Bài 2.53: Tìm x ∈ {50; 108; 189; 1 234; 2 019; 2 020} sao cho:
a) x - 12 chia hết cho 2;
b) x - 27 chia hết cho 3;
c) x + 20 chia hết cho 5;
d) x + 36 chia hết cho 9.
Lời giải:
a) x - 12 chia hết cho 2
Mà 12 chia hết cho 2 nên x chia hết cho 2
Vậy giá trị của x thỏa mãn là 50, 108, 1 234, 2 020.
b) x - 27 chia hết cho 3;
Mà 27 chia hết cho 2 nên x chia hết cho 3
Vậy giá trị của x thỏa mãn là 108, 189, 2 019.
c) x + 20 chia hết cho 5;
Mà 20 chia hết cho 5 nên x chia hết cho 5
Vậy giá trị của x thỏa mãn là 50, 2 020.
d) x + 36 chia hết cho 9
Mà 36 chia hết cho 9 nên x chia hết cho 9
Vậy giá trị của x thỏa mãn là 108, 189
Bài 2.54: Thực hiện phép tính sau rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố
a)142 + 52 + 22;
b) 400 : 5 + 40.
Lời giải:
a) 142 + 52 + 22 = 196 + 25 + 4 = 225
Phân tích 225 ra thừa số nguyên tố:
Vậy 142 + 52 + 22 = 225 = 32.52
b) 400 : 5 + 40 = 80 + 40 = 120
Phân tích 120 ra thừa số nguyên tố
Vậy 400 : 5 + 40 = 120 = 23.3.5.
Bài 2.55: Tìm ƯCLN và BCNN của:
a) 21 và 98;
b) 36 và 54.
Lời giải:
a) Ta có: 21 = 3.7; 98 = 2.72
=> ƯCLN(21, 98) = 7 ; BCNN(21, 98) = 2.3.72 = 294
b) Ta có: 36 = 22.32, 54 = 2.33
ƯCLN(36, 54) = 2.32 = 18; BCNN(36, 54) = 22.33 = 108.
Bài 2.56: Các phân số sau đã tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.
a)
b)
Lời giải:
a)
Ta thấy ƯCLN(27, 123) = 3 nên phân số đã cho chưa tối giản
Ta có
b)
Ta thấy ƯCLN(33, 77) = 11 nên phân số đã cho chưa tối giản
Ta có
Bài 2.57: Thực hiện phép tính:
a)
b)
Lời giải:
a) Ta có: 12 = 22.3; 16 = 24 nên BCNN(12, 16) = 24.3 = 48 nên ta có thể chọn mẫu chung là 48.
b) Ta có: 15 = 3.5; 9 = 32 nên BCNN(15, 9) = 32.5 = 45 nên ta có thể chọn mẫu chung là 45.
Bài 2.58: Có 12 quả cam, 18 quả xoài và 30 quả bơ. Mẹ muốn Mai chia đều mỗi loại quả đó vào các túi sao cho mỗi túi đều có cam, xoài, bơ. Hỏi Mai có thể chia được nhiều nhất là mấy túi quà?
Lời giải:
Vì mẹ muốn Mai chia đều mỗi loại quả đó vào các túi quà sao cho mỗi túi đều có cả cam, xoài và bơ nên số túi là ƯC(12, 18, 30). Do đó số túi quà nhiều nhất mà Mai có thể chia được là ƯCLN(12, 18, 30)
Ta có: 12 = 22.3; 18 = 2.32; 30 = 2.3.5
Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, của 3 là 1
Suy ra ƯCLN(12, 18, 30) = 2.3 = 6
Vậy Mai có thể chia được nhiều nhất 6 túi quà.
Bài 2.59: Bác Nam định kì 3 tháng một lần thay dầu, 6 tháng một lần xoay lốp xe ô tô của mình. Hỏi nếu bác ấy làm hai việc đó cùng lúc vào tháng 4 năm nay, thì lần gần nhất tiếp theo bác ấy sẽ cùng làm hai việc đó vào tháng mấy.
Lời giải:
Số tháng ít nhất tiếp theo mà bác Nam làm hai việc đó cùng một tháng là BCNN(3, 6)
Vì ⁝3 nên BCNN(3, 6) = 6
Do đó sau 6 tháng nữa bác sẽ làm hai việc cùng một tháng.
Nếu bác ấy làm hai việc đó cùng lúc vào tháng 4 năm nay, thì gần nhất lần tiếp theo bác ấy sẽ cùng làm hai việc đó vào tháng 4 + 6 = 10.
Vậy lần gần nhất tiếp theo bác ấy sẽ cùng làm hai việc đó vào tháng 10.
Bài 2.60: Biết rằng hai số 79 và 97 là hai số nguyên tố. Hãy tìm ƯCLN và BCNN của hai số này.
Lời giải:
- Vì 79 và 97 là hai số nguyên tố nên ƯCLN(79, 97) = 1 và BCNN(79, 97) = 79.97 = 7 663
Bài 2.61: Biết hai số 3a.52 và 33.5b có ƯCLN là 33.52 và BCNN là 34.53. Tìm a và b.
Lời giải:
Ta có: ƯCLN.BCNN = 33.52.34.53 = 37.55
Tích hai số đã cho là: 3a. 52. 33.5b = 3a+3.52+b
Vì tích hai số cần tìm bằng tích của ƯCLN và BCNN nên 3a+3.52+b = 37.55
Do đó: a + 3 = 7 và b + 2 = 5 nên a = 4 và b = 3.
Bài 2.62: Bài toán cổ
Bác kia chăn vịt khác thường
Buộc đi cho được chẵn hàng mới ưa
Hàng 2 xếp thấy chưa vừa
Hàng 3 xếp vẫn còn thừa một con
Hàng 4 xếp vẫn chưa tròn
Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy
Xếp thành hàng 7, đẹp thay
Vịt bao nhiêu? Tính được ngay mới tài.
(Biết số vịt chưa đến 200 con)
Lời giải:
Giả sử có a con vịt.
Theo các dữ kiện đề bài cho:
Hàng 2 xếp vẫn chưa vừa nghĩa là a là số lẻ ⇒ a + 1 ⋮ 2 (1)
Hàng 3 xếp vẫn còn thừa 1 con nghĩa là (a – 1) ⋮ 3 (2)
Hàng xếp 5 thiếu 1 con mới đầy nghĩa là (a + 1) ⋮ 5 (3)
Xếp thành hàng 7, đẹp thay nghĩa là a ⋮ 7 (4)
Số vịt chưa đến 200 con nghĩa là a < 200.
Từ (1) và (3) suy ra (a + 1) ∈ BC(2; 5) = B(10) = {0; 10; 20; 30; 40; …}.
a ⋮ 7 nên a + 1 chia 7 dư 1.
Các số là bội của 10, chia 7 dư 1 là 50; 120; 190; 260; …
Mà a + 1 ≤ 200 nên a + 1 = 50; 120 hoặc 190.
– Trường hợp 1: a + 1 = 50 thì a = 49 ⋮ 7 (t/m (4))
a – 1 = 48 ⋮ 3 (t/m (2)).
Vậy a = 49 (thỏa mãn).
– Trường hợp 2: a + 1= 120
Suy ra a = 119, suy ra a – 1 = 118 ⋮̸ 3 (không thỏa mãn (2)) (Loại).
– Trường hợp 3: a + 1 = 190
Suy ra a = 189, suy ra a – 1 = 188 ⋮̸ 3 (không thỏa mãn (2)) (Loại).
Vậy số vịt là 49 con.