Giải SGK Toán 9 Cánh Diều Bài 1: Bất đẳng thức

Khởi động: Tìm hiểu trên Internet, bạn Minh được biết một con voi trưởng thành nặng khoảng 5 000 kg, một con hổ trưởng thành nặng khoảng 200 kg, một con tê giác đen trưởng thành nặng khoảng 450 kg.

Để biểu thị cân nặng của con voi hơn tổng cân nặng của cả con hổ và con tê giác đen, bạn Minh đã viết:

5 000 > 200 + 450.

Hệ thức dạng 5 000 > 200 + 450 gợi nên khái niệm gì trong toán học?

Trả lời:

Hệ thức dạng 5 000 > 200 + 450 gợi nên khái niệm bất đẳng thức trong toán học.

I. Nhắc lại về thứ tự trong tập hợp số thực

Luyện tập, vận dụng 1: So sánh:

a) $5\frac{1}{4}$ và 5,251;

b) $\sqrt{5}$ và $\sqrt{\frac{26}{5}}.$

Trả lời:

a) Do 

b) Ta có .

Do 

II. Bất đẳng thức

Hoạt động 1: Viết hệ thức thể hiện số thực a lớn hơn số thực b.

Trả lời:

- Hệ thức biểu thị số thực a lớn hơn số thực b là a > b

Luyện tập, vận dụng 2: Hãy viết hai cặp bất đẳng thức cùng chiều và hai cặp bất đẳng thức ngược chiều.

Trả lời:

- Ví dụ hai bất đẳng thức cùng chiều là: 3 > $\sqrt{8}$ và $\sqrt{10}$ > 3.

- Ví dụ hai bất đẳng thức ngược chiều là: $\sqrt{10}$ > 3 và $\sqrt{10}$ < 4.

Hoạt động 2: Cho bất đẳng thức 15 > 14. Hãy so sánh hiệu 15 – 14 và 0.

Trả lời:

15 – 14 = 1

Ta có 1 > 0 nên 15 – 14 > 0

Luyện tập, vận dụng 3: Cho a ≥ 2b. Chứng minh:

a) 2a – 1 ≥ a + 2b – 1;

b) 4b + 4a ≤ 5a + 2b.

Trả lời:

Hoạt động 3: Cho bất đẳng thức a > b và cho số thực c.

a) Xác định dấu của hiệu: (a + c) – (b + c).

b) Hãy so sánh: a + c và b + c.

Trả lời:

Do a > b nên a – b > 0.

a) Ta xét hiệu: (a + c) – (b + c) = a + c – b – c = a – b > 0.

Vậy (a + c) – (b + c) > 0.

b) Theo câu a, ta có (a + c) – (b + c) > 0, nên a + c > b + c.

Vậy a + c > b + c.

Luyện tập, vận dụng 4: Chứng minh:

a) $\sqrt{11}-\sqrt{3}>\sqrt{10}-\sqrt{3};$

b) (a – 1)2 ≥ 4 – 2a với a2 ≥ 3.

Trả lời:

a) Do ;

b) 

Suy ra 

Vậy 

Hoạt động 4: Cho bất đẳng thức a > b và số thực c > 0.

a) Xác định dấu của hiệu: ac – bc.

b) Hãy so sánh: ac và bc.

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 5: Cho a ≥ b. Chứng minh: 5b – 2 ≤ 5a – 2.

Trả lời:

Do a ≥ b nên 5a ≥ 5b, suy ra 5a – 2 ≥ 5b – 2.

Vậy 5b – 2 ≤ 5a – 2.

Hoạt động 5: Cho bất đẳng thức a > b và số thực c < 0.

a) Xác định dấu của hiệu: ac – bc.

b) Hãy so sánh: ac và bc.

Trả lời:

a) Hiệu ac – bc = (a – b)c

Mà a > b nên a – b > 0, c < 0 nên (a – b)c < 0 

Hay ac – bc < 0.

b) Vì a > b và c < 0 nên ac < bc.

