Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Mở đầu: Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng tọa độ. Trong thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ (13,8; 108,3) đến vị trí tọa độ (14,1; 106,3). Dựa vào thông tin trên, liệu ta có thể dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó hay không?

Trả lời:

- Dựa vào thông tin trên, ta có thể dự đoán được tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó.

1. Tọa độ của vectơ

Hoạt động 1: Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}$ (H.4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số $-\frac{3}{2}.$ Hãy biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ theo vecto đơn vị $\overrightarrow{i}$.

Trả lời:

Hoạt động 2: Trong Hình 4.33:

a) Hãy biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ theo các vecto $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$.

b) Hãy biểu thị vecto $\overrightarrow{MN}$ theo các vecto $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ từ đó biểu thị vecto $\overrightarrow{MN}$ theo các vecto $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$.

Trả lời:

a. Ta có:

• OM−→−=OH−→−+OK−→−

= 3i→+5j→.

• ON−→−=OP−→−+OQ−→−

= −2i→+52j→.

b. MN−→−=ON−→−+OM−→−

= −2i→+52j→ - (3i→+5j→)

= −5i→+−52j→

Luyện tập 1: Tìm tọa độ của $\overrightarrow{0}$.

Trả lời:

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Hoạt động 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow{u}=\left(2;-3\right),\overrightarrow{v}=\left(4;1\right),\overrightarrow{a}=\left(8;-12\right).$

a) Hãy biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{a}$ theo các vecto $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}.$

b) Tìm tọa độ của các vecto $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},4\overrightarrow{u}.$

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{a}.$

Trả lời:

a) Ta có:

$\overrightarrow{u}=\left(2;-3\right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j};$

$\overrightarrow{v}=\left(4;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{v}=4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j};$

$\overrightarrow{a}=\left(8;-12\right)\Rightarrow \overrightarrow{a}=8\overrightarrow{i}-12\overrightarrow{j}.$

b) Ta có:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}=6\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(6;-2\right)$

$4\overrightarrow{u}=4\left(2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}\right)=8\overrightarrow{i}-12\overrightarrow{j}$

$\Rightarrow 4\overrightarrow{u}=\left(8;-12\right).$

c) Ta có $\overrightarrow{a}=\left(8;-12\right)=4\overrightarrow{u}$.

Hoạt động 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(x0;y0) . Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35).

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow{OP}$ theo $\overrightarrow{i}$ và tính độ dài của $\overrightarrow{OP}$ theo x0.

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow{OQ}$ theo $\overrightarrow{j}$và tính độ dài của $\overrightarrow{OP}$ theo y0.

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của $\overrightarrow{OM}$ theo x0, y0.

d) Biểu thị $\overrightarrow{OM}$ theo các vecto $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$.     

Trả lời:

a. Điểm P biểu diễn số xo.

OP−→− = xoi→

|OP−→−| = |xo |

b. Điểm Q biểu diễn số yo.

OQ−→− = yoj→

|OQ−→−| = |yo |

c. |OM−→−| = OP2+MP2−−−−−−−−−−√= OP2+MP2−−−−−−−−−−√=x2o+y2o−−−−−−√

d. OM−→− = xoi→+yoj→.

Hoạt động 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x; y) và N(x’; y’).

a) Tìm tọa độ của các vecto $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$.

b) Biểu thị vecto $\overrightarrow{MN}$ theo các vecto $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ và tìm tọa độ của $\overrightarrow{MN}.$

c) Tìm độ dài của vecto $\overrightarrow{MN}.$

Trả lời:

Luyện tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;1), B(3;3).

a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm M(x;y) để OABM là một hình bình hành.

Trả lời:

a. Xét vecto: OA−→−(2;1) và OB−→−(3;3) không cùng phương vì 23≠13. Do đó các điểm O, A, B không thẳng hàng.

b. OABM là hình bình hành khi  và chỉ khi OA−→− = MB−→−.

Ta có: OA−→−(2;1) và MB−→−(3−x;3−y)

OA−→− = MB−→− ⇔{3−x=23−y=1

⇔x=1;y=2

Vậy điểm cần tìm là M(1; 2).

Vận dụng: Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ dự báo.

Trong 12 giờ, tâm bão được dự báo di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3). Gọi tọa độ của M là (x;y). Bạn hãy tìm mối liên hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ rồi thể hiện mối quan hệ đó theo tọa độ để tìm x; y.

