Giải SGK Toán 9 Cánh Diều Bài 3: Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số

Khởi động:

Để lái xe an toàn khi đi qua đoạn đường có dạng cung tròn, người lái cần biết tốc độ tối đa cho phép là bao nhiêu. Vì thế, ở những đoạn đường đó thường có bảng chỉ dẫn cho tốc độ tối đa cho phép của ô tô. Tốc độ tối đa cho phép v (m/s) được tính bởi công thức $v=\sqrt{rg\mu },$ trong đó r (m) là bán kính của cung đường, g = 9,8 m/s2, μ là hệ số ma sát trượt của đường.

(Nguồn: Math for Real Life: Teaching Practical Uses for Algebra, Geometry and Trigonometry, Jim Libby, năm 2017)

Hãy viết biểu thức tính v theo r khi biết μ = 0,12.

Trong toán học, biểu thức đó được gọi là gì?

Trả lời:

I. Căn thức bậc hai

Hoạt động 1: Cửa hàng điện máy trưng bày một chiếc ti vi màn hình phẳng 55 in, tức là độ dài đường chéo của màn hình ti vi bằng 55 in (1 in = 2,54 cm). Gọi x (in) là chiều rộng của màn hình ti vi (Hình 5).

Viết công thức tính chiều dài của màn hình ti vi theo x.

Trả lời:

Chiều dài của màn hình ti vi: 

Luyện tập, vận dụng 1: Mỗi biểu thức sau có phải là một căn thức bậc hai hay không?

a) $\sqrt{2x-5}.$

b) $\sqrt{\frac{1}{x}}.$

c) $\frac{1}{x+1}.$

Trả lời:

a) Biểu thức $\sqrt{2x-5}$ là một căn thức bậc hai vì 2x – 5 là một biểu thức đại số.

b) Biểu thức $\sqrt{\frac{1}{x}}$ là một căn thức bậc hai vì $\frac{1}{x}$ là một biểu thức đại số.

c) Biểu thức $\frac{1}{x+1}$ không là một căn thức bậc hai.

Luyện tập, vận dụng 2: Tính giá trị của $\sqrt{2x^2+1}$ tại:

a) x = 2;

b) x = -$\sqrt{12}$.

Trả lời:

Hoạt động 2: Cho căn thức bậc hai $\sqrt{x-1}$ Biểu thức đó có xác định hay không tại mỗi giá trị sau?

a) x = 2.

b) x = 1.

c) x = 0.

Trả lời:

Đặt A = x – 1.

a) Thay x = 2 vào biểu thức A, ta được:

A = 2 – 1 = 1 > 0 nên ta xác định được $\sqrt{A}=\sqrt{1}$ = 1.

Vậy biểu thức $\sqrt{x-1}$ xác định tại x = 2.

b) Thay x = 1 vào biểu thức A, ta được:

A = 1 – 1 = 0 nên ta xác định được $\sqrt{A}=\sqrt{0}$ = 0.

Vậy biểu thức $\sqrt{x-1}$ xác định tại x = 1.

c) Thay x = 0 vào biểu thức A, ta được:

A = 0 – 1 = –1 < 0 nên ta không xác định được $\sqrt{A}$.

Vậy biểu thức $\sqrt{x-1}$ không xác định tại x = 0.

Luyện tập, vận dụng 3: Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc hai sau:

a) $\sqrt{x+1};$

b) $\sqrt{x^2+1}.$

Trả lời:

a)  xác định khi x + 1 

b)  xác định khi 

II. Căn thức bậc ba

Hoạt động 3: Thể tích V của một khối lập phương được tính bởi công thức: V = a3 với a là độ dài cạnh của khối lập phương. Viết công thức tính độ dài cạnh của khối lập phương theo thể tích V của nó.

Trả lời:

Từ công thức V = a3, ta suy ra a = $\sqrt[3]{3V}$.

Luyện tập, vận dụng 4: Mỗi biểu thức sau có phải là một căn thức bậc ba hay không?

a) $\sqrt[3]{32x^2-7}.$

b)$\sqrt[3]{3\frac{1}{5x-4}}.$

c) $\frac{1}{7x+1}.$

Trả lời:

a) Biểu thức  là một căn thức bậc ba vì  là một biểu thức đại số.

b) Biểu thức  là một căn thức bậc ba vì  là một biểu thức đại số.

c) Biểu thức  không là một căn thức bậc ba.

Luyện tập, vận dụng 5: Tính giá trị của $\sqrt[3]{3x^3}$ tại x = 3; x = –2; x = –10.

Trả lời:

Hoạt động 4: Cho căn thức bậc ba $\sqrt[3]{3\frac{2}{x-1}}.$ Biểu thức đó có xác định hay không tại mỗi giá trị sau?

a) x = 17.

b) x = 1.

Trả lời:

Đặt A = $\frac{2}{x-1}$.

a) Thay x = 17 vào biểu thức A, ta được: A = $\frac{2}{17-1}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$.

Khi đó $\sqrt[3]{3A}=\sqrt[3]{3\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}.$

Vậy biểu thức $\sqrt[3]{3\frac{2}{x-1}}$ xác định tại x = 17.

b) Thay x = 1 vào biểu thức A, ta được: $\frac{2}{1-1}=\frac{2}{0},$ giá trị này không xác định nên ta cũng không xác định được giá trị của $\sqrt[3]{3A}.$

Vậy biểu thức $\sqrt[3]{3\frac{2}{x-1}}$ không xác định tại x = 1.

Luyện tập, vận dụng 6: Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc ba sau:

a) $\sqrt[3]{3x^2+x};$

b) $\sqrt[3]{3\frac{1}{x-9}}.$

Trả lời:

a)  xác định với mọi số thực x vì  xác định với mọi số thực x.

b)  xác định với 

Bài tập

Bài tập 1: Tính giá trị của mỗi căn thức bậc hai sau:

a) $\sqrt{17-x^2}$ tại x = 1; x = –3; x = 2$\sqrt{2}$;

b) $\sqrt{x^2+x+1}$ tại x = 0; x = –1; x = –7.

Trả lời:

a) Thay x = 1 vào biểu thức $\sqrt{17-x^2}$, ta được:

$\sqrt{17-1^2}=\sqrt{17-1}=\sqrt{16}$ = 4.

Thay x = –3 vào biểu thức $\sqrt{17-x^2},$ ta được:

$\sqrt{17-{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{17-9}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

Thay x = 2$\sqrt{2}$ vào biểu thức $\sqrt{17-x^2},$ ta được:

$\sqrt{17-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{17-8}=\sqrt{9}=3.$

b) Thay x = 0 vào biểu thức $\sqrt{x^2+x+1},$ ta được:

$\sqrt{0^2+0+1}=\sqrt{1}=1.$

Thay x = –1 vào biểu thức $\sqrt{x^2+x+1},$ ta được:

$\sqrt{{\left(-1\right)}^2+\left(-1\right)+1}=\sqrt{1+\left(-1\right)+1}=\sqrt{1}=1.$

Thay x = –7 vào biểu thức $\sqrt{x^2+x+1},$ ta được:

$\sqrt{{\left(-7\right)}^2+\left(-7\right)+1}=\sqrt{49+\left(-7\right)+1}=\sqrt{43}.$

Bài tập 2: Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc hai sau:

a) $\sqrt{x-6}$;

b) $\sqrt{17-x}$;

c) $\sqrt{\frac{1}{x}}$.

Trả lời:

a)  xác định khi x – 6 

b)  xác định khi 17 – x 

c)  xác định khi x 

Bài tập 3: Tính giá trị của mỗi căn thức bậc ba sau:

a) $\sqrt[3]{32x-7}$ tại x = –10; x = 7,5; x = –0,5;

b) $\sqrt[3]{3x^2+4}$ tại x = 0; x = 2; x = $\sqrt{23}$.

Trả lời:

Bài tập 4: Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc ba sau:

a) $\sqrt[3]{33x+2}$;

b) $\sqrt[3]{3x^3-1};$

c) $\sqrt[3]{3\frac{1}{2-x}}.$

Trả lời:

a) $\sqrt[3]{33x+2}$ xác định với mọi số thực x vì 3x + 2 xác định với mọi số thực x.

b) $\sqrt[3]{3x^3-1}$ xác định với mọi số thực x vì x3 – 1 xác định với mọi số thực x.

c) $\sqrt[3]{3\frac{1}{2-x}}$ xác định với x ≠ 2 vì $\frac{1}{2-x}$ xác định với 2 – x ≠ 0 hay x ≠ 2.

Bài tập 5: Có hai xã cùng ở một bên bờ sông. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm A, B của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA’ = 500 m, BB’ = 600 m và khoảng cách A’B’ = 2 200 m (minh họa ở Hình 6). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân hai xã. Giả sử vị trí của trạm cung cấp nước sạch đó là điểm M trên đoạn A’B’ với MA’ = x (m), 0 < x < 2 200.

a) Viết công thức tính tổng khoảng cách MA + MB theo x.

b) Tính tổng khoảng cách MA + MB khi x = 1 200 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Trả lời:

a) Khoảng cách MA + MB theo x: 

MA + MB = 

= 

b) Khi x = 1200

MA + MB = 

=

.

Bài tập 6: Hệ quả của hiện tượng nóng lên toàn cầu là băng của một số sông băng đang tan chảy. Mười hai năm sau khi băng biến mất, những loài thực vật nhỏ bé, được gọi là địa y, bắt đầu mọc trên đá. Mỗi nhóm địa y phát triển ở dạng (gần như) một hình tròn. Đường kính d (mm) của hình tròn này có thể được tính gần đúng bằng công thức: d = 7$\sqrt{t-12}$ với t là số năm tính từ khi băng biến mất (t ≥ 12) (Nguồn: Math for Real Life: Teaching Practical Uses for Algebra, Geometry and Trigonmetry, Jim Libby, năm 2017).

Tính đường kính của hình tròn do địa y tạo nên sau khi băng biến mất 13 năm; 16 năm.

Trả lời:

Với t = 13, đường kính của hình tròn do địa y tạo nên là:

d = 7$\sqrt{13-12}$ = 7$\sqrt{1}$ = 7 (mm).

Với t = 16, đường kính của hình tròn do địa y tạo nên là:

d = 7$\sqrt{16-12}$ = 7$\sqrt{4}$ = 7.2 = 14 (mm).

Bài tập 7: Chiều cao ngang vai của một con voi đực ở châu Phi là h (cm) có thể được tính xấp xỉ bằng công thức: h = 62,5.$\sqrt[3]{3t}$+75,8 với t là tuổi của con voi tính theo năm (Nguồn: Math for Real Life: Teaching Practical Uses for Algebra, Geometry and Trigonmetry, Jim Libby, năm 2017).

a) Một con voi đực 8 tuổi ở châu Phi sẽ có chiều cao ngang vai là bao nhiêu centimét?

b) Nếu một con voi đực ở châu Phi có chiều cao ngang vai là 205 cm thì con voi đó bao nhiêu tuổi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trả lời: