Mở đầu: Hai phương pháp học Tiếng Anh khác nhau được áp dụng cho hai lớp A và B có trình độ tiếng Anh tương đương nhau. Sau hai tháng, điểm khảo sát tiếng Anh (thang điểm 10) của hai lớp được cho như hình bên.
Quan sát mẫu số liệu trên, có thể đánh giá được phương pháp học tập nào hiệu quả hơn không?
Trả lời:
Có thể đánh giá được phương pháp học tập nào hiệu quả hơn bằng cách tính toán các số đặc trưng (số trung bình cộng, số trung vị, tứ phân vị) cho mỗi mẫu số liệu rồi so sánh chúng với nhau.
Dưới đây phương pháp sử dụng số trung bình cộng:
Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp A là:
Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp B là:
Vì 6,28 > 5,92 nên điểm trung bình của lớp B cao hơn điểm trung bình của lớp A.
Do đó phương pháp học tập được áp dụng ở lớp B hiệu quả hơn phương pháp được áp dụng ở lớp A.
1. Số trung bình và trung vị
Hoạt động 1: Tính trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của mỗi lớp A và B.
Trả lời:
Hoạt động 2: Dựa trên điểm trung bình, hãy cho biết phương pháp học tập nào hiệu quả hơn.
Trả lời:
- Phương pháp học của lớp B hiệu quả hơn vì 6,28 > 5,92 nên điểm trung bình của lớp B cao hơn điểm trung bình của lớp A.
Luyện tập 1: Bảng sau cho biết thời gian chạy cự li 100m của các bạn trong lớp (đơn vị giây):
Hãy tính thời gian chạy trung bình cự li 100m của các bạn trong lớp
Trả lời:
Thời gian chạy trung bình cự li 100m của các bạn trong lớp là:
Vậy thời gian chạy trung bình cự li 100m của các bạn trong lớp là khoẳng 14,08 giây.
Hoạt động 3: Một công ty nhỏ gồm 1 giám đốc và 5 nhân viên, thu nhập mỗi tháng của giám đốc là 20 triệu đồng, của nhân viên là 4 triệu đồng.
a) Tính thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty.
b) Thu nhập trung bình có phản ánh đúng thu nhập của nhân viên trong công ty không?
Trả lời:
Luyện tập 2: Chiều dài đơn vị (feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:
48 53 51 31 53 112 52.
Tìm số trung bình và số trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này.
Trả lời:
- Số trung bình:
48+53+51+31+53+112+527≈57,14 - Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 31 48 51 52 53 53 112.
- Số trung vị là: 52.
- Số trung vị phù hợp để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trường thành.
2. Tứ phân vị
Hoạt động 4: Điểm (thang điểm 100) của 12 thí sinh cao điểm nhất trong cuộc thi như sau:
58 74 92 81 97 88 75 69 87 69 75 77.
Ban tổ chức muốn trao các giải Nhất, Nhì, Ba, Tư cho các thí sinh này, mỗi giải trao 25% số thí sinh (3 thí sinh). Em hãy giúp ban tổ chức xác định các ngưỡng điểm để phân loại thí sinh.
Trả lời:
Sắp xếp dãy số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:
58; 69; 69; 74; 75; 75; 77; 81; 87; 88; 92; 97.
Khi đó:
Nhóm giải tư: 58; 69; 69.
Nhóm giải ba: 74; 75; 75.
Nhóm giải nhì: 77; 81; 87.
Nhóm giải nhất: 88; 92; 97.
Giữa các nhóm giải ta xác định được các ngưỡng điểm để phân loại thí sinh:
- Ngưỡng điểm phân loại giữa nhóm giải tư và nhóm giải ba là: (69 + 74):2 = 71,5.
- Ngưỡng điểm phân loại giữa nhóm giải ba và nhóm giải nhì là: (75 + 77):2 = 76.
- Ngưỡng điểm phân loại giữa nhóm giải nhì và nhóm giải nhất là: (87 + 88) = 87,5.
Vậy ba ngưỡng điểm giúp ban tổ chức phân loại thí sinh là: 71,5; 76; 87,5.
Luyện tập 3: Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:
Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Trả lời:
3. Mốt
Hoạt động 5: Một cửa hàng giày thể thao đã thống kê cỡ giày của một số khách hàng nam được chọn ngẫu nhiên cho kết quả như sau:
38 39 39 38 40 41 39 39 38 39 39 39 40 39 39.
a) Tính cỡ giày trung bình. Số trung bình này có ý nghĩa gì với cửa hàng không?
b) Cửa hàng nên nhập cỡ giày nào với số lượng nhiều nhất?
Trả lời:
a. Cỡ giày trung bình: 39,1.
Số trung bình này không có ý nghĩa gì.
b. Nên nhập cỡ giầy 39 số lượng nhiều nhất, vì xuất hiện nhiều nhất trong bảng số liệu.
Vận dụng: Hãy tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu về điểm khảo sát của lớp A và lớp B ở đầu bài để phân tích và so sánh hiệu quả học tập của hai phương pháp này.
Trả lời:
Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp A là:
Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp B là:
Vì 6,28 > 5,92 nên điểm trung bình của lớp B cao hơn điểm trung bình của lớp A.
Do đó phương pháp học tập được áp dụng ở lớp B hiệu quả hơn phương pháp được áp dụng ở lớp A.
Sắp xếp dãy số liệu của lớp A theo thứ tự không giảm, ta được:
2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 9; 9.
Dãy số liệu trên có 25 số liệu nên số trung vị Q1 = 6.
Sắp xếp dãy số liệu của lớp B theo thứ tự không giảm, ta được:
3; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 9; 9; 10
Dãy số liệu trên có 25 số liệu nên số trung vị Q2 = 6.
Ta thấy số trung vị của hai dãy số liệu là bằng nhau nên nếu dùng số trung vì thì không thế so sánh được hiệu quả học tập của hai phương pháp này.
Từ số liệu về điểm số của lớp A, ta thấy điểm 7 xuất hiện nhiều nhất.
Do đó mốt của số liệu là 7.
Từ số liệu về điểm số của lớp B, ta thấy điểm 7 xuất hiện nhiều nhất.
Do đó mốt của số liệu là 7.
Ta thấy mốt của hai dãy số liệu là bằng nhau nên nếu dùng mốt thì không thế so sánh được hiệu quả học tập của hai phương pháp này.
Bài tập
Bài 5.7: Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:
a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu: 9 8 15 8 20
b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng): 350 300 650 300 450 500 300 250
c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp: 36 38 33 34 32 30 34 35
Trả lời:
a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu: 9 8 15 8 20
Số trung bình:
Mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm ta được: 8; 8; 9; 15; 20
Vì dãy số liệu này có 5 số liệu nên số trung vị là số ở chính giữa: 9.
Số liệu xuất hiện nhiều nhất là 8 nên mốt của dãy số liệu là: 8.
b) Số trung bình:
Mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm ta được: 250; 300; 300; 300; 350; 450; 500; 650.
Vì dãy số liệu này có 8 số liệu nên số trung vị là số trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa: (300 + 350):2 = 325.
Số liệu xuất hiện nhiều nhất là 300 nên mốt của dãy số liệu là: 300.
c) Số trung bình:
Mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm ta được: 30; 32; 33; 34; 34; 35; 36; 38.
Vì dãy số liệu này có 8 số liệu nên số trung vị là số trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa: (34 + 34):2 = 34.
Số liệu xuất hiện nhiều nhất là 34 nên mốt của dãy số liệu là: 34.
Bài 5.8: Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính các giá trị của số đặc trưng đó.
a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh:
b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá: 32 24 20 14 23.
c) Chỉ số IQ của một học sinh: 60 72 63 83 68 74 90 86 74 80.
d) Các sai số trong một phép đo: 10 15 18 15 14 13 42 15 12 14 42.
Trả lời:
Bài 5.9: Số học sinh giỏi Quốc gia năm 2018 – 2019 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:
0 0 4 0 0 0 10 0 6 0.
a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.
Trả lời:
a.
- Số trung bình: 2
- Mốt: 0.
- Sắp xếp dãy theo thứ tự không giảm: 0 0 0 0 0 0 0 4 6 10
- Tứ phân vị: Q2 = 0; Q1 = 0; Q3 = 4.
b. Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau vì mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên trái và các giá trị xuất hiện nhiều lần là số 0.
Bài 5.10: Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng).
Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?
Trả lời:
Số chỗ ngồi trung bình của một sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam là:
Dãy số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm là: 20 120; 20 120; 21 315; 23 405; 37 546.
Vì n = 5 là số lẻ nên số trung vị của dãy số liệu là số chính giữa là: 21 315.
Số 20 120 là số xuất hiện nhiều nhất nên mốt của số liệu là 20 120.
Nếu bớt đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình, ta có:
Số chỗ ngồi trung bình của một sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam là:
Dãy số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm là: 20 120; 20 120; 21 315; 23 405.
Vì n = 4 là số chẵn nên số trung vị của dãy số liệu là trung bình cộng hai giá trị chính giữa là: (20 120 + 21 315) : 2 = 20 717,5.
Số 20 120 là số xuất hiện nhiều nhất nên mốt của số liệu là 20 120.
Vậy khi bỏ bớt đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình thì số trung bình và trung vị bị thay đổi còn mốt vẫn giữ nguyên.