Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương II

A. Trắc nghiệm

Bài 2.7: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. x + y > 3;

B. x2 + y2 ≤ 4;

C. (x – y)(3x + y) ≥ 1;

D. y3 – 2 ≤ 0.

Đáp án: A

Giải thích:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát:  ax + by ≤ c (ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by > c) với a, b, c là các số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Khi đó trong các đáp án đã cho chỉ có đáp án A có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 1, b = 1 và c = 3.

Bài 2.8: Cho bất phương trình 2x + y > 3. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.

D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [3; +∞).

Đáp án: C

Giải thích:

2x + y > 3 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Mà bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm.

Do đó bất phương trình đã cho có vô số nghiệm

Bài 2.9: Hình nào dưới đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x – y < 3?

Đáp án: D

Giải thích:

Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình x – y < 3:

- Vẽ đường thẳng d: x – y – 3 = 0;

- Vì 0 – 0 = 0 < 3 nên điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x – y < 3

Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d chứa gốc tọa độ.

Bài 2.10: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $\{\begin{array}{c}x-y<0\\ 2y\ge 0\end{array};$

B. $\{\begin{array}{c}3x+y^3<0\\ x+y>3\end{array};$

C. $\{\begin{array}{c}x+2y<0\\ y^2+3<0\end{array};$

D. $\{\begin{array}{c}-x^3+y<4\\ x+2y<1\end{array};$

Đáp án: A

Giải thích: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn, khi đó chỉ có đáp án A là thỏa mãn là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2.11: Cho hệ bất phương trình $\{\begin{array}{c}x-y<-3\\ 2y\ge -4\end{array}.$ Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. (0;0);

B. (-2;1);

C. (3;-1);

D. (-3;1).

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: cặp số (0;0), (-2;1), (3;-1) không thỏa mãn bất phương trình x – y < -3.

Còn cặp số (-3;1) thỏa mãn cả hai bất phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.

B. Tự luận

Bài 2.12: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Trả lời:

Bất phương trình đã cho tương đương với: −x+5y≥2

Xét đường thẳng d: -x + 5y = 2

Miền nghiệm của phương trình là phần nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng d không chứa gốc tọa độ (phần không tô đậm), kể cả đường thẳng d.

Bài 2.13: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{c}x+y<1\\ 2x-y\ge 3\end{array}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Trả lời:

Xác định miền nghiệm D1 của bất phương trình x + y < 1 được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 1.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 0 + 0 = 0 < 1.

Do đó miền nghiệm D1 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (không kể đường thẳng d) chứa gốc tọa độ.

Xác định miền nghiệm D2 của bất phương trình 2x – y ≥ 3  được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d’: 2x – y = 3.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 2.0 – 0 = 0 < 3.

Do đó miền nghiệm D2 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d’ (kể cả đường thẳng d’) và không chứa gốc tọa độ.

Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch trong hình vẽ.

Bài 2.14: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ y\le 4\\ x\le 5\\ x+y\ge -1\end{array}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y) = - x – y với (x;y) thỏa mãn hệ trên.

Trả lời:

Bài 2.15: Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu: trái phiếu chính phủ với lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư lãi suất chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?

Trả lời:

Gọi số tiền bác An đầu tư cho trái phiếu chính phủ là x (triệu đồng), số tiền bác An đầu tư cho trái phiếu ngân hàng là y (triệu đồng).

Suy ra số tiền đầu tư cho trái phiếu doanh nghiệp là: 1200 – x – y (triệu đồng).

Ta có hệ bất phương trình sau:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪0≤x≤12000≤y≤1200x≥3y1200−(x+y)≤200

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền của tứ giác ABCD với A(750; 250), B(1200; 400), C(1200; 0) và D(1000; 0).

Số tiền lợi nhuận bác An thu được là F = 7%.x + 8%.y +12%[1200 – (x+y)]

Hay F = 144 – 0,05x – 0,04y

Thay các tọa độ của A, B, C, D lần lượt vào F ta được: giá trị lớn nhất là F(750; 250) = 96,5 (triệu đồng).

Vậy bác An nên đầu tư trái phiếu chính phủ 750 triệu đồng, trái phiếu ngân hàng 250 triệu đồng và trái phiếu doanh nghiệp là: 200 triệu đồng.

Bài 2.16: Một công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp 8 lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp 8 lần trên đài phát thanh.

Đài phát thanh chỉ nhận được quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây với chi phí là 80 nghìn đồng/giây. Đài truyền hình chỉ nhận được các quảng cáo có tổng thời lượng tối đa trong một tháng tối đa là 360 giây với chi phí là 400 nghìn đồng/giây. Công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Gợi ý: Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo x (giây) trên đài phát thanh và y (giây) trên truyền hình là F(x,y) = x + 8y. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm F(x,y) với x, y thỏa mãn các điều kiện trong đề bài.

Trả lời:

Gọi x (giây) là thời lượng quảng cáo trong một tháng công ty đặt trên đài truyền hình và y (giây) là thời lượng quảng cáo trong một tháng công ty đặt trên đài phát thanh. (0 ≤ x ≤ 360, 0 ≤ y ≤ 900).

Chi phí công ty chi trả cho quảng cáo trong một tháng là: 400x + 80y (nghìn đồng)

Vì công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới nên ta có:

400x + 80y ≤ 160 000 hay 5x + y ≤  2 000.

Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{c}0\le x\le 360\\ 0\le y\le 900\\ 5x+y\le 2000\end{array}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác OABCD với tọa độ các điểm là O(0;0), A(0;900), B(220;900), C(360;200), D(360;0).

Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo x (giây) trên đài phát thanh và y (giây) trên truyền hình là F(x,y) = x + 8y.

Tính giá trị F(x,y) tại các điểm O, A, B, C, D, ta có:

F(0;0) = 0 + 8.0 = 0;

F(0;900) = 0 + 8.900 = 7 200;

F(220;900) = 220 + 8.900 = 7 420;

F(360;200) = 360 + 8.200 = 1 960;

F(360;0) = 360 + 8.0 = 360;

Suy ra hàm F(x,y) đạt giá trị lớn nhất bằng 7 420 tại x = 220, y = 900.

Vậy công ty cần đặt thời gian quảng cáo 900 giây trên các đài phát thanh và 220 giây trên đài truyền hình để đạt hiệu quả cao nhất.