 33b, ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m). 

Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC – 0,5.

Suy ra $GE=\sqrt{2x+1}-0,5$ (m)

Lại có tam giác DGE vuông tại G nên ta có: $\tan \widehat{DEG}=\frac{DG}{GE}$

Mà $\widehat{DEG}=60°$, DG = x, $GE=\sqrt{2x+1}-0,5$

Do đó: $\frac{x}{\sqrt{2x+1}-0,5}=\tan 60°=\sqrt{3}$

Suy ra: $x=\sqrt{3}\left(\sqrt{2x+1}-0,5\right)$

$\iff x=\sqrt{3\left(2x+1\right)}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sqrt{3\left(2x+1\right)}=x+\frac{\sqrt{3}}{2}$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta được: $3\left(2x+1\right)={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$\iff 6x+3=x^2+\sqrt{3}x+\frac{3}{4}$

$\iff x^2+\left(\sqrt{3}-6\right)x-\frac{9}{4}=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{6-\sqrt{3}+\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx 4,7\\ x=\frac{6-\sqrt{3}-\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx -0,5\end{array}$

Do x > 0 nên x ≈ 4,7 là giá trị thỏa mãn.

Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m. 

Bài tập 4: Một người đứng ở điểm A trên bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800 m như Hình 34. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10 km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.

Trả lời:

Đổi 300 m=0,3 km, 800 m=0,8 km; 7,2 phút=0,12(h)

Gọi khoảng cách từ C đến D là x (km) (0<x<0,8)

Khi đó, DB=0,8−x (km)

Theo định lý Py-ta-go ta có: AD=AC2+CD2−−−−−−−−−−√=0,32+x2−−−−−−−−√( km)

Thời gian đi từ A đến D là: 0,32+x2√6(h)

Thời gian đi từ D đến B là: 0,8−x10(h)

Theo bài ra ta có phương trình:0,32+x2√6+0,8−x10=0,12

⇔0,32+x2−−−−−−−−√.5+(0,8−x).3=3,6

⇔5.0,32+x2−−−−−−−−√=3x+1,2

Ta có 3x+1,2≥0⇔x≥−0,4 (luôn đúng)

Bình phương hai vế ta được 25.(0,32+x2)=9x2+7,2x+1,44

⇔16x2−7,2x+0,81=0

⇔x=0,225

Vậy khoảng cách từ C đến D là 225 m.

Bài tập 5: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 4 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km/h như Hình 35. Tính khoảng cách từ vị trí B đến M, biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút.

Trả lời: