Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Mở đầu: Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi. Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và không đáng kể, các yếu tố bên ngoài tác động không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu. Nếu không quan tâm đến điểm đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất?

Trả lời:

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d1, d2 (H.4.17). Giả sử tàu xuất phát từ $A\in d_1$ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi $\overrightarrow{v_r}$ và $\overrightarrow{v_n}$ lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi M, N là các điểm sao cho $\overrightarrow{v_r}=\overrightarrow{AM},\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{MN}.$

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_r}+\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}.$

Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với d2. Tàu chuyển động thẳng từ A đến B với vận tốc thực tế là $\overrightarrow{AN}$, do đó thời gian cần thiết để tàu sang được bờ d2 là $\frac{AB}{AN}=\frac{AC}{AM}$. Mặt khác, $AM=\left|\overrightarrow{v_r}\right|$ không đổi nên $\frac{AC}{AM}$ nhỏ nhất ⇔ AC nhỏ nhất

⇔ AC ⊥ d2 ⇔ AM ⊥ d2

Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.

1. Tổng của hai vectơ

Hoạt động 1: Với hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cho trước, lấy một điểm A và vẽ các vecto $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}.$ Lấy một điểm A’ khác A cũng vẽ các vecto $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}=\overrightarrow{b}.$ Hỏi hai vecto $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}$ có mối quan hệ gì?

Trả lời:

Hoạt động 2: Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Trả lời:

AB−→−+AD−→−= DC−→−+AD−→−= AC−→−.

Vậy AB−→−+AD−→− = AC−→−.

Hoạt động 3: 

a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra các vecto $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và vecto $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

b) Trong Hình 4,14b, hãy chỉ ra các vecto $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}$ và vecto $\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

Trả lời:

Trong Hình 4.14a:

Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

Trong Hình 4.14b:

Ta có:

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

Luyện tập 1: Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và $\widehat{BAD}={120}^0$. Tính độ dài của các vecto 

$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}$

Trả lời:

2. Hiệu của hai vectơ

Hoạt động 4: Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vecto để biểu diến hai lực cân bằng thì hai vecto này có mối quan hệ gì với nhau?

Trả lời:

- Hai lực cân bằng là hai lực mạnh như nhau, có cùng phương nhưng ngược chiều, tác dụng vào cùng một vật. Hai vecto sẽ ngược hướng nhau, điểm đầu của vecto này là điểm cuối của vecto kia và có độ dài bằng nhau.

Luyện tập 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Trả lời:

Gọi P và Q lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.

Khi đó AOBP, DOCQ là các hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{ON}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$

$=2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}=2\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}\right)$

Mà hai vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vecto đối nhau, do đó $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Vận dụng: Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260kg) lên một con dốc nghiêng 300 so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?

Chú ý: Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\overrightarrow{P}$ (có độ lớn $\left|\overrightarrow{P}\right|=22148N$, có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực $\overrightarrow{\text{W}}$ (có độ lớn $\left|\overrightarrow{\text{W}}\right|=\left|\overrightarrow{P}\right|cos{30}^0$ phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo $\overrightarrow{F}$ (theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc).

Trả lời:

Xét ΔOBC vuông tại O, có:

OC = sin30.BC = |P|sin300.

Ta có khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\overrightarrow{P}$, phản lực $\overrightarrow{\text{W}}$ và lực kéo $\overrightarrow{F}$. Đề kéo được khẩu pháo đi lên ta cần lực $\overrightarrow{F}$ thỏa mãn điều kiện: $\left|\overrightarrow{F}\right|>\left|\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}\right|$

Mặt khác $\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{OC}\iff \left|\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|$

$=\left|P\right|\sin {30}^0=22148.\sin {30}^0=11074N$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F}\right|>11074N$

Ta có: 11 074 : 100 = 110,74 

Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu số người để kéo pháo là 111 người.

Vậy ta cần một lực kéo lớn hơn 11 074N để kéo khẩu pháo đi lên và nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên.

Bài tập

Bài 4.6: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0};$

b) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD};$

Trả lời:

Bài 4.7: Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Tìm mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$.

Trả lời:

Bài 4.8: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài các vecto $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Trả lời:

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=a$

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành)

Gọi M là giao điểm của AD và BC

⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)

Xét ΔABC, có:

AB2 = AM2 + BM2 (định lí Py – ta – go)

⇒ AM2 = AB2 – BM2

= $A{B}^2-{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AD=2AM=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{3}$

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=a,\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{3}$.

Bài 4.9: Hình 4.19 biểu diễn hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ cùng tác động lên một vật, cho $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=3N,\left|\overrightarrow{F_2}\right|=2N.$ Tính độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$.

Trả lời:

Trên hình vẽ, hai lực F1−→,F2−→ lần lượt được biểu diễn bởi hai vecto: AB−→− và AC−→−.

Vẽ hình bình hành ABDC với góc CAB= 120o

F1−→+F2−→= AB−→−+AC−→−= AD−→− 

Ta có: ABDˆ=60o

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABD có: AD2=BD2+BA2−2BD.BA.cosABDˆ

=> AD=7–√≈2,65

Vậy |F1−→+F2−→| = 2,65 N.

Bài 4.10: Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn giữ được lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Trả lời: