Giải SGK Toán 10 Cánh Diều Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Giải SGK Toán 10 - Cánh Diều

I. Tổng của hai vectơ

Hoạt động 1: Một vật dịch chuyển từ A đến B và tiếp tục dịch chuyển từ B đến C (Hình 49).

Hoạt động 1 trang 83 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

a) Biểu diễn vectơ dịch chuyển của vật từ A đến B và từ B đến C.

b) Xác định vectơ dịch chuyển tổng hợp của vật.

Trả lời:

a) Vật dịch chuyển từ A đến B theo vectơ $\vec{A B}$ , vật dịch chuyển từ B đến C theo vectơ $\vec{B C}$ .

b) Vật di chuyển từ A đến B và từ B đến C, nghĩa là điểm đầu đường đi của vật là A và điểm cuối đường đi là C, do đó vectơ dịch chuyển tổng hợp của vật là vectơ $\vec{A C}$ .

Hoạt động 2: Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ . Lấy một điểm A tùy ý.

a) Vẽ $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ (Hình 50).

b) Tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng vectơ nào?

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh $\vec{P B} + \vec{M C} = \vec{A N}$ .

Trả lời:

PB
→
+MC−→
=AP→
+PN−→−=AN
→
(đpcm).

Hoạt động 3: Cho ABCD là hình bình hành (Hình 52). So sánh:

a) Hai vectơ $\vec{A D}$ và $\vec{B C}$ .

b) Vectơ tổng $\vec{A B} + \vec{A D}$ và vectơ $\vec{A C}$ .

Hoạt động 3 trang 84 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

Trả lời:

a) Ta có ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Suy ra: $\vec{A D}$ = $\vec{B C}$ .

Vậy $\vec{A D}$ = $\vec{B C}$ .

b) Ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Vậy $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

Luyện tập, vận dụng 2: Hãy giải thích hướng đi của thuyền ở Hình 48.

Trả lời:

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Trên Hình 48 ta có: hai người đi dọc hai bên bờ sông và cùng kéo một con thuyền với hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ . Hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ tạo nên hợp lực $\vec{F}$ là tổng của hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ , làm thuyền chuyển động theo hướng của vectơ $\vec{F}$ .

Luyện tập, vận dụng 3: Cho hình bình hành ABCD và điểm E bất kì. Chứng minh $\vec{A B} + \vec{C E} + \vec{A D} = \vec{A E}$ .

Trả lời:

II. Hiệu của hai vectơ

Hoạt động 4: Trong Hình 54, hai ròng rọc có trục quay nằm ngang và song song với nhau, hai vật có trọng lượng bằng nhau. Mỗi dây có một đầu buộc vào vật, một đầu buộc vào một mảnh nhựa cứng. Hai vật lần lượt tác động lên mảnh nhựa các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ . Nhận xét về hướng và độ dài của mỗi cặp vectơ sau:

a) $\vec{P_{1}}$ và $\vec{P_{2}}$ biểu diễn trọng lực của hai vật;

b) $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

(Bỏ qua trọng lượng của các dây và các lực ma sát)

Hoạt động 4 trang 85 Toán 10 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 10

Trả lời:

a) Quan sát Hình 54 ta thấy, hai vectơ $\vec{P_{1}}$ và $\vec{P_{2}}$ có cùng hướng và độ dài.

b) Hai vectơ $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ ngược hướng và cùng độ dài.

Hoạt động 5: Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ . Lấy một điểm M tùy ý.

a) Vẽ $\vec{M A} = \vec{a}, \vec{M B} = \vec{b}, \vec{M C} = - \vec{b}$ (Hình 56).

b) Tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $(- \vec{b})$ bằng vectơ nào?

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 4: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AC, N là trung điểm của BC và AB = a. Tính độ dài vectơ $\vec{C M} - \vec{N B}$ .

Trả lời:

Bài tập

Bài tập 1: Cho ba điểm M, N, P. Vectơ $\vec{u} = \vec{N P} + \vec{M N}$ bằng vectơ nào sau đây?

A. $\vec{P N}$ ;

B. $\vec{P M}$ ;

C. $\vec{M P}$ ;

D. $\vec{N M}$ .

Đáp án: C.

Giải thích: Với ba điểm M, N, P bất kì ta có: $\vec{u} = \vec{N P} + \vec{M N} = \vec{M N} + \vec{N P} = \vec{M P}$ .

Bài tập 2: Cho ba điểm D, E, G. Vectơ $\vec{v} = \vec{D E} + (- \vec{D G})$ bằng vectơ nào sau đây?

A. $\vec{E G}$ ;

B. $\vec{G E}$ ;

C. $\vec{G D}$ ;

D. $\vec{E D}$ .

Đáp án: B

Giải thích:

Bài tập 3: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh:

a) $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A D} + \vec{C B}$ ;

b) $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{B C} + \vec{D A} = \vec{0}$ .

Trả lời:

a. AB−→−+CD−→−=AC−→−+CB−→−+CD−→−=AC−→−+CD−→−+CB−→−=AD−→−+CB−→− (đpcm).

b. AB−→−+CD−→−=AD−→−+CB−→−

⇒AB−→−+CD−→−−AD−→−−CB−→−=0→

⇒AB−→−+CD−→−+DA−→−+BC−→−=0→

⇒AB−→−+BC−→−+CD−→−+DA−→−=0→

Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $|\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}|$ ;

b) $\vec{A B} + \vec{B D} = \vec{C B}$ ;

c) $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C} + \vec{O D}$ .

Trả lời:

Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Các khẳng định

+ Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Do đó: $|\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}|$ . Vậy khẳng định a) đúng.

+ Ta có: $\vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A D}$

Mà $\vec{A D} = \vec{B C}$ (do ABCD là hình bình hành)

Do đó: $\vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A D} = \vec{B C} = - \vec{C B}$ .

Vậy khẳng định b) sai.

+ Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Khi đó ta có: $\vec{O A} = \vec{C O}; \vec{O D} = \vec{B O}$

Do đó: $\{\begin{cases} \vec{O A} + \vec{O B} = \vec{C O} + \vec{O B} = \vec{C B} = - \vec{B C} \\ \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{O C} + \vec{B O} = \vec{B O} + \vec{O C} = \vec{B C} \end{cases}$

Suy ra: $\vec{O A} + \vec{O B} = - (\vec{O C} + \vec{O D})$ .

Vậy khẳng định c) sai.

Bài tập 5: Cho đường tròn tâm O. Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ đối nhau.

Trả lời:

Bài tập 6: Cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh $\vec{M B} - \vec{M A} = \vec{M C} - \vec{M D}$ với mọi điểm M trong mặt phẳng.

Trả lời:

Ta có: MB−→−−MA−→−=AB−→− và MC−→−−MD−→−=DC−→−

Mặt khác: AB−→−=DC−→− ⇒ đpcm.

Bài tập 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) $\vec{D A} + \vec{D C}$ ;

b) $\vec{A B} - \vec{A D}$ ;

c) $\vec{O A} + \vec{O B}$ với O là giao điểm của AC và BD.

Trả lời:

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài của các vectơ sau

Bài tập 8: Cho ba lực $\vec{F_{1}} = \vec{O A}, \vec{F_{2}} = \vec{O B}$ và $\vec{F_{3}} = \vec{O C}$ cùng tác động vào một vật tại điểm O và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ đều là 120 N và $\hat{A O B} = 120 °$ . Tìm cường độ và hướng của lực $\vec{F_{3}}$ .

Trả lời:

Giải bài 4 Tổng và hiệu của hai vectơ

a. Để O đứng yên ⇔F1−→+F2−→+F3−→=0→ ⇔F1−→+F2−→=−F3−→

⇒F3−→ ngược hướng với hợp lực của F1−→ và F2−→

b. Xét hình thoi OADB có AOBˆ=120∘⇒OADˆ=AODˆ=60∘⇒ Tam giác OAD đều ⇒OA=OD=120

⇒|F3−→|=|OD−→−|=|OA−→−|=120.

Bài tập 9: Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 km/h. Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc 40 km/h so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Trả lời: