Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức Bài 12: Số gần đúng và sai số

Mở đầu: Đỉnh Everest được mệnh danh là “nóc nhà của thế giới”, bởi đây là đỉnh núi cao nhất trên Trái Đất so với mực nước biển. Có rất nhiều con số khác nhau đã từng được công bố về chiều cao của đỉnh Everest:

8 848 m; 8 848,13m; 8 844,43m; 8 850m; …

Vì sao lại có nhiều kết quả khác nhau như vậy và đâu là con số chính xác? Chúng ta sẽ cùng tìm câu trả lời trong bài học này, sau khi tìm hiểu về số gần đúng và sai số.

Trả lời:

Có rất nhiều kết quả khác nhau (các số này được gọi là sai số) là do:

- Tiến hành đo nhiều lần khác nhau và bằng nhiều cách khác nhau.

- Trong quá trình đo đạc có nhiều nguyên nhân gây nên sai số, nhưng chủ yếu là các nguyên nhân sau: do máy móc và dụng cụ đo thiếu chính xác, do người đo với trình độ tay nghề chưa cao, khả năng các giác quan bị hạn chế do điều kiện ngoại cảnh bên ngoài tác động tới, ví dụ như thời tiết thay đổi, mưa gió, nóng lạnh bất thường,…

Sau quá trình đo như trên, người ta đưa ra được chiều cao chính xác nhất là 8 848,86 m.

1. Số gần đúng

Hoạt động 1: Ngày 8 – 12 – 2020, Trung Quốc và Nepal ra thông cáo chung khẳng định chiều cao mới đo được của đỉnh núi cao nhất thế giới Everest là 8 848,86m. Trong các số được đưa ra ở tình huống mở đầu, số nào gần với số được công bố ở trên?

Trả lời:

Hoạt động 2: Trang và Hảo thực hiện đo thể tích một cốc nước bằng hai ống đong có vạch chia được kết quả như Hình 5.1. Hãy cho biết số đo thể tích trên mỗi ống.

Trả lời:

• Ống bên trái: xấp xỉ 13
• Ống bên phải: 13,1.

Câu hỏi: Hãy lấy một ví dụ khác về số gần đúng.

Trả lời:

Ta có: $\sqrt{3}\approx 1,732$

Số 1,732 là số gần đúng.

Luyện tập 1: Gọi P là chu vi của đường tròn bán kính 1cm. Hãy tìm một giá trị gần đúng của P.

Trả lời:

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

Hoạt động 3: Trong HĐ2, Hòa dùng kính lúp để quan sát mực nước trên ống đo thứ hai được hình ảnh như Hình 5.2. Kí hiệu $\overline{a}$ cm3 là số đo thể tích của nước.

Quan sát hình vẽ để so sánh $\left|13-\overline{a}\right|$ và $\left|13,1-\overline{a}\right|$ rồi cho biết trong hai số đo thể tích 13cm3 và 13,1 cm3, số đo nào gắn với thể tích của cốc nước hơn.

Trả lời:

Dựa vào hình vẽ, ta có: $\left|13-\overline{a}\right|>\left|13,1-\overline{a}\right|$

Do đó trong hai số đo thể tích 13cm3 và 13,1 cm3, số đo 13,1 gắn với thể tích của cốc nước hơn.

Luyện tập 2: Một phép đo đường kính nhân tế bào cho kết quả là 5 ± 0,3 µm. Đường kính thực của nhân tế bào thuộc đoạn nào?

Trả lời:

- Đường kính thực của nhân tế bào thuộc đoạn: [5-0,3;5+0,3] hay [4,7; 5,3].

Hoạt động 4: Công ty (trong Ví dụ 2) cũng sử dụng dây chuyền B để đóng gạo với khối lượng chính xác là 20kg. Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là: $20\pm 0,5\left(kg\right)$.

Khằng định “Dây chuyền A tốt hơn dây chuyền B” là đúng hay sai?

Trả lời:

- Mặc dù độ chính xác của khối lượng bao gạo đóng bằng dây chuyền A nhỏ hơn nhưng do bao gạo đóng bằng dây chuyền B nặng hơn nhiều nên ta không dựa vào sai số tuyệt đối để so sánh. Do đó câu hỏi này ta chưa thể trả lời chính xác được nếu chỉ dựa vào các kiến thức đã học trước đó.

Luyện tập 3: Đánh giá sai số tương đối của khối lượng bao gạo được đóng gói theo hai dây chuyền A, B ở Ví dụ 2 và HĐ4. Dựa trên tiêu chí này, dây chuyền nào tốt hơn.

Trả lời:

Đối với dây chuyền A, ta có: a = 5 và d = 0,2

Khi đó sai số tương đối của dây chuyền A là:

$S_1\le \frac{d}{\left|}=\frac{0,2}{\left|}=4\%.$

Đối với dây chuyền B, ta có: a = 20 và d = 0,5

Khi đó sai số tương đối của dây chuyền A là:

$S_2\le \frac{d}{\left|}=\frac{0,5}{\left|}=2,5\%.$

Vì 2,5 < 4 nên chất lượng của dây chuyền B tốt hơn.

3. Quy tròn số gần đúng

Luyện tập 4: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:

a) 11 251 900 ± 300;

b) 18,2857 ± 0,01.

Trả lời:

a. Số quy tròn của a = 11 251 900 là: 11 252 000. Do độ chính xác đến hàng trăm nên ta làm tròn a đến hàng nghìn.

b. Số quy tròn của a = 18,2857 là: 18,3. Vì ta nên làm tròn số a đến hàng phần chục do chữ số hàng phần trăm, hàng phần nghìn của a là chữ số không chắc chắn đúng.

Vận dụng: Các nhà Vật lí sử dụng hai phương pháp khác nhau để đo tuổi của vũ trụ (đơn vị tỉ năm) lần lượt cho hai kết quả 13,807 ± 0,026 và 13,799 ± 0,021.

Hãy đánh giá sai số tương đối của mỗi phương pháp. Căn cứ trên tiêu chí này, phương pháp nào cho kết quả chính xác hơn?

Trả lời:

Bài tập

Bài 5.1: Trong các số sau, những số nào sau đây là số gần đúng?

a) Cân một túi gạo cho kết quả là 10,2 kg.

b) Bán kính Trái Đất là 6 371 km.

c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365 ngày.

Trả lời:

a) Đây là số đúng.

b) Đây là số gần đúng. Do bề mặt Trái Đất có chỗ lồi lõm khác nhau nên không thể đo được chính xác bán kính Trái Đất, vì vậy không có giá trị chính xác của bán kính của Trái Đất (bán kính Trái Đất sẽ rơi vào khoảng 6 353km đến 6 384km).

c) Trái Đất quay một vòng quanh mặt trời mất 365, 2564 ngày nên đây là số gần đúng.

Bài 5.2: Giải thích kết quả: “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là 1235 ± 5m” và thực hiện làm tròn số gần đúng.

Trả lời:

Độ cao của ngọn núi sẽ nằm trong đoạn: [1235 -5; 1235 +5] = [1230; 1240].

Làm tròn số gần đúng: 1240

Bài 5.3: Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho $\sqrt[3]{37}$ với độ chính xác 0,0005.

Trả lời:

Ta được

Ta chọn số gần đúng là 1,912931183.

Độ chính xác d=0,0005 nên ta có hàng làm tròn là hàng phần nghìn.

Số ở hàng phần nghìn là số 2, số bên phải là số 9>5 nên ta tăng 2 thêm 1 đơn vị và được số quy tròn của 1,912931183 là 1,913

Bài 5.4: Các nhà Vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:

67,31 ± 0,96;

67,9 ± 0,55;

67,74 ± 0,46;

Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?

Trả lời:

Đối với phương pháp 1, ta có: a = 67,31 và d = 0,96

Khi đó sai số tương đối của phương pháp 1 là:

$S_1\le \frac{d}{\left|}=\frac{0,96}{\left|}=1,43\%.$

Đối với phương pháp 2, ta có: a = 67,9 và d = 0,55

Khi đó sai số tương đối của phương pháp 2 là:

$S_2\le \frac{d}{\left|}=\frac{0,55}{\left|}=0,81\%.$

Vì 0,15 < 0,19 nên phương pháp 2 cho kết quả chính xác hơn.

Đối với phương pháp 3, ta có: a = 67,74 và d = 0,46

Khi đó sai số tương đối của phương pháp 2 là:

$S_3\le \frac{d}{\left|}=\frac{0,46}{\left|}=0,68\%.$

Vì 0,68 < 0,81 < 1,43 nên sai số tương đối của phương pháp 1 là nhỏ nhất. Do đó phương pháp 1 cho kết quả chính xác nhất.

Vậy phương pháp 1 cho kết quả chính xác nhất theo sai số tương đối.

Bài 5.5: An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính 2 cm với hai kết quả như sau:

Kết quả của An: S1 = 2πR = 2.3,14.2 = 12,56.

Kết quả của Bình: S2 = 2πR = 2.3,1.2 = 12,4.

Hỏi:

a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?

b) Giá trị nào chính xác hơn?

Trả lời:

a. Hai giá trị tính được là số gần đúng, vì đã lấy giá trị số pi gần đúng.

b. Giá trị chính xác hơn là kết quả của An.

Bài 5.6: Làm tròn số 8 316,4 đến hàng chục và 9,754 đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.

Trả lời: