Mở đầu: Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1 – 6, một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả của một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:
Loại 1 (dành cho trẻ từ 6 – 13 tuổi): 50 000 đồng/vé;
Loại 2 (dành cho người trên 13 tuổi): 100 000 đồng/vé.
Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng. Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?
Trả lời:
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hoạt động 1: Trong tình huống mở đầu, gọi x là số vé loại 1 bán được và y là số vé loại 2 bán được. Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo x và y.
a) Các số nguyên không âm x và y thỏa mãn điều kiện gì để số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng?
b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì x và y thỏa mãn điều kiện gì?
Trả lời:
Biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim: 50x + 100y
a.
b. 50x + 100y < 20000
Hoạt động 2: Cặp số (x; y) = (100; 100) thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.
Trả lời câu hỏi tương tự với cặp số (x; y) = (150; 150).
Trả lời:
+) Xét cặp số (x; y) = (100; 100).
- Thay x = 100 và y = 100 vào bất phương trình 50x + 100y ≥ 20 000 ta được: 50.100 + 100.100 ≥ 20 000 ⇔ 15 000 ≥ 20 000 (vô lí).
Do đó cặp số (100; 100) không thỏa mãn bất phương trình 50x + 100y ≥ 20 000.
- Thay x = 100 và y = 100 vào bất phương trình 50x + 100y < 20 000 ta được: 50.100 + 100.100 < 20 000 ⇔ 15 000 < 20 000 (luôn đúng).
Do đó cặp số (100; 100) thỏa mãn bất phương trình 50x + 100y < 20 000.
Vì vậy nếu rạp chiếu phim bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì số tiền thu được là 15 triệu đồng và rạp chiếu phim phải bù lỗ.
+) Xét cặp số (x; y) = (150; 150).
- Thay x = 150 và y = 150 vào bất phương trình 50x + 100y ≥ 20 000 ta được: 50.150 + 100.150 ≥ 20 000 ⇔ 22 500 ≥ 20 000 (luôn đúng).
Do đó cặp số (150; 150) thỏa mãn bất phương trình 50x + 100y ≥ 20 000.
- Thay x = 150 và y = 150 vào bất phương trình 50x + 100y ≥ 20 000 ta được 50.150 + 100.150 < 20 000 ⇔ 22 500 < 20 000 (vô lí).
Do đó cặp số (150; 150) không thỏa mãn bất phương trình 50x + 100y < 20 000.
Vì vậy nếu rạp chiếu phim bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2 thì số tiền thu được là 22,5 triệu đồng và rạp chiếu phim không phải bù lỗ.
Luyện tập 1: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y ≥ 0.
a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.
b) Với y = 0, có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho?
Trả lời:
2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ
Hoạt động 3: Cho đường thẳng d: 2x – y = 4 trên mặt phẳng tọa độ Oxy (H.2.1). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
a) Các điểm O(0; 0), A(-1; 3) và B(-2; -2) có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d không?
Tính giá trị của biểu thức 2x – y tại các điểm đó và so sánh với 4.
b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm C(3; 1), D(4; - 1).
Trả lời:
a. Các điểm O, A, B có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.
A: 2x – y = -5 < 4
B: 2x – y = -2 < 4
O: 2x – y = 0 < 4
b. Các điểm C, D có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.
C: 2x – y = 5 >4.
D: 2x – y = 9 > 4.
Luyện tập 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x + y < 200 trên mặt phẳng tọa độ.
Trả lời:
Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 2x + y – 200 = 0 trên mặt phẳng tọa độ.
Bước 2: Lấy điểm M(100; 200) không thuộc đường thẳng d.
Thay x = 100, y = 200 vào 2x + y ta được: 2.100 + 200 = 400 > 200.
Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d không chứa điểm M (miền tô màu không chứa đường thẳng d).
Vận dụng: Một công ty viễn thông tính phí 1 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và 2 nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng?
Trả lời:
Bài tập
Bài 2.1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) 2x + 3y > 6;
b) 22x + y ≤ 0;
c) 2x2 – y ≥ 1.
Trả lời:
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,y có dạng tổng quát là: ax + by > c ( ax + by < c, ax + by ≥ 0, ax + by ≤ 0)
Trong đó a, b, c là số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
Do đó:
a) 2x + 3y > 6 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 2, b = 3 và c = 6;
b) 22x + y ≤ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 22 = 4, b = 1 và c = 0.
c) 2x2 – y ≥ 1 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn do ẩn x có bậc là 2.
Bài 2.2: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
a) 3x + 2y ≥ 300;
b) 7x + 20y < 0.
Trả lời:
a.
Đường thẳng d: 3x + 2y = 300.
Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ, kể cả đường thẳng d.
b.
Đường thẳng d: 7x + 20y = 0.
Miền nghiệm của bất phương trình là miền không bị tô đậm, không kể đường thẳng d.
Bài 2.3: Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:
a) Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.
b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng tọa độ.
Trả lời:
a)
Ta có 14 triệu = 14 000 (nghìn đồng)
Phí cố định là: 900.5 + 1500.2 = 7500 (nghìn đồng)
Phí tính theo quãng đường là:
x km trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu là 8x (nghìn đồng)
y km trong 2 cuối tuần là 10y (nghìn đồng)
Tổng số tiền ông An phải trả là 8x+10y +7500 (nghìn đồng)
Vì số tiền không quá 14 triệu đồng nên ta có :
8x + 10y + 7500 ≤ 14000
⇔ 4x + 5y ≤ 3250
Vậy bất phương trình cần tìm là: 4x + 5y ≤ 3250
b)
Vẽ đường thẳng d: 4x + 5y = 3 250 trên mặt phẳng tọa độ.
Lấy gốc tọa độ O(0; 0) và tính 4.0 + 5.0 = 0 < 3 250.
Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d chứa gốc tọa độ và cả đường thẳng d (miền không tô màu kể cả biên).