Trả lời:

Do vật di chuyển thẳng đều nên điểm M thuộc vào đoạn thẳng AB.

Do đó $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$

Ta có: $\overrightarrow{AM}\left(x-13,8;y-108,3\right),\overrightarrow{AB}\left(0,3;-2\right)$

Để $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ thì tồn tại k ∈ ℝ thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$

$\iff \{\begin{array}{c}x-13,8=k.0,3\\ y-108,3=-2k\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=k.0,3+13,8\\ y=-2k+108,3\end{array}$

Ta có vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ dự báo nên $k=\frac{AM}{AB}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=\frac{3}{4}.0,3+13,8=14,025\\ y=-2.\frac{3}{4}+108,3=106,8\end{array}$

$\Rightarrow M\left(14,025;106,8\right)$

Vậy ở thời điểm 9 giờ tâm bão là điểm M ở vị trí M(14,025; 106,8).

Bài tập

Bài 4.16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1;3), N(4;2).

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Trả lời:

Bài 4.17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vecto $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j},\overrightarrow{b}\left(4;-1\right)$ và các điểm M(-3;6), N(3;-3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vecto $\overrightarrow{MN}$ và $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}.$

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x;y) để OMPN là hình bình hành.

Trả lời:

a. a→(3;−2)

MN−→−(6;−9)

2a→−b→=2(3;−2)−(4;−1)=(2;−3).

Ta có: 26=−3−9 nên 2a→−b→ là hai vecto cùng phương.

b. OM−→−(−3;6) và ON−→−(3;−3) 

Do 26≠−3−9 nên OM−→− và OM−→− không cùng phương.

Suy ra O, M, N không thẳng hàng.

c. OMNP là hình bình hành khi và chỉ khi OM−→−=PN−→−

Ta có: OM−→−(−3;6) và PN−→−(3−x;−3−y)

OM−→−=PN−→−

⇔{3−x=−3−3−y=6

⇔x=6;y=−9

Vậy P(6; -9)

Bài 4.18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;3), B(2;4), C(-3;2).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.

Trả lời:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(1;1\right),\overrightarrow{AC}\left(-4;-1\right)$

Hai vecto $\overrightarrow{AB}\left(1;1\right),\overrightarrow{AC}\left(-4;-1\right)$ không cùng phương (vì $\frac{1}{-4}\ne \frac{1}{-1}$). Suy ra các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó A, B, C không thẳng hàng.

b.

Tọa độ trung điểm M là: (xA+xB2;yA+yB2)=(1+22;3+42)=(32;72)

Vậy M(32;72).

c. 

Tọa độ trọng tâm G là:

(xA+xB+xC3;yA+yB+yC3)=(1+2−33;3+4+23)=(0;3)

Vậy G (0;3)

d. Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì: 

{0=xA+xB+x3=1+2+x30=yA+yB+y3=3+4+y3

=> x = -3; y = -7

=> D(-3; -7)

Bài 4.19: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(1;2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vecto $\overrightarrow{v}=\left(3;4\right).$ Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Trả lời:

Gọi A’(x’; y’) là vị trí tàu thủy đến sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Khi đó, ta có:

$\{\begin{array}{c}x\text{'}=1+1,5.3\\ y\text{'}=2+1,5.4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\text{'}=5,5\\ y\text{'}=8\end{array}\Rightarrow A\text{'}\left(5,5;8\right)$

Vậy sau khi khởi hành 1,5 giờ thì tàu thủy đến được vị trí A’(5,5;8).

Bài 4.20: Trong Hình 4.38, quân mã đang vị trí có tọa độ (1;2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Trả lời:

a) Quân mã đi theo đường chéo hình chữ nhật có chiều dài 3 ô, chiều rộng 2 ô.

Do đó, từ vị trí hiện tại, quân mã có thể đi đến các vị trí A, B, C, D, E, F như dưới đây:

A có tọa độ (3; 3)

B có tọa độ (3; 1)

C có tọa độ (2; 0)

D có tọa độ (0; 0)

E có tọa độ (0; 4)

F có tọa độ (2; 4)

Vậy quân mã có thể đi đến các vị trí A(3;3), B(3;1), C(2;0), D(0;0), E(0;4), F(2;4).