Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Hoạt động 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ . Hãy tìm số đo các góc giữa $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ , $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ .

HĐ1 trang 66 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 10

Trả lời:

Số đo góc giữa BC−→− và BD−→− là số đo góc CBD, có số đo: 30o

Số đo góc giữa DA−→− và DB−→− là số đo góc BDA, có số đo: 80o - 30o = 50o.

(Vì trong tam giác BCD, góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó).

Câu hỏi: Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 00, bằng 1800.

Trả lời:

- Góc giữa hai vecto bằng 00 khi hai vecto cùng hướng.

- Góc giữa hai vecto bằng 1800 khi hai vecto ngược hướng (hoặc đối nhau).

Luyện tập 1: Cho tam giác đều ABC. Tính $(\vec{A B}, \vec{B C}) .$

Trả lời:

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Câu hỏi: Khi nào tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Trả lời:

Tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v}) .$

Vì $|\vec{u}| > 0, |\vec{v}| > 0$ nên dấu của $\vec{u} . \vec{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c os (\vec{u}, \vec{v})$ .

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương thì $c os (\vec{u}, \vec{v}) > 0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 00.

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số âm thì $c os (\vec{u}, \vec{v}) < 0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là góc tù hoặc bằng 1800.

Câu hỏi: Khi nào thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} ?$

Trả lời:

Ta có: (u→.v→)2=(|u→|.|v→|.cos(u→,v→))=u→2.v→2.cos2(u→,v→)

Nên (u→.v→)2=u→2.v→2 thì cos(u→,v→)=0, hay là u→,v→ cùng hướng.

Luyện tập 2: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ theo a, b, c.

Trả lời:

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

Hoạt động 2: Cho hai vecto cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y) .$ Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a) $\vec{u} = \vec{0};$

b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0;$

c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0.

Trả lời:

a) Ta có: $\vec{u} = \vec{0} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

Mà $\vec{0}$ vuông góc với mọi vecto nên ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 0$

Ta lại có:

$k (x^{2} + y^{2}) = k (0^{2} + 0^{2}) = 0$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$

Vậy với $\vec{u} = \vec{0}$ công thức đã cho đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{0}$

Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v})$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} .cos (\vec{u}, \vec{v})$

$= |k| (x^{2} + y^{2}) . c os 0^{0} = k (x^{2} + y^{2}) .$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ công thức đã cho đúng.

c) Vì k < 0 nên hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ ngược hướng

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0}$

Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v})$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} .cos (\vec{u}, \vec{v})$

$= |k| (x^{2} + y^{2}) . c os18 0^{0}$

$= - k (x^{2} + y^{2}) (- 1) = k (x^{2} + y^{2}) .$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0 công thức đã cho đúng.

Hoạt động 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vecto không cùng phương $\vec{u} (x; y)$ và $\vec{v} (x'; y')$ .

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v} .$

b) Tính AB2, OA2, OB2 theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Trả lời:

a. Tọa độ điểm A(x; y) và tọa độ B(x'; y').

b. AB−→−(x′−x;y′−y), OA−→−(x;y) và OB−→−(x′;y′)

AB2 = (x′−x)2+(y′−y)2

OA2 = x2+y2

OB2=x′2+y′2

OA−→−.OB−→−=OA.OB.cosAOB

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABO có: cosO=OA2+OB2−AB22.OA.OB

Suy ra: OA−→−.OB−→−= OA2+OB2−AB22

= x.x'+ y.y'

Luyện tập 3: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vecto $\vec{u} (0; - 5), \vec{v} (\sqrt{3}; 1)$

Trả lời:

Hoạt động 4: Cho ba vecto

$\vec{u} (x_{1}; y_{1}), \vec{v} (x_{2}; y_{2}), \vec{w} (x_{3}; y_{3}) .$

a) Tính $\vec{u} (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ theo tọa độ các vecto $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} .$

b) So sánh $\vec{u} (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ .

c) So sánh $\vec{u} . \vec{v}$ và $\vec{v} . \vec{u}$ .

Trả lời:

a) Ta có: $\vec{v} + \vec{w} = (x_{2} + x_{3}; y_{2} + y_{3})$

$\Rightarrow \vec{u} (\vec{v} + \vec{w}) = x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} (y_{2} + y_{3})$

$= x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + y_{1} . y_{2} + y_{1} . y_{3}$ (1)

Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}, \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ (2)

b) Từ (1) và (2) suy ra: $\vec{u} (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} .$

c) Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}; \vec{v} . \vec{u} = x_{2} . x_{1} + y_{2} . y_{1}$

$= x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} .$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} .$

Luyện tập 4: Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Gọi H là trực tâm tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0} .$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 10

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} .$

Trả lời:

a. Do H là trực tâm của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC, BH vuông góc với CA.

Suy ra: AH−→−.BC−→−=0→ và BH−→−.CA−→−=0→

b. Gọi H(x; y)

Ta có: AH−→−.BC−→−=0 và BH−→−.CA−→−=0

Với AH−→−(x+1;y−2); BC−→−(0;9); BH−→−(x−8;y+1); CA−→−(−9;−6)

{(x+1).0+(y−2).9=0(x−8).(−9)+(y+1).(−6)=0

Suy ra: x = 6; y =2.

Vậy H(6; 2).

c. AB−→−(9;−3); BC−→−(0;9); CA−→−(−9;−6)

AB= 92+32−−−−−−√=310−−√

AC = 92+62−−−−−−√=313−−√

BC = 02+92−−−−−−√=9.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC có: cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC≈0,61

=>Aˆ≈52o

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC có: cosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC≈0,32

=>Bˆ≈71,6o

=> Cˆ=180o−52o−71,6o=56,4o.

Vận dụng: Một lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng đều từ A đến B. Lực $\vec{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}} (\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}})$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\vec{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}} .$

b) Giả sử các lực thành phần $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\vec{F}$ và lực $\vec{F_{1}} .$

Vận dụng trang 70 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 10

Trả lời:

a) Một lực $\vec{F}$ tác động lên một vật làm vật dịch chuyển tính tiến theo một vecto độ rời $\vec{s}$ .

Ta có: công sinh bởi lực $\vec{F}$ là

$A_{\vec{F}} = \vec{F} . \vec{s} = F . s . c os (\vec{F}, \vec{s}) = F . s . c os (\vec{F}, \vec{F_{1}})$

Mặt khác $F . c os (\vec{F}, \vec{F_{1}}) = F_{1}$

$\Rightarrow A_{\vec{F}} = F_{1} . s$

Công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ là:

$A_{\vec{F_{1}}} = \vec{F_{1}} . \vec{s} = F_{1} . s . c os (\vec{F_{1}}, \vec{s})$

$= F_{1} . s . c {os0}^{0} = F_{1} . s$

Công sinh bởi lực $\vec{F_{2}}$ là:

$A_{\vec{F_{2}}} = \vec{F_{2}} . \vec{s} = F_{2} . s . c os (\vec{F_{2}}, \vec{s})$

$= F_{2} . s . c {os90}^{0} = 0$

$\Rightarrow A_{\vec{F_{1}}} + A_{\vec{F_{2}}} = F_{1} . s$

Do đó $A_{\vec{F}} = A_{\vec{F_{1}}} + A_{\vec{F_{2}}} .$

b) Ta có:

$A_{\vec{F}} = \vec{F} . \vec{s} = F . s . c os (\vec{F}, \vec{s}) = F . s . c os (\vec{F}, \vec{F_{1}})$

Mặt khác $F . c os (\vec{F}, \vec{F_{1}}) = F_{1}$

$\Rightarrow A_{\vec{F}} = F_{1} . s$

Ta lại có: $A_{\vec{F_{1}}} = \vec{F_{1}} . \vec{s} = F_{1} . s . c os (\vec{F_{1}}, \vec{s})$

$= F_{1} . s . c {os0}^{0} = F_{1} . s$

$\Rightarrow A_{\vec{F}} = A_{\vec{F_{1}}} .$

Bài 4.21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{a} (- 3; 1), \vec{b} (2; 6);$

b) $\vec{a} (3; 1), \vec{b} (2; 4);$

c) $\vec{a} (- \sqrt{2}; 1), \vec{b} (2; - \sqrt{2});$

Trả lời:

Bài 4.22: Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để:

a) $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}|;$

b) $\vec{u} . \vec{v} = - |\vec{u}| . |\vec{v}|;$

Trả lời:

a) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Để $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}|$ thì

$\cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{0}$

Suy ra $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vecto cùng hướng.

b) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Để $\vec{u} . \vec{v} = - |\vec{u}| . |\vec{v}|$ thì

$\cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0}$

Suy ra $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vecto ngược hướng.

Bài 4.23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2), B(-4;3). Gọi M(t;0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\vec{A M} . \vec{B M}$ theo t.

b) Tính t để $\hat{A M B} = 90^{0} .$

Trả lời:

a. AM−→→−(t−1;−2) và BM−→−(t+4;−3)

AM−→−.BM−→−=(t−1).(t+4)+2.3=(t−1).(t+4)+6

b. AMBˆ=90o => đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BM.

=> AM−→−.BM−→−=0

Hay là: (t−1).(t+4)+2.3=(t−1).(t+4)+6=0

⇔t2+3t+2=0

t=−2 và t=−1.

Bài 4.24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4;1), B(2;4), C(2;-2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Trả lời:

a) Ta có:

$\vec{A B} (6; 3) \Rightarrow A B = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{5};$

$\vec{A C} (6; - 3) \Rightarrow A C = \sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{5};$

$\vec{B C} (0; - 6) \Rightarrow B C = \sqrt{0^{2} + {(- 6)}^{2}} = 6;$

Theo định lí cosin, ta có:

$cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{3}{5}$

$\Rightarrow \hat{A} \approx 53, 13^{0};$

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

$\Rightarrow \hat{B} = \hat{C} = \frac{180^{0} - \hat{A}}{2} \approx 63, 44^{0}$ .

Vậy $A B = A C = 3 \sqrt{5}, B C = 6,$

$\hat{A} = 53, 13^{0}, \hat{B} = \hat{C} = 63, 44^{0} .$

b) Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)

Khi đó, ta có:

$\vec{A H} (x + 4; y - 1); \vec{B C} (0; - 6); \vec{B H} (x - 2; y - 4); \vec{A C} (6; - 3)$

Vì AH ⊥ BC ⇒ $\vec{A H} . \vec{B C}$ = 0 ⇔ (x + 4).0 + (y – 1).(–6) = 0 ⇔ y = 1

Vì BH ⊥ AC ⇒ $\vec{B H} . \vec{A C}$ = 0 ⇔ (x – 2).6 + (y – 4).(–3) = 0

⇔ (x – 2).2 + (y – 4).(–1) = 0

⇔ 2x – y = 0

Mà y = 1 ⇒ 2x – 1 = 0 $\Leftrightarrow x = \frac{1}{2} .$

Bài 4.25: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}} .$

Trả lời:

Bài 4.26: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

Trả lời:

Bài 4.26 trang 70 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 10

Ta có: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ (tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = \vec{M G} . \vec{0} = 0$

$\Rightarrow M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} .$

1. Góc giữa hai vectơ

2. Tích vô hướng của hai vectơ

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

Bài tập

$\Rightarrow A_{\vec{F}} = A_{\vec{F_{1}}} .$