Luyện tập, vận dụng 6: Cho a ≤ 1. Chứng minh: (a – 1)2 ≥ a2 – 1.

Trả lời:

Hoạt động 6: Cho các bất đẳng thức a > b và b > c.

a) Xác định dấu của các hiệu: a – b, b – c, a – c.

b) Hãy so sánh: a và c.

Trả lời:

a) Do a > b nên a – b > 0.

Do b > c nên b – c > 0.

Xét tổng (a – b) + (b – c) = a – b + b – c = a – c.

Do a – b > 0 và b – c > 0 nên (a – b) + (b – c) > 0.

Do đó a – c > 0.

b) Theo câu a, ta có a – c > 0 nên a > c.

Vậy a > c.

Luyện tập, vận dụng 7: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a > b và c > d. Chứng minh: ac > bd.

Trả lời:

Do a > b nên ac > bc         (1)

Mà c > d 

Nên bc > bd                       (2)

Từ (1) và (2) ta có: ac > bd.

Bài tập

Bài tập 1: Chứng minh:

a) $\sqrt{29}-\sqrt{6}>\sqrt{28}-\sqrt{6};$

b) 26,2 < 2a + 3,2 < 26,4 với 11,5 < a < 11,6.

Trả lời:

Bài tập 2: Chứng minh:

a) 2m + 4 > 2n + 3 với m > n;

b) –3a + 5 > –3b + 5 với a < b.

Trả lời:

a) Do m > n nên 2m > 2n, suy ra 2m + 3 > 2n + 3, do đó 2m + 4 > 2n + 3.

b) Do a < b nên –3a > –3b, suy ra –3a + 5 > –3b + 5.

Bài tập 3:

a) Cho a > b > 0. Chứng minh: $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}.$

b) Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: $\frac{2022}{2023}$ và $\frac{2023}{2024}$.

Trả lời:

a) Bởi vì a > b > 0, 

Giả sử . Ta có thể nhân cả hai vế của bất đẳng thức với ab (một giá trị dương) mà không làm thay đổi hướng của bất đẳng thức.

Rút gọn ta được:

b < a hay a > b (đúng với giả thiết ban đầu) 

Vậy 

b) Do 

Vậy .

Bài tập 4: Chứng minh: x2 + y2 ≥ 2xy với hai số thực x, y tuỳ ý.

Trả lời:

Bài tập 5: Nồng độ cồn trong máu (tiếng Anh là Blood Alcohol Content, viết tắt: BAC) được định nghĩa là tỉ lệ phần trăm lượng rượu (ethyl alcohol hoặc ethanol) trong máu của một người. Chẳng hạn, nồng độ cồn trong máu là 0,05% nghĩa là có 50 mg rượu trong 100 ml máu. Càng uống nhiều rượu bia thì nồng độ cồn trong máu càng cao và càng nguy hiểm khi tham gia giao thông. Nghị định 100/2019/NĐ-CP quy định mức xử phạt vi phạm hành chính đối với người điểu khiển xe gắn máy uống rượu bia khi tham gia giao thông như sau:

Giả sử nồng độ cồn trong máu của một người sau khi uống rượu bia được tính theo công thức sau: y = 0,076 – 0,008t, trong đó y được tính theo đơn vị % và t là số giờ tính từ thời điểm uống rượu bia. Hỏi 3 giờ sau khi uống rượu bia, nếu người này điều khiển xe gắn máy tham gia giao thông thì sẽ bị xử phạt ở mức nào?

Trả lời:

Sau 3 giờ uống rượu bia, nồng độ cồn trong máu của người đó là:

y = 0,076 – 0,008.3 = 0,052 (%)

Tức là, nồng độ cồn trong máu là 52 mg rượu trong 100ml máu.

Do 50 < 52 < 80 nên nếu người này điều khiển xe gắn máy tham gia giao thông thì sẽ bị xử phạt ở mức 2, với hình thức xử phạt từ 4 triệu đồng đến 5 triệu đồng và tước bằng lái xe từ 16 tháng đến 18 tháng.