Giải SGK Toán 9 Cánh Diều Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Câu hỏi khởi động: Trên một khu đất có dạng hình vuông, người ta dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc của khu đất để làm bể bơi (Hình 1). Biết diện tích của bể bơi bằng 1 250 m2.

Độ dài cạnh của khu đất bằng bao nhiêu mét?

Trả lời:

I. Phương trình tích có dạng (ax + b)(cx + d) = 0 (a ≠ 0), (a ≠ 0)

Hoạt động 1:

a) Cho hai số thực u, v có tích uv = 0. Có nhận xét gì về giá trị của u, v?

b) Cho phương trình (x – 3)(2x+ 1) = 0.

⦁ Hãy giải mỗi phương trình bậc nhất sau: x – 3 = 0; 2x + 1 = 0.

⦁ Chứng tỏ rằng nghiệm của phương trình x – 3 = 0 và nghiệm của phương trình 2x + 1 = 0 đều là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0.

⦁ Giả sử x = x0 là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0. Giá trị x = x0 có phải là nghiệm của phương trình x – 3 = 0 hoặc phương trình 2x + 1 = 0 hay không?

Trả lời:

a) Ta thấy, uv = 0 khi và chỉ khi u = 0 hoặc v = 0.

b) ⦁ Giải phương trình:

⦁ Chứng tỏ nghiệm của phương trình x – 3 = 0 và nghiệm của phương trình 2x + 1 = 0 đều là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0 như sau:

Thay x = 3 vào vế trái phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0, ta được:

Vế trái = (3 – 3)(2.3 + 1) = 0.7 = 0 = Vế phải.

Do đó nghiệm của phương trình x – 3 = 0 là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0.

Thay $x=-\frac{1}{2}$ vào vế trái phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0, ta được:

Vế trái $=\left(-\frac{1}{2}–3\right)\left[2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+1\right]=-\frac{7}{2}\cdot 0=0=$ Vế phải.

Do đó nghiệm của phương trình 2x + 1 = 0 là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0.

⦁ Vì x = x0 là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0 nên x = x0 thỏa mãn phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0, tức là:

(x0 – 3)(2x0 + 1) = 0

x0 – 3 = 0 hoặc 2x0 + 1 = 0

x0 = 3 hoặc 2x0 = –1

x0 = 3 hoặc $x_0=-\frac{1}{2}.$

Vậy x0 là nghiệm của phương trình x – 3 = 0 hoặc phương trình 2x + 1 = 0.

Luyện tập, vận dụng 1: Giải phương trình: (4x + 5)(3x – 2) = 0.

Trả lời:

+) 4x + 5 = 0 4x =  

+) 3x – 2 = 0  3x =  

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =  

Luyện tập, vận dụng 2: Giải các phương trình:

a) x2 – 10x + 25 = 5(x – 5);

b) 4x2 – 16 = 5(x + 2).

Trả lời:

II. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Hoạt động 2: Cho phương trình $\frac{x+2}{x}=\frac{x-3}{x-2}.\left(1\right)$. Tìm điều kiện của x để cả hai mẫu thức có trong phương trình (1) là khác 0.

Trả lời:

- Để cả hai mẫu thức có trong phương trình $\frac{x+2}{x}=\frac{x-3}{x-2}$ khác 0 thì x ≠ 0 và x – 2 ≠ 0, hay x ≠ 0 và x ≠ 2.

Luyện tập, vận dụng 3: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: $\frac{x-8}{x-7}=8+\frac{1}{1-x}.$

Trả lời:

Điều kiện xác định của phương trình là các mẫu thức trong các phương trình đều khác 0.

Hay x

Hoạt động 3: Cho phương trình:

$\frac{2x+1}{2x}=1-\frac{2}{x-3}.\left(2\right)$

Hãy giải phương trình (2) theo các bước sau:

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (2).

b) Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức các phân thức ở hai vế của phương trình (2) và khử mẫu.

c) Giải phương trình vừa tìm được.

d) Kiểm tra điều kiện xác định của phương trình (2) đối với các giá trị của ẩn vừa tìm được rồi kết luận.

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 4: Giải phương trình:

$\frac{x}{x-2}+\frac{1}{x-3}=\frac{2}{\left(2-x\right)\left(x-3\right)}.$

Trả lời:

Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ 3.

$\frac{x}{x-2}+\frac{1}{x-3}=\frac{2}{\left(2-x\right)\left(x-3\right)}$

$\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\frac{-2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}$

x(x – 3) + x – 2 = –2

x2 – 3x + x – 2 + 2 = 0

x2 – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 hoặc x – 2 = 0

x = 0 hoặc x = 2.

Ta thấy x = 0 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình và x = 2 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0.

Luyện tập, vận dụng 5: Một đội công nhân làm đường nhận nhiệm vụ trải nhựa 8 100 m2 mặt đường. Ở giai đoạn đầu, đội trải được 3 600 m2 mặt đường. Ở giai đoạn sau, đội công nhân tăng năng suất thêm 300 m2/ngày rồi hoàn thành công việc. Hỏi đội công nhân đã hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Biết rằng thời gian làm việc của hai giai đoạn là như nhau và năng suất lao động của đội trong từng giai đoạn là không thay đổi.

Trả lời:

Gọi số ngày làm việc ở mỗi giai đoạn của đội công nhân là x (ngày) (x > 0)

Như vậy, ở giai đoạn đầu, số m2 mặt đường mỗi ngày mà đội công nhân trải được là 

Ở giai đoạn hai, số m2 mặt đường mỗi ngày mà đội công nhân trải được là 

Vậy ta có phương trình 

3600 + 3600 + 300x = 8100

300x = 900

Vậy đội công nhân đã hoàn thành công việc trong 6 ngày (hai giai đoạn, mỗi giai đoạn 3 ngày).

Bài tập

Bài tập 1: Giải các phương trình:

a) (9x – 4)(2x + 5) = 0;

b) (1,3x + 0,26)(0,2x – 4) = 0;

c) 2x(x + 3) – 5(x + 3) = 0;

d) x2 – 4 + (x + 2)(2x – 1) = 0.

Trả lời:

a) Để giải được phương trình (9x – 4)(2x + 5) = 0, ta giải hai phương trình sau:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{4}{9}$ và $x=-\frac{5}{2}.$

b) Để giải được phương trình (1,3x + 0,26)(0,2x – 4) = 0, ta giải hai phương trình sau:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –0,2 và x = 20.

c) 2x(x + 3) – 5(x + 3) = 0

    (x + 3)(2x – 5) = 0.

Để giải được phương trình (x + 3)(2x – 5) = 0, ta giải hai phương trình sau:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –3 và $x=\frac{5}{2}.$

d) x2 – 4 + (x + 2)(2x – 1) = 0

(x – 2)(x + 2) + (x + 2)(2x – 1) = 0

(x + 2)(x – 2 + 2x – 1) = 0

(x + 2)(3x – 3) = 0.

Để giải được phương trình (x + 2)(3x – 3) = 0, ta giải hai phương trình sau:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và x = 1.

Bài tập 2: Giải các phương trình:

a) $\frac{1}{x}=\frac{5}{3\left(x+2\right)};$

b) $\frac{x}{2x-1}=\frac{x-2}{2x+5};$

c) $\frac{5x}{x-2}=7+\frac{10}{x-2};$

d) $\frac{x^2-6}{x}=x+\frac{3}{2}.$

Trả lời:

a)

Điều kiện xác định: x 

Quy đồng khử mẫu với MTC: 3x(x+2)

3(x + 2) = 5x

 2x = 6

 x = 3 ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 3

b) 

Điều kiện xác định: 

Quy đồng và khử mẫu với MTC: (2x – 1)(2x + 5)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 

c) 

Điều kiện xác định x 

Quy đồng khử mẫu với MTC: (x-2)

5x = 7(x – 2) + 10

 5x = 7x 

 2x = 4 

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

d) 

Điều kiện xác định: 

Quy đồng khử mẫu với MTC: 2x

 3x =

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x =  

Bài tập 3: Một ca nô đi xuôi dòng từ địa điểm A đến địa điểm B, rồi lại đi ngược dòng từ địa điểm B trở về địa điểm A. Thời gian cả đi và về là 3 giờ. Tính tốc độ của dòng nước. Biết tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là 27 km/h và độ dài quãng đường AB là 40 km.

Trả lời:

Bài tập 4: Một doanh nghiệp sử dụng than làm chất đốt trong quá trình sản xuất sản phẩm. Doanh nghiệp đó lập kế hoạch tài chính cho việc loại bỏ chất ô nhiễm trong khí thải theo dự kiến sau: Để loại bỏ p% chất ô nhiễm trong khí thải thì chi phí C (triệu đồng) được tính theo công thức $C=\frac{80p}{100-p}$ với 0 ≤ p < 100 (Nguồn: Intermediate Algebra, Fifth Edition, Ron Larson, năm 2009). Với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được bao nhiêu phần trăm chất gây ô nhiễm trong khí thải?

Trả lời:

Với chi phí là 420 triệu đồng thì ta có C = 420, tức là ta có phương trình: $\frac{80p}{100-p}=420.$

Giải phương trình:

$\frac{80p}{100-p}=420$

$\frac{80p}{100-p}=\frac{420\left(100-p\right)}{100-p}$

      80p = 42 000 – 420p

80p + 420p = 42 000

          500p = 42 000

                p = 84 (thỏa mãn điều kiện 0 ≤ p < 100).

Vậy với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được 84% chất gây ô nhiễm trong khí thải.

Bài tập 5: Bạn Hoa dự định dùng hết số tiền 600 nghìn đồng để mua một số chiếc áo đồng giá tặng các bạn có hoàn cảnh khó khăn. Khi đến cửa hàng, loại áo mà bạn Hoa dự định mua được giảm giá 30 nghìn đồng/chiếc. Do vậy, bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với số lượng dự định. Tính giá tiền của mỗi chiếc áo mà bạn Hoa đã mua.

Trả lời:

Gọi là x (nghìn đồng) là số tiền mà Hoa phải trả để mua một chiếc áo (x > 0)

Giá mỗi chiếc áo khi chưa giảm là x + 30 (nghìn đồng)

Số áo mua thực tế là 

Bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với sô lượng dự định, nên ta có phương trình

 x + 30 = 1,25x 

 0,25x = 30

 x = 120 (nghìn đồng)

Vậy giá tiền mỗi chiếc áo bạn Hoa đã mua là 120 nghìn đồng.

Bài tập 6: Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 52 m. Trên mảnh đất đó, người ta làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật với diện tích là 112 m2 và một lối đi xung quanh vườn rộng 1 m (Hình 2). Tính các kích thước của mảnh đất đó.

Trả lời: