Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Mở đầu: Câu lạc bộ lịch sử có 12 thành viên (không có hai bạn nào trùng tên), tổ chức hai chuyên đề trên một phần mềm họp trực tuyến. Tên các thành viên tham gia mỗi chuyên đề được hiển thị trên màn hình (H.1.1).

Trả lời:

Gọi A là tập hợp các bạn tham gia chuyên đề 1, từ màn hình ta có:

A = {Nam; Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi; Ngân}.

Gọi B là tập hợp các bạn tham gia chuyên đề 2, từ màn hình ta có:

B = {Hương; Khánh; Hiền; Chi; Bình; Lam; Tú; Hân}.

Khi đó, tập hợp C các bạn tham gia cả hai chuyên đề bao gồm:

C = A ∪ B = {Nam; Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi; Ngân; Hiền; Lam; Hân}.

Như vậy có tất cả 10 bạn tham gia cả hai chuyên đề mà câu lạc bộ Lịch sử có tất cả 12 thành viên và không có thành viên nào trùng tên. Do đó có hai thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề.

1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp

Hoạt động 1: Trong tình huống trên, gọi A là tập hợp những thành viên tham gia chuyên đề 1, B là tập hợp những thành viên tham gia chuyên đề 2.

a) Nam có một phần tử của tập hợp A không? Ngân có là một phần tử của tập hợp B không?

b) Hãy mô tả các tập hợp A và B bằng cách liệt kê các phần tử.

Trả lời:

a.

- Nam có là phần tử của tập hợp A.

- Ngân không là phần tử của tập hợp B.

b.

- Tập hợp A= {Nam; Hương; Tú; Khánh; Bình; Chi; Ngân}

- Tập hợp B = {Hương; Khánh; Hiền; Chi; Bình; Lam; Tú; Hân}

Hoạt động 2: Cho tập hợp:

C = {châu Á; châu Âu; châu Đại Dương; châu Mỹ; châu Nam Cực; châu Phi}.

a) Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp C.

b) Tập hợp C có bao nhiêu phần tử?

Trả lời:

a. Tính chất đặc trưng của các phần tử C: các châu luc trên Trái Đất.

b. Tập hợp C có 6 phần tử.

Luyện tập 1: Gọi S là tập nghiệm của phương trình

x2 – 24x + 143 = 0.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) 13 ∈ S;

b) 11 ∉ S;

c) n(S) = 2.

Trả lời:

Ta có: x2 – 24x + 143 = 0

$\iff [\begin{array}{c}x=13\\ x=11\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 13, x = 11.

Suy ra S = {11; 13}.

a) 13 là một phần tử của tập hợp S nên 13 ∈ S. Do đó mệnh đề a) đúng.

b) 11 là một phần tử của tập hợp S nên 11 ∈ S. Do đó mệnh đề b) sai.

c) Số phần tử của tập hợp S là 2 hay n(S) = 2. Do đó mệnh đề c) đúng.

Hoạt động 3: Gọi H là tập hợp các bạn tham gia Chuyên đề 2 trong tình huống mở đầu có tên bắt đầu bằng chữ H. Các phần tử của tập hợp H có là phần tử của tập hợp B trong HĐ1 không?

Trả lời:

Ta có: 𝐵 = {Hương; Chi; Tú; Khánh; Bình; Hân; Hiền; Lam} và H = {Hương; Hiền; Hân}

Vậy các phần tử của H đều là phần tử của tập hợp B.

Hoạt động 4: Sơn và Thu viết tập hợp các số chính phương nhỏ hơn 100 như sau:

Sơn: S = {0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81};

Thu: T = {n ∈ ℕ | n là số chính phương; n < 100}.

Hỏi bạn nào viết đúng?

Trả lời:

Cả hai bạn đều viết đúng.

Bạn Sơn viết theo cách liệt kê các phần tử của tập hợp, còn bạn Thu viết theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp.

Luyện tập 2: Giả sử C là tập hợp các hình bình hành có hai đường chéo vuông góc; D là tập hợp các hình vuông.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) C ⊂ D;

b) C ⊃ D;

c) C = D.

Trả lời:

- Mệnh đề đúng: b.

- Mệnh đề sai: a, c.

2. Các tập hợp số

Hoạt động 5: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Mọi số nguyên đều viết được dưới dạng phân số.

b) Tập hợp các số thực chứa tập hợp các số hữu tỉ.

c) Tồn tại một số thực không là số hữu tỉ.

Trả lời:

a) “Mọi số nguyên đều viết được dưới dạng phân số” là mệnh đề đúng.

b) Số hữu tỉ cũng là số thực . Do đó “Tập hợp các số thực chứa tập hợp các số hữu tỉ” là mệnh đề đúng.

c) Ta có $\sqrt{2}$ là số thực nhưng $\sqrt{2}$ không là số hữu tỉ. Do đó “Tồn tại một số thực không là số hữu tỉ” là mệnh đề đúng.

Luyện tập 3: Cho tập hợp C = {-4; 0; 1; 2}. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) C là tập con của ℤ;

b) C là tập con của ℕ;

c) C là tập con của ℝ.

Trả lời:

Hoạt động 6: Cho hai tập C = {x ∈ ℝ | x ≥ 3} và D = {x ∈ ℝ | x > 3}. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) C, D là các tập con của ℝ;

b) ∀x,x ∈ C ⇒ x ∈ D;

c) 3 ∈ C nhưng 3 ∉ D;

d) C = D.

Trả lời:

- Mệnh đề đúng: a, c.

- Mệnh đề sai: b, d.

Luyện tập 4: Hãy ghép mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng thích hợp ở bên phải

Trả lời:

Ta có: [2;5] = {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 5}. Do đó 1) ghép với d).

Ta có: (2;5] = {x ∈ ℝ | 2 < x ≤ 5}. Do đó 2) ghép với a).

Ta có: [7; +∞) = {x ∈ ℝ | x ≥ 7}. Do đó 3) ghép với b).

Ta có: (7; 10) = {x ∈ ℝ | 7 < x < 10}. Do đó 4) ghép với c).

Khi đó ta có:

3. Các phép toán trên tập hợp

Hoạt động 7: Viết tập hợp X gồm những thành viên tham gia cả hai chuyên đề 1 và 2 trong tình huống mở đầu.

Tập X có phải là tập con của tập A không? Tập X có phải là tập con của tập B không? (A, B là các tập hợp trong HĐ1).

Trả lời:

X = {Khánh; Bình; Hương; Chi; Tú}

A= {Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh}

B = {Hương; Chi; Tú; Khánh; Bình; Hân; Hiền; Lam}

Dễ thấy: Các phần tử của X đều là phần tử của tập hợp A và tập hợp B.

Do đó X⊂A và X⊂B

Luyện tập 5: Cho các tập hợp C = [1;5] và D = [-2;3]. Hãy xác định tập C ∩ D.

Trả lời:

Vậy C ∩ D = [1;3].

Hoạt động 8: Trở lại tình huống mở đầu, hãy các định tập hợp các thành viên tham gia chuyên đề 1 hoặc chuyên đề 2.

Trả lời:

Tập hợp các thành viên tham gia Chuyên đề 1 hoặc Chuyên đề 2: {Nam; Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi; Ngân; Hiền; Lam; Hân}.

Luyện tập 6: Hãy biểu diễn tập hợp A ∪ B bằng biểu đồ Ven, với A, B được cho trong HĐ1.

Trả lời:

Ta có:

A = {Nam; Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi; Ngân};

B = {Hương; Khánh; Hiền; Chi; Bình; Lam; Tú; Hân};

A ∪ B = {Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh; Hân; Hiền; Lam}.

Vậy ta biểu diễn được như sau:

Hoạt động 9: Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên chỉ tham gia Chuyên đề 1 mà không tham gia Chuyên đề 2.

Trả lời:

A= {Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh}

X = {Khánh; Bình; Hương; Chi; Tú }

Có Nam và Ngân chỉ tham gia chuyên đề 1.

Tập hợp các thành viên chỉ tham gia Chuyên đề 1 mà không tham gia Chuyên đề 2 là G = {Nam; Ngân}

Luyện tập 7: Tìm phần bù của các tập hợp sau trong ℝ:

a) (–∞; –2);

b) [–5; +∞).

Trả lời:

a) Phần bù của tập hợp (–∞; –2) trong ℝ là:

ℝ \ (–∞; –2) = [–2; +∞).

b) Phần bù của tập hợp [–5; +∞) trong ℝ là:

ℝ \ [–5; +∞) = (–∞; –5).

Vận dụng: Lớp 10A có 24 bạn tham gia thi đấu bóng đá và cầu lông, trong đó có 16 bạn thi đấu bóng đá và 11 bạn thi đấu cầu lông. Giả sử các trận bóng đá và cầu lông không tổ chức đồng thời. Hỏi có bao nhiêu bạn lớp 10A tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông?

Gợi ý: Gọi x là số bạn tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông.

Trả lời:

A là tập hợp các bạn thi đấu bóng đá.

B là tập hợp các bạn thi đấu cầu lông.

Thì số bạn tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông chính là số phần tử của tập hợp A∩B.

Ta có: n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)

24 = 16 + 11 - n(A∩B)

Suy ra: n(A∩B) = 3.

Vậy có 3 bạn vừa thi đấu bóng đá vừa thi đấu cầu lông.

Bài tập

Bài 1.8: Gọi X là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X và biểu diễn tập X bằng sơ đồ Ven.

Trả lời:

Các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam bao gồm: Trung Quốc, Lào, Campuchia.

⇒ X = {Trung Quốc; Lào; Campuchia}.

Biểu diễn tập hợp X bằng sơ đồ Ven, ta được:

Bài 1.9: Kí hiệu E là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.

a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp E.

b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp E.

c) Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp E. Tập hợp E có bao nhiêu phần tử?

Trả lời:

a. Hai phần tử thuộc tập hợp E: Việt Nam, Lào.

b. Hai phần tử không thuộc tập hợp E: Trung Quốc, Nga.

c. E = {Việt Nam;Lào;Campuchia; Thái Lan;Myanmar;Malaysia;Singapore; Indonesia;Brunei; Philippines; Đông Timor}

Tập hợp E gồm 11 phần tử.

Bài 1.10: Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp:

A = {0; 4; 8; 12; 16}.

Trả lời:

Bài 1.11: Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?

A = { x ∈ ℝ | x2  – 6 = 0};

B = { x ∈ ℤ | x2  – 6 = 0};

Trả lời:

Ta có: x2 – 6 = 0

$\iff [\begin{array}{c}x=\sqrt{6}\\ x=-\sqrt{6}\end{array}$

Vì $-\sqrt{6};\sqrt{6}\in R$ nên $A=\left\{-\sqrt{6};\sqrt{6}\right\}$.

Vì $-\sqrt{6};\sqrt{6}\notin Z$ nên B = ∅.

Vậy tập hợp B là tập rỗng.

Bài 1.12: Cho X = {a; b}. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.

a) a ⊂ X;

b) {a} ⊂ X;

c) ∅ ∈ X.

Trả lời:

- Các cách viết sai: a; c.

- Các cách viết đúng: b

Vì a là một phần tử của tập hợp X nên ta phải viết: a∈X

Khi viết {a}⊂X, ta có thể hiểu là tập hợp gồm phần tử a sẽ là con của tập hợp X.

Tập hợp rỗng không là tập con của X.

Bài 1.13: Cho A = {2; 5}, B = {5; x}, C = {2; y}. Tìm x, y để A = B = C.

Trả lời:

Ta có A = {2; 5} và B = {5; x}

Để A = B thì x = 2.

Ta lại có A = {2; 5} và C = {2; y}

Để A = C thì y = 5.

Vậy x = 2, y = 5 thì A = B = C.

Bài 1.14: Cho A = {x ∈ ℤ | x < 4};

B = {x ∈ ℤ | (5x – 3x2)( x2 + 2x – 3) = 0}

a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp A và B.

b) Hãy các định các tập hợp A ∩ B, A ∪ B và A\B.

Trả lời:

Bài 1.15: Hãy xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) ( –4; 1] ∩ [0;3);

b) (0;2] ∪ (–3;1];

c) (–2; 1] ∩ (1; +∞);

d) ℝ \ (–∞;3].

Trả lời:

a) Ta có: ( –4; 1] ∩ [0;3) = [0;1]

b) Ta có: (0;2] ∪ (–3;1] = (–3;2]

c) Ta có: (–2; 1] ∩ (1; +∞) = ∅

d) ℝ \ (–∞; 3] = (3; +∞)

Bài 1.16: Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?

b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?

c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?

Trả lời:

a. Ban tổ chức đã huy động số người phiên dịch cho hội nghị là: 35 + 30 – 16 = 49 người.

b. Số người chỉ phiên dịch tiếng Anh là: 35 – 16 =19 người.

c. Số người chỉ phiên dịch tiếng Pháp là: 30 – 16 = 14 người.