Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Mở đầu: Nhiệt độ và gió là hai yếu tố luôn cùng được đề cập trong các bản tin dự báo thời tiết. Tuy nhiên, nhiệt độ là đại lượng chỉ có độ lớn, còn gió có cả hướng và độ lớn. Với một đơn vị đo, ta có thể dùng số liệu biểu diễn nhiệt độ. Đối với các đại lượng gồm hướng và độ lớn như vận tốc giờ thì sao? Ta có thể dùng đối tượng toán học nào để biểu diễn chúng?

Trả lời:

- Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn vận tốc gió.

- Trong đó: hướng của vecto là hướng gió, độ dài vecto biểu thị độ lớn của vận tốc gió.

1. Khái niệm vectơ

Hoạt động 1: Một con tàu khởi hành từ đảo A, đi thẳng về hướng đông 10 km rồi đi thẳng tiếp 10 km về hướng nam thì tới đảo B (H.4.2). Nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải đi theo hướng nào và quãng đường phải dài bao nhiêu kilômét?

Trả lời:

Ta có hình vẽ sau:

Vì góc giữa hướng đông và hướng nam là bằng 900 nên $AHB^\backslash widehat\{AHB\}AHB={90}^0$

Xét ∆AHB vuông ở H, ta có:

AB2 = AH2 + BH2 (định lí Py – ta – go)

AB2 = 102 + 102 = 100 + 100 = 200

$\iff AB=10\sqrt{2}\left(km\right)$

∆AHB vuông tại H, có AH = BH = 10 km nên ∆AHB cân tại H

$\Rightarrow {\mathrm{HAB^\backslash widehat\{HAB\}HAB}}^{}={45}^0$

Tia Ax là hướng nam nên $\text{Ax}\perp AH\Rightarrow {\mathrm{HAx^\backslash widehat\{HAx\}HAx}}^{}={90}^0$

$\Rightarrow {\mathrm{HAx^\backslash widehat\{HAx\}HAx}}^{}={90}^0-{\mathrm{HAB^\backslash widehat\{HAB\}HAB}}^{}={45}^0$.

Nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải đi theo hướng đông nam và đi quãng đường dài $10\sqrt{2}$km.

Luyện tập 1: Cho tam giác đều ABC với cạnh có độ dài bằng a. Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng a và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC.

Trả lời:

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau

Hoạt động 2: Quan sát các làn đường trong Hình 4.5 và cho biết những nhận xét nào sau đây là đúng.

a) Các làn đường song song với nhau.

b) Các xe chạy theo cùng một hướng.

c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau.

Trả lời:

Quan sát hình vẽ, ta có nhận xét sau:

Các làn đường chạy song song với nhau. Do đó phát biểu a) đúng.

Có ba xe hướng từ trên xuống dưới, còn hai xe hướng từ dưới lên trên. Do đó phát biểu b) sai.

Hai xe bất kì hoặc chạy cùng hướng hoặc chạy ngược hướng nhau. Do đó phát biểu c) đúng.

Hoạt động 3: Xét các vecto cùng phương trong Hình 4.7. Hai vecto $\overrightarrow{a}$ và ${AB}^{}$ được gọi là cùng hướng, còn hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{x}$ được gọi là ngược hướng. Hãy chỉ ra các vecto cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và các vecto ngược hướng với vecto $\overrightarrow{a}$.

Trả lời:

• Các vecto cùng hướng với a→: AB
  →
  , y→.
• Các vecto ngược hướng với a→: z→, x→.

Luyện tập 2: Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD,  AB < CD (H.5.10). Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vecto $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$. Có các cặp vecto nào trong các cặp vecto trên bằng nhau hay không?

Trả lời:

+) Cặp vecto $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$:

- Có độ dài bằng nhau (tính chất hình thang cân)

- Nhưng không cùng phương với nhau.

+) Cặp vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$:

- Có độ dài khác nhau

- Có giá song song với nhau nên cùng phương với nhau.

- Hai vecto này ngược hướng nhau.

+) Cặp vecto $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$:

- Có độ dài bằng nhau (tính chất hình bình hành)

- Không cùng phương với nhau

Luyện tập 3: Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B

a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ ngược hướng .

b) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$cùng phương .

c) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng .

d) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng .

Trả lời:

Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

Nếu hai vecto $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng

Thì hai vecto $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng phương

⇒MA // MB (vô lí)  hoặc MA trùng MB.

⇒ A, M, B thẳng hàng

Mà hai vecto $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng nên điểm M nằm giữa điểm A và điểm B.

Điềm M nằm giữa hai điểm A và B khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

Vậy điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B là $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

Chọn d)

Vận dụng: Hai ca nô A và B chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15km/h. Tuy vậy, ca nô A chạy xuôi dòng còn ca nô B chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là 3km/h.

a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vecto vận tốc $\overrightarrow{v}$ của dòng nước và các vecto vận tốc thực tế $\overrightarrow{v_a},\overrightarrow{v_b}$ của ca nô A, B.

b) Trong các vecto $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_a},\overrightarrow{v_b}$, những vecto nào cùng phương và những cặp vecto nào ngược hướng?

Trả lời:

a.

b.

• Các vecto cùng phương: v→,va→,vb→.
• Cặp vecto ngược hướng: v→,vb→ và va→,vb→

Bài tập

Bài 4.1: Cho ba vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{0}$;

b) Nếu $\overrightarrow{b}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{a}$thì $\overrightarrow{b}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$;

c) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$thì $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ cùng phương;

d) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Trả lời:

Bài 4.2: Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vecto cùng phương. Các vecto ngược hướng và các cặp vecto bằng nhau.

Trả lời:

• Các vecto cùng phương: a→,b→,c→.
• Cặp vecto ngược hướng: a→ và b→; b→ và c→.
• Các cặp vecto bằng nhau: a→ và c→

Bài 4.3: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

Trả lời:

+) Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành:

Ta có: ABCD là hình bình hành

⇒ AD // BC (tính chất hình bình hành) $\Rightarrow \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương $\Rightarrow \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

Bài 4.4: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập S gồm tất cả các vecto khác $\overrightarrow{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O}. Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vecto thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

Trả lời:

Bài 4.5: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy vẽ các vecto $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{MN}$ với A(1;2), M(0;-1), N(3;5)

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vecto trên.

b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vecto $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}$. Hỏi vật thể đó có đi qua N hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới N?

Trả lời:

a) Quan sát hình vẽ, ta có: hai vecto $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$là hai vecto cùng hướng.

b) Xét ΔOAH vuông tại H, có: OA2 = OH2 + AH2 = 22 + 12 = 5

$\Rightarrow OH=\sqrt{5}$

Xét ΔMNK vuông tại K, có: MN2 = KM2 + KN2 = 62 + 32 = 45

$\Rightarrow MN=3\sqrt{5}$

$\Rightarrow MN=3OH$

Do $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$ là hai vecto cùng hướng nên vật thể khởi hành chuyển động thẳng đều với vận tốc được biểu diễn bởi $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}$ nên vật thể đó đi qua điểm N và sau 3 giờ thì vật sẽ tới N.