Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Mở đầu:

Trả lời:

1. Giá trị lượng giác của một góc

Hoạt động 1:

a) Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

α = 90°;

α < 90°;

α > 90°;

b) Khi 0° < α < 90°, nêu mối quan hệ giữa cosα, sinα với hoành độ và tung độ của điểm M.

Trả lời:

a.

α=90o: M trùng với điểm C.

α<90o: M nằm trên cung CA (không trùng C và A)

α>90o: M nằm trên cung CB (không trùng C và B).

b. cos α bằng hoành độ của M, sin α bằng tung độ của M.

Luyện tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc 1200 (H.3.4).

Trả lời:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}={120}^0$. Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông của M lên các trục Ox, Oy.

Vì ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}={120}^0$ nên ${\mathrm{NOM^\backslash widehat\{NOM\}NOM}}^{}=180°-120°=60°$

Xét tam giác vuông MON, có:

$\text{ON = OMcos60}°=\frac{1}{2}$; $\text{OP = MN = OMsin60}°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mặt khác điểm M nằm bên trái trục tung nên có tọa độ là $\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Theo định nghĩa, ta có:

$\sin {120}^0=\frac{\sqrt{3}}{2};$

$cos{120}^0=-\frac{1}{2};$

$\tan {120}^0=\frac{\sin {120}^0}{cos{120}^0}=-\sqrt{3};$

$cot{120}^0=\frac{cos{120}^0}{\sin {120}^0}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$

$2.\; Mối\; quan\; hệ\; giữa\; các\; giá\; trị\; lượng\; giác\; của\; hai\; góc\; bù\; nhau$

Hoạt động 2: Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M và M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa sinα và sin(180° - α), giữa cosα và cos(180° - α).

Trả lời:

Hai điểm M và M’ đối xứng với nhau qua trục Oy.

Ta có: ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}=\alpha \Rightarrow \sin \alpha =y_0,cos\alpha =x_0$

Ta lại có: ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}\text{'}}^{}={180}^0-\alpha$

$\Rightarrow \sin \left({180}^0-\alpha \right)=y_0,cos\left({180}^0-\alpha \right)=-x_0$

$\Rightarrow \sin \alpha =\sin \left({180}^0-\alpha \right)=y_0,$

$cos\alpha =-cos\left({180}^0-\alpha \right).$

Luyện tập 2: Trong Hình 3.6 hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau α và 90° - α $\left({\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}=\alpha ,{\mathrm{xON^\backslash widehat\{xON\}xON}}^{}={90}^0-\alpha \right)$. Chứng minh rằng ΔMOP = ΔNOQ. Từ đó nêu mối quan hệ giữa cosα và sin(90° - α)

Trả lời:

Xét ΔMOP và ΔNOQ có:

$\widehat{OPM}=\widehat{OQN}=90^{\circ}$

OM = ON

$\widehat{POM}=\widehat{QON}$

Suy ra: ΔMOP=ΔNOQ.

Từ đó: cosα = sin(90o−α).

Vận dụng: Một chiếc đu quay có bán kính 75m, tâm của vòng quay ở độ cao 90m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào Cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Trả lời:

Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.

Quy ước 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ Oxy ứng với 75 m trên thực tế.

Ta có đường tròn đơn vị như hình vẽ với A là vị trí thấp nhất của cabin, M là vị trí của cabin sau 20 phút quay và các điểm P, Q là hình chiếu của điểm M lên các trục tọa độ Ox, Oy.

Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin đi quãng đường bằng $\frac{2}{3}$ vòng.

Từ đó suy ra ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}=\frac{2}{3}.360°-90°=150°$.

Do đó M có tung độ bằng sin150° = $\frac{1}{2}$.

Suy ra OQ = $\frac{1}{2}$, mà 1 đơn vị trong mặt phẳng tọa độ bằng 75 m trên thực tế nên độ dài đoạn thẳng OQ ứng với $75.\frac{1}{2}=37,5$ m trên thực tế.

Do đó, độ cao của cabin sau 20 phút quay là: 37,5 + 90 = 127,5 (m).

Vậy sau 20 phút quay người ngồi trong cabin ở độ cao 127,5 m.

Bài tập

Bài 3.1: Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a) (2sin300 + cos1350 – 3tan1500).(cos1800 – cot600);

b) sin2900 + cos21200 + cos200 – tan2600 + cot21350;

c) cos600.sin300 + cos2300.

Chú ý: ${\sin }^2\alpha ={\left(\sin \alpha \right)}^2,co{s}^2\alpha ={\left(cos\alpha \right)}^2,$

${\tan }^2\alpha ={\left(\tan \alpha \right)}^2,{\cot }^2\alpha ={\left(\cot \alpha \right)}^2.$

Trả lời:

Bài 3.2: Đơn giản các biểu thức sau:

a) sin1000 + sin800 + cos160 + cos 1640;

b) 2sin(1800 – α)cotα – cos(1800 – α).tanα.cos(1800 – α) với 00 < α < 900.

Trả lời:

a. sin100o +sin80o + cos16o + cos164o

= sin100o +sin100o + cos16o- cos16o

= 2sin100o

b. 2sin(180o−α).cotα  – cos(180o−α)tanα .cot(180o−α)

= 2sinα.cotα  + cos(α)tanα .(-cot(α)

= 2cosα - cosα

= cosα

Bài 3.3: Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin2α + cos2α = 1;

b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }\left(\alpha \ne {90}^0\right);$

c) $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(0^0<\alpha <{180}^0\right).$

Trả lời:

a)

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Từ M kẻ MH ⊥ Ox và MK ⊥ Oy. Khi đó:

OH = |cosα| , OK = |sinα| = sinα.

Xét tam giác OHK vuông tại O, ta có:

OH2 + OK2 = HK2 (định lí Pythagore)

Mà HK = OM = 1 (tứ giác OHMK là hình chữ nhật)

Do đó, OH2 + OK2 = 1

Suy ra |cosα|2 + (sinα)2 = 1 hay sin2α + cos2α = 1 (đpcm).

b) Ta có:

$1+{\tan }^2\alpha =1+{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2=1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }$

$=\frac{{\text{cos}}^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }\left(\alpha \ne {90}^0\right);$

c) Ta có:

$1+{\cot }^2\alpha =1+{\left(\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }\right)}^2=1+\frac{co{s}^2\alpha }{{\text{sin}}^2\alpha }$

$=\frac{{\text{cos}}^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\text{sin}}^2\alpha }=\frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }\left(0^0<\alpha <{180}^0\right);$

Bài 3.4: Cho góc α ( 00 < α < 1800) thỏa mãn tanα = 3.

Tính giá trị của biểu thức: $P=\frac{2\sin \alpha -3cos\alpha }{3\sin \alpha +2cos\alpha }.$

Trả lời: