Giải SGK Toán 10 Cánh Diều Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Câu hỏi khởi động: Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để do khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,…) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau:

Từ vị trí A, đo góc nghiêng α so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng β so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18). Bằng cách giải tam giác BAC, họ tính được khoảng cách AC. 

Giải tam giác được hiểu như thế nào? 

Trả lời:

I. Giải tam giác

Hoạt động 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, $\hat{A}=\alpha$. Viết công thức tính BC theo b, c, α.

Trả lời:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: 

BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cos A = c2 + b2 – 2.b.c.cosα

$\Rightarrow BC=\sqrt{c^2+b^2-2bc\cos \alpha }$

Hoạt động 2: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Viết công thức tính cos A theo a, b, c.

Trả lời:

Hoạt động 3: Cho tam giác ABC có BC = a, $\hat{B}=\alpha ,\hat{C}=\beta$. Viết công thức tính AB và AC theo a, α, β.

Trả lời:

Tam giác ABC có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ $\Rightarrow \hat{A}=180°-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)$

$\Rightarrow \hat{A}=180°-\left(\alpha +\beta \right)$

⇒ sinA = sin(180° – (α + β)) = sin(α + β).

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

Suy ra: $AB=\frac{BC\sin C}{\sin A}=\frac{a.\sin \beta }{\sin \left(\alpha +\beta \right)}$ và $AC=\frac{BC\sin B}{\sin A}=\frac{a.\sin \alpha }{\sin \left(\alpha +\beta \right)}$.

II. Tính diện tích tam giác

Hoạt động 4: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH.

a) Tính BH theo c và sin A. 

b) Tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, và sin A. 

Trả lời:

a) Xét các trường hợp:        

+ Với $\hat{A}<90°$

Xét tam giác vuông AHB, ta có: BH = AB . sin A = c sin A. 

+ Với $\hat{A}=90°$

Khi đó, BH = BA = c = c sin A. 

+ Với $\hat{A}>90°$

Xét tam giác AHB vuông, ta có: ${\mathrm{BAH^\backslash widehat\{BAH\}BAH}}^{}=180°-\hat{A}$.

Do đó BH = AB . sin(180° – $\hat{A}$) = AB . sin A = c sin A. 

Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có BH = c sin A. 

b) Ta có: 

$S=\frac{1}{2}AC.BH=\frac{1}{2}bc\sin A$

Luyện tập, vận dụng 1: Cho tam giác ABC có AB = 12; $\hat{B}=60°;\hat{C}=45°$. Tính diện tích của tam giác ABC.

Trả lời:

Ta có: Aˆ=180∘−Bˆ−Cˆ=75∘

Áp dụng định lí sin: ABsinC=ACsinB ⇒AC=AB⋅sinBsinC=66–√

Diện tích tam giác ABC là: S=12⋅AB⋅AC⋅sinA≈85,2

Hoạt động 5: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24).

a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng: 

$\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$, ở đó $p=\frac{a+b+c}{2}$. 

b) Bằng cách sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}bc\sin A$, hãy chứng tỏ rằng: 

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

Trả lời:

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: 

BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cos A

$\Rightarrow \cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ (1)

Ta lại có: sin2 A + cos2 A = 1 

Do đó: sin2 A = 1 – cos2 A

Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° <$\hat{A}$ < 180° nên sin A > 0. 

Nên $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$(2)

Từ (1) và (2) ta có: 

$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$ $=\sqrt{\frac{{\left(2bc\right)}^2}{{\left(2bc\right)}^2}-\frac{{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{{\left(2bc\right)}^2}}$

$=\sqrt{\frac{{\left(2bc\right)}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{{\left(2bc\right)}^2}}$$=\sqrt{\frac{\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)}{{\left(2bc\right)}^2}}$

$=\frac{\sqrt{\left({\left(b+c\right)}^2-a^2\right)\left(a^2-{\left(b-c\right)}^2\right)}}{2bc}$$=\frac{\sqrt{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)}}{2bc}$

$=\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-2a\right)\left(a+b+c-2c\right)\left(a+b+c-2b\right)}}{2bc}$

Lại có $p=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow a+b+c=2p$

Khi đó: $\sin A=\frac{\sqrt{2p.\left(2p-2a\right)\left(2p-2b\right)\left(2p-2c\right)}}{2bc}$ $=\frac{\sqrt{16p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{2bc}$

Vậy $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$. 

III. Áp dụng vào bài toán thực tiễn

Luyện tập, vận dụng 2: Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là 34°, góc lệch giữa phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là 24°. Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trả lời:

- Trường hợp 1: Cây cao hơn tòa nhà

Áp dụng định lí sin: BCsinβ=ACsin(90∘−β)

⇒BCsin24∘=30sin66∘

⇒BC≈13,4 (m)

Vậy chiều cao của cây là: BD=BC+CD=18,5+13,4=31,9 (m)

- Trường hợp 2: Tòa nhà cao hơn cây

Áp dụng định lí sin: BCsinβ=ACsin(90∘−β)

⇒BCsin24∘=30sin66∘

⇒BC≈13,4 (m)

Vậy chiều cao của cây là: BD=DC−BC=18,5−13,4=5,1 (m)

Bài tập

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, $\hat{C}=120°$. Tính:

a) Độ dài cạnh AB;

b) Số đo các góc A, B; 

c) Diện tích tam giác ABC.

Trả lời:

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7,$\hat{A}=120°$. Tính độ dài cạnh AC.

Trả lời:

Cách 1: áp dụng định lí sin và côsin 

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin C=\frac{AB.\sin A}{BC}=\frac{5.\sin 120°}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$.

Do đó: $\hat{C}\approx \mathrm{38,2}°$. 

Lại có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{B}=180°-\left(\hat{A}+\hat{C}\right)=180°-\left(120°+\mathrm{38,2}°\right)=\mathrm{21,8}°$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: 

AC2 = AB2 + BC2 – 2 . AB . AC . cos B = 52 + 72 – 2 . 5 . 7 . cos 21,8° ≈ 9

⇒ AC ≈ 3.

Cách 2: Dựng thêm đường cao và sử dụng định lí Pythagore. 

Dựng đường cao CH của tam giác ABC. 

Đặt AH = x. 

Ta có: ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}+{\mathrm{CAH^\backslash widehat\{CAH\}CAH}}^{}=180°$( kề bù). 

$\Rightarrow \widehat{CAH}=180°-{\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=180°-120°=60°$. 

Tam giác ACH vuông tại H nên 

$cos{\mathrm{CAH^\backslash widehat\{CAH\}CAH}}^{}=\frac{AH}{CA}\Rightarrow CA=\frac{AH}{cos\widehat{CAH}}=\frac{x}{cos60°}=\frac{x}{\frac{1}{2}}=2x$.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: $CH=x\sqrt{3}$. 

Và BC2 = BH2 + CH2 = (BA + AH)2 + CH2 

Thay số: 72 = (5 + x)2 + 3x2 (1)

Giải phương trình (1) ta được x = 1,5 là giá trị thỏa mãn. 

Suy ra AC = 2x = 2 . 1,5 = 3. 

Bài tập 3: Cho tam giác ABC có AB = 100, $\hat{B}=100°$; $\hat{C}=45°$. Tính:

a) Độ dài các cạnh AC, BC; 

b) Diện tích tam giác ABC. 

Trả lời:

a. Ta có: Aˆ=180∘−Bˆ−Cˆ=35∘

Áp dụng định lí sin: ABsinC=ACsinB=BCsinA

• AC=ABsinC⋅sinB

⇒AC=100sin45∘⋅sin100∘≈139,3

• BC=ABsinC⋅sinA

⇒BC=100sin45∘⋅sin35∘≈81,1

b. Diện tích tam giác ABC là:

S=12⋅AB⋅AC⋅sinA=12⋅100⋅139,3⋅sin35∘≈3995

Bài tập 4: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:

a) Số đo các góc A, B, C; 

b) Diện tích tam giác ABC. 

Trả lời:

Bài tập 5: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Trả lời:

* Hình 29: Góc B nhọn. 

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{AC.\sin A}{BC}=\frac{5,2.\sin 40°}{3,6}\approx 0,93$.

Do đó: $\hat{B}\approx 68°$. 

Lại có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{C}=180°-\left(\hat{A}+\hat{B}\right)=180°-\left(40°+68°\right)=72°$. 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: 

AB2 = AC2 + BC2 – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)2 + (3,6)2 – 2 . 5,2 . 3,6 . cos 72° ≈ 28,43

⇒ AB ≈ 5,33 (m). 

* Hình 30: Góc B tù. 

Khi đó: $\hat{B}=180°-68°=112°$. 

Ta tính được:$\hat{C}=28°$. 

Do đó: 

AB2 = AC2 + BC2 – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)2 + (3,6)2 – 2 . 5,2 . 3,6 . cos 28° ≈ 6,94

⇒ AB ≈ 2,63 (m). 

Bài tập 6: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và ${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}=105°$ (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Trả lời:

AC = 1 km = 1000 m.

Áp dụng định lí cosin: AB2=AC2+BC2−2⋅AC⋅BC⋅cosC

⇒AB2=10002+8002−2⋅1000⋅800⋅cos105∘

⇒AB=10002+8002−2⋅1000⋅800⋅cos105∘−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

⇒AB≈1433,2

Vậy khoảng cách AB là 1433,2 m.

Bài tập 7: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 45° và 75°. Biết khoảng cách giữa hai bị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trả lời: