Giải SGK Toán 10 Cánh Diều Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Câu hỏi khởi động: Cầu cảng Sydney là một trong những hình ảnh biểu tượng của thành phố Sydney và nước Australia.

Độ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney có thể biểu thị theo độ dài  x (m) tính từ chân cầu bên trái dọc theo đường nối với chân cầu bên phải như sau (Hình 10): 

y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118.

Hàm số y =  – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 có gì đặc biệt? 

Trả lời:

- Hàm số có đồ thị là một hình parabol, bề lõm quay xuống dưới.

- Hình ảnh hình học có tính đối xứng.

I. Hàm số bậc hai

Hoạt động 1: Cho hàm số y =   – 0,00188(x – 251,5)2 + 118

a) Viết công thức xác định hàm số trên về dạng đa thức theo lũy thừa với số mũ giảm dần của x. 

b) Bậc của đa thức trên bằng bao nhiêu?

c) Xác định hệ số của x2, hệ số của x và hệ số tự do. 

Trả lời:

a) Ta có: y =  – 0,00188(x – 251,5)2 + 118

⇔ y = – 0,00188(x2 – 503x + 63252,25) + 118

⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 118,91423 + 118 

⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423

Vậy công thức hàm số được viết về dạng đa thức theo lũy thừa giảm dần của x là 

y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423. 

b) Đa thức – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423 có bậc là 2. (bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức)

c) Trong đa thức trên, ta có:

+ Hệ số của x2 là: –0,00188

+ Hệ số của x là: 0,94564

+ Hệ số do là: – 0,91423. 

Luyện tập, vận dụng 1: Cho hai ví dụ về hàm số bậc hai.

Trả lời:

• y=2x2+x−5
• y=x2−x+1

II. Đồ thị hàm số bậc hai

Hoạt động 2: Cho hàm số y = x2 + 2x – 3

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau: 

b) Vẽ các điểm A(– 3; 0), B(– 2; – 3), C(– 1; – 4), D(0; – 3), E(1; 0) của đồ thị hàm số y = x2 + 2x – 3 trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 

c) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm A, B, C, D, E. Đường cong đó là đường parabol và cũng chính là đồ thị hàm số y = x2 + 2x – 3 (Hình 11). 

d) Cho biết tọa độ của điểm thấp nhất và phương trình trục đối xứng của parabol đó. Đồ thị hàm số đó quay bề lõm lên trên hay xuống dưới?

Trả lời:

a) Ta có: y = x2 + 2x – 3.

Với x = – 3 thì y = (– 3)2 + 2 . (– 3) – 3 = 0.

Với x = – 2 thì y = (– 2)2 + 2 . (– 2) – 3 = – 3.

Với x = – 1 thì y = (– 1)2 + 2 . (– 1) – 3 = – 4.

Với x = 0 thì y = 02 + 2 . 0 – 3 = – 3.

Với x = 1 thì y = 12 + 2 . 1 – 3 = 0.

Vậy ta hoàn thành bảng như sau: 

b) Ta vẽ các điểm lên mặt phẳng tọa độ như sau: 

c) Đường cong cần vẽ có dạng:

d) Tọa độ điểm thấp nhất của parabol trên là (– 1; – 4). 

Phương trình trục đối xứng của parabol là: x = – 1. 

Đồ thị hàm số trên quay bề lõm hướng lên trên. 

Hoạt động 3: Cho hàm số y = – x2 + 2x + 3.

a) Tìm tọa độ 5 điểm thuộc đồ thị hàm số trên có hoành độ lần lượt là – 1, 0, 1, 2, 3 rồi vẽ chúng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 

b) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm trên. Đường cong đó cũng là đường parabol và là đồ thị của hàm số y = – x2 + 2x + 3 (Hình 12). 

c) Cho biết tọa độ của điểm cao nhất và phương trình trục đối xứng của parabol đó. Đồ thị hàm số đó quay bề lõm lên trên hay xuống dưới? 

Trả lời:

a)

x=-1 => y=0

x=0 => y=3

x=1=> y= 4

x=2 => y=3

x=3 => y=0

lần lượt là: A(-1;0), B(0;3), I(1;4), C(2;3), D(3;0)

b) Vẽ đồ thị:

c) Điểm cao nhất là điểm I(1;4)

Phương trình trục đối xứng là đường thẳng x=1.

Đồ thị hàm số đó quay bề lõm xuống dưới.

Luyện tập, vận dụng 2: Vẽ đồ thị mỗi hàm số bậc hai sau:

a) y = x2 – 4x – 3;

b) y = x2 + 2x + 1;

c) y = – x2 – 2.

Trả lời:

 a. y=x2−4x−3

Ta có: Δ=(−4)2−4.1.(−3)=28.

• + Toạ độ đỉnh I(2;−7).
• + Trục đối xứng x=2.
• + Giao điểm của parabol với trục tung là A(0;−3).
• + Giao điểm của parabol với trục hoành là B(2−7–√;0) và C(2+7–√;0).
• + Điểm đối xứng với điểm A(0;−3) qua trục đối xứng x=2 là D(4;−3).
• - Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y=x2−4x−3 như hình.

b. y=x2+2x+1

Ta có: Δ=22−4.1.1=0.

+ Toạ độ đỉnh I(−1;0).

+ Trục đối xứng x=−1.

+ Giao điểm của parabol với trục tung là A(0;1).

+ Điểm đối xứng với điểm A(0;1) qua trục đối xứng x=−1 là B(−2;1).

- Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số như hình.

c. y=−x2−2

Ta có: Δ=02−4.(−1).(−2)=−8.

+ Toạ độ đỉnh I(0;−2).

+ Trục đối xứng x=0.

+ Lấy điểm A(1;−3) thuộc đồ thị hảm số, điểm đối xứng với điểm A(1;−3) qua trục đối xứng là B(−1;−3).

- Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số như hình.

Hoạt động 4:

a) Quan sát đồ thị hàm số bậc hai y = x2 + 2x – 3 trong Hình 11. Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số và lập bảng biến thiên của hàm số đó. 

b) Quan sát đồ thị hàm số bậc hai y = – x2 + 2x + 3 trong Hình 12. Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số và lập bảng biến thiên của hàm số đó. 

Trả lời:

a) Quan sát Hình 11.

+ Đồ thị hàm số y = x2 + 2x – 3 đi xuống trong khoảng (– ∞; – 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 1).

+ Đồ thị hàm số trên đi lên trong khoảng (– 1; + ∞) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– 1; + ∞). 

Ta có bảng biến thiên 

b) Quan sát Hình 12. 

+ Đồ thị hàm số y = – x2 + 2x + 3 đi lên trong khoảng (– ∞; 1) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1).

+ Đồ thị hàm số trên đi xuống trong khoảng (1; + ∞) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; + ∞). 

Ta có bảng biến thiên 

Luyện tập, vận dụng 3: Lập bảng biến thiên của mỗi hàm số sau:

a) y = x2 – 3x + 4;

b) y = – 2x2 + 5.

Trả lời::

3. Ứng dụng

Luyện tập, vận dụng 4: Trong bài toán ở phần mở đầu, độ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trả lời:

Hàm số biểu diễn đồ thị y=−0,00188(x−251,5)2+118

Ta có: (x−251,5)2≥0

⇔−0,00188(x−251,5)2≤0

⇔−0,00188(x−251,5)2+118≤118

Vậy ymax=118 (m).

Bài tập

Bài tập 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định a, b, c lần lượt là hệ số của x2, hệ số của x và hệ số tự do.

a) y = – 3x2; 

b) y = 2x(x2 – 6x + 1); 

c) y = 4x(2x – 5).

Trả lời:

a) y = – 3x2 là hàm số bậc hai với a = – 3, b = 0 và c = 0. 

b) y = 2x(x2 – 6x + 1) 

⇔ y = 2x4 – 12x2 + 2x 

Hàm số này không phải là hàm số bậc hai (do bậc của đa thức là 4). 

c) y = 4x(2x – 5) 

⇔ y = 8x2 – 20x

Hàm số này là hàm số bậc hai với hệ số a = 8, b = – 20 và c = 0. 

Bài tập 2: Xác định parabol y = ax2 + bx + 4 trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm M(1; 12) và N(– 3; 4); 

b) Có đỉnh là I(– 3; – 5).

Trả lời:

a. Parabol y=ax2+bx+4 đi qua điểm M(1;12) và N(−3;4) nên ta có:

{a.12+b.1+4=12a.(−3)2+b.(−3)+4=4 

⇔ {a=2b=6 

Vậy parabol là y=2x2+6x+4

b. Ta có: −b2a=−3⇔b=6a (1)

Thay tọa độ I(−3;−5) vào y=ax2+bx+4 ta được:

a.(−3)2+b.(−3)+4=−5

⇔ 3a−b=−3 (2)

Từ (1) và (2) ta được: {b=6a3a−b=−3 

⇔ {b=6a=1 

Vậy parabol là y=x2+6x+4.

Bài tập 3: Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = 2x2 – 6x + 4; 

b) y = – 3x2 – 6x – 3.  

Trả lời:

a) y = 2x2 – 6x + 4

Ta có: a = 2, b = – 6, c = 4, ∆ = (– 6)2 – 4 . 2 . 4 = 4. 

- Tọa độ đỉnh $I\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$.

- Trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$.

- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; 4). 

- Giao điểm của parabol với trục hoành là B(1; 0) và C(2; 0). 

- Điểm đối xứng với điểm A(0; 4) qua trục đối xứng là D(3; 4). 

- Do a > 0 nên đồ thị có bề lõm hướng lên trên. 

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = 2x2 – 6x + 4 như hình vẽ dưới. 

b) y = – 3x2 – 6x – 3 

Ta có: a = – 3, b = – 6, c = – 3, ∆ = (– 6)2 – 4 . (– 3) . (– 3) = 0.

- Tọa độ đỉnh I(– 1; 0).

- Trục đối xứng x = – 1.

- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; – 3). 

- Giao điểm của parabol với trục hoành chính là đỉnh I.

- Điểm đối xứng của A(0; – 3) qua trục đối xứng x = – 1 là điểm B(– 2; – 3). 

- Do a < 0 nên bề lõm của đồ thị hướng xuống. 

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = – 3x2 – 6x – 3 như hình dưới. 

Bài tập 4: Cho đồ thị hàm số bậc hai ở Hình 15.

a) Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số.

b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số. 

c) Tìm công thức xác định hàm số. 

Trả lời:

Bài tập 5: Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:

a) y = 5x2 + 4x – 1;

b) y = – 2x2 + 8x + 6.

Trả lời:

a) y = 5x2 + 4x – 1

Ta có: a = 5 > 0, b = 4, $-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2.5}=-\frac{2}{5}$.

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{2}{5}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{2}{5};+\infty \right)$.

b) y = – 2x2 + 8x + 6

Ta có: a = – 2 < 0, b = 8, $-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2.\left(-2\right)}=2$.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– ∞ ; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; + ∞).

Bài tập 6: Khi du lịch đến thành phố St.Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng có vị trí tọa độ (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Trả lời:

Gọi hàm số là y=ax2+bx+c (a≠0)

Ta có (0;0), (10;43), (162;0) thuộc đồ thị hàm số nên

⎧⎩⎨⎪⎪a.02+b.0+c=0a.102+b.10+c=43a.1622+b.162+c=0

⇔⎧⎩⎨⎪⎪c=0100a+10b=431622a+162b=0

⇔⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a=−431520b=3483760c=0

⇒ y=−431520x2+3483760x

Đỉnh của đồ thị có tung độ là: y=−Δ4a≈186( m)

Vậy chiều cao của cổng là 186m.