Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức Bài 1: Mệnh đề

Mở đầu: Có bao nhiêu con vật xuất hiện trong hình vẽ?

Trả lời:

- Có 6 con vật trong hình vẽ, bao gồm: con voi, con khỉ, con ngựa, con chó, con mèo, con chuột.

=> Do đó câu trả lời của bạn An là sai, câu trả lời của bạn Khoa là đúng.

1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

Hoạt động 1: Trong các câu ở tình huống mở đầu:

a. Câu nào đúng?

b. Câu nào sai?

c. Câu nào không xác định được tính đúng sai?

Trả lời:

a. Câu đúng: “Có 6 con vật xuất hiện trong hình vẽ.”

b. Câu sai: : “Có 5 con vật xuất hiện trong hình vẽ.”

c. Câu không xác định được tính đúng sai: “Có bao nhiêu con vật xuất hiện trong hình vẽ”.

Luyện tập 1: Thay dấu “?” bằng dấu “✓” vào ô thích hợp trong bảng sau:

Trả lời:

“13 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.

“Tổng độ dài hai cạnh bất kì của một tam giác nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.” là mệnh đề sai.

(Giải thích: Vì theo bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác bất kỳ, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.)

“Bạn đã làm bài tập chưa?”: không phải mệnh đề.

(Giải thích: Đây là câu hỏi, không xác định được tính đúng sai.)

“Thời tiết hôm nay thật đẹp!”: không phải mệnh đề.

(Giải thích: Đây là câu cảm thán, không xác định được tính đúng sai.)

Câu hỏi: Xét câu “x > 5”. Hãy tìm hai giá trị thực của x để từ câu đã cho, ta nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

Trả lời:

+) Với x = 4 ta có mệnh đề “4 > 5” là một mệnh đề sai.

+) Với x = 7 ta có mệnh đề “7 > 5” là một mệnh đề đúng.

2. Mệnh đề phủ định

Hoạt động 2: Quan sát biển báo trong hình bên.

Khoa nói: “Đây là biển báo đường dành cho người đi bộ”.

An không đồng ý với ý kiến của Khoa.

Hãy phát biểu ý kiến của An dưới dạng một mệnh đề.

Trả lời:

An: “Đây không phải là biển báo đường dành cho người đi bộ”

Luyện tập 2: Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

P: “2 022 chia hết cho 5”;

Q: “Bất phương trình 2x + 1 > 0 có nghiệm”.

Trả lời:

- Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là:

$\overline{P}$: “2 022 không chia hết cho 5”.

Số 2 022 có chữ số tận cùng là 2 nên 2 022 không chia hết cho 5. Do đó mệnh đề $\overline{P}$ là đúng.

- Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là:

$\overline{Q}$: “Bất phương trình 2x + 1 > 0 vô nghiệm”

Ta có: 2x + 1 > 0

⇔ 2x > – 1

$\iff x>-\frac{1}{2}$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x>-\frac{1}{2}$.

Do đó mệnh đề $\overline{Q}$ là mệnh đề sai.

Vận dụng: Cho mệnh đề Q: “Châu Á là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới”. Phát biểu mệnh đề $\overline{Q}$ và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề Q và $\overline{Q}$.

Trả lời:

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo

Hoạt động 3: Cặp từ quan hệ nào sau đây phù hợp với vị trí bị che khuất trong câu ghép ở hình bên

A. Nếu … thì …

B. Tuy … nhưng …

Trả lời:

Cặp từ phù hợp điền vào vị trí bị che khuất là:

Nếu sử dụng rượu bia khi tham gia giao thông thì có thể bị xử phạt hành chính hoặc xử lí hình sự tùy theo mức độ vi phạm.

Chọn A.

Hoạt động 4: Cho hai câu sau:

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A”;

Q: “Tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2”.

Hãy phát biểu câu ghép có dạng “Nếu P thì Q”.

Trả lời:

- Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2.

Hoạt động 5: Xét hai câu sau:

P: “Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt”;

Q: “Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có biệt thức Δ = b2 – 4ac > 0”;

a) Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q.

b) Hãy phát biểu mệnh đề Q ⇒ P.

Trả lời:

Luyện tập 3: Cho các mệnh đề P: “a và b chia hết cho c”;

Q: “a + b chia hết cho c”.

a) Hãy phát biểu định lý P ⇒ Q. Nêu giả thiết và kết luận của định lí và phát biểu định lí dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q rồi xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này.

Trả lời:

a) Định lí P ⇒ Q được phát biểu như sau:

"Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c."

Giả thiết của định lí là: a và b chia hết cho c;

Kết luận của định lí là: a + b chia hết cho c.

Định lý P ⇒ Q được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ là:

+) “a và b chia hết cho c là điều kiện đủ để có a + b chia hết cho c.”

+) “a + b chia hết cho c là điều kiện đủ để có a và b chia hết cho c.”

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau:

“Nếu a + b chia hết cho c thì a và b chia hết cho c.”

Ví dụ:  a = 10, b = 2, c = 3

Ta có: a + b = 10 + 2 = 12 chia hết cho 3 nhưng a = 10 không chia hết cho 3 và b = 2 cũng không chia hết cho 3. Do đó mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề sai.

4. Mệnh đề tương đương

Hoạt động 6: Hãy xác định tính đúng sai của mệnh đề sau:

“Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 và ngược lại”.

Trả lời:

- Mệnh đề đúng.

Luyện tập 4: Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2.

Trả lời:

5. Mệnh đề có chưa ký hiệu ∀, ∃

Câu hỏi: Em hãy xác định tính đúng sai của hai mệnh đề trên.

P: “∀x ∈ ℝ, x2 ≥ 0”;

Q: “∃x ∈ ℚ, x2 = 2”.

Trả lời:

+) Mệnh đề P: “∀x ∈ ℝ, x2 ≥ 0”.

Do mọi số thực đều có bình phương không âm nên mệnh đề P là mệnh đề đúng.

+) Mệnh đề Q: “∃x ∈ ℚ, x2 = 2”.

- Ta có: x2 = 2

$\iff [\begin{array}{c}x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2}\end{array}$

Mà $-\sqrt{2},\sqrt{2}$ ∉ ℚ

Do đó mệnh đề Q là mệnh đề sai.

Luyện tập 5: Phát biểu bằng lời mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

∀x ∈ ℝ, x2 + 1 ≤ 0.

Trả lời:

Mệnh đề: “Với mọi số thực x thì tổng x2 với 1 nhỏ hơn hoặc bằng 0”

Mệnh đề sai.

Luyện tập 6: Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: “Mọi số thực đều có bình phương khác 1”.

Mai phát biểu: “Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1”.

a) Hãy cho biết phát biểu của bạn nào đúng.

b) Dùng kí hiệu ∀,∃ để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới dạng mệnh đề.

Trả lời:

Bài tập

Bài 1.1: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;

b) Bạn học trường nào?

c) Không được làm việc riêng trong giờ học;

d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.

Trả lời:

a) “Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới” là một mệnh đề vì có thể xác định được tính đúng sai của nó.

b) “Bạn học trường nào?” là một câu hỏi nên không xác định được tính đúng sai của nó. Do đó đây không là một mệnh đề.

c) “Không được làm việc riêng trong giờ học” là một câu không xác định được tính đúng sai. Do đó đây không là một mệnh đề.

d) “Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang” là một câu không xác định được tính đúng sai. Do đó đây không là một mệnh đề.

Bài 1.2: Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) $\pi >\frac{10}{3}$;

b) Phương trình 3x + 7 = 0 có nghiệm;

c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;

d) 2 022 là hợp số.

Trả lời:

- Mệnh đề sai: a

- Mệnh đề đúng: b, c, d.

Bài 1.3: Cho hai câu sau:

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông”;

Q: “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P ⇔ Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.

Trả lời:

Bài 1.4: Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng.

P: “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho 5”.

Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”.

Trả lời:

Mệnh đề đảo của của mệnh đề P là: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 5 thì n có chữ số tận cùng là 5”.

Với n = 10 chia hết cho 5 nhưng chữ số tận cùng của 10 là 0 (không phải là 5). Do đó mệnh đề đảo của mệnh đề P là sai.

Mệnh đề đảo của mệnh đề Q là: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật.”

Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc tứ giác đó là hình chữ nhật. Do đó mệnh đề đảo của mệnh đề Q là sai.

Bài 1.5: Với hai số thực a và b, xét các mệnh đề P: “a2 < b2” và Q: “0 < a < b”.

a) Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q.

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.

c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.

Trả lời:

a. P ⇒ Q: “Nếu a2 < b2 thì 0< a< b”

b. “Nếu 0< a< b thì a2 < b2”

c. Mệnh đề câu a sai, mệnh đề câu b đúng.

Bài 1.6: Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.

Q: “ ∃n ∈ ℕ, n chia hết cho n + 1”.

Trả lời:

Bài 1.7: Dùng kí hiệu ∀,∃ để viết các mệnh đề sau:

P: “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó”;

Q: “Có một số thực cộng với chính nó bằng 0”.

Trả lời:

Bằng cách dùng kí hiệu, các mệnh để P và Q được phát biểu như sau:

P: "∀n ∈ ℕ, n2 ≥ n";

Q: “∃x ∈ ℝ, x + x = 0”.