Giải SGK Toán 9 Cánh Diều Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu hỏi khởi động: Một nhóm khách vào cửa hàng bán trà sữa. Nhóm khách đó đã mua 6 cốc trà sữa gồm trà sữa trân châu và trà sữa phô mai. Giá mỗi cốc trà sữa trân châu, trà sữa phô mai lần lượt là 33 000 đồng, 28 000 đồng. Tổng số tiền nhóm khách thanh toán cho cửa hàng là 188 000 đồng. Hỏi nhóm khách đó mua bao nhiêu cốc trà sữa mỗi loại?

Trả lời:

I. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Hoạt động 1: Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}-x+y=3\left(1\right)\\ 3x+2y=11\left(2\right)\end{array}\right(I)$

Hãy giải hệ phương trình (I) theo các bước sau:

a) Từ phương trình (1), ta biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình (2) để được phương trình ẩn x.

b) Giải phương trình (ẩn x) vừa nhận được để tìm giá trị của x.

c) Thay giá trị vừa tìm được của x vào biểu thức biểu diễn y theo x ở câu a để tìm giá trị của y. Từ đó, kết luận nghiệm của hệ phương trình (I).

Trả lời:

a) Từ phương trình (1) ta có 

Thay vào phương trình (2) ta được

 (3)

b) Giải phương trình (3)

Vậy x = 1

c) y = x + 3 = 1 + 3 = 4

Vậy x = 4

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = (1 ; 4).

Luyện tập, vận dụng 1: Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x-3y=2\\ -2x+5y=1.\end{array}$

Trả lời:

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x-3y=2\left(1\right)\\ -2x+5y=1.\left(2\right)\end{array}$

Từ phương trình (1), ta có x = 2 + 3y (3)

Thế vào phương trình (2), ta được: –2.(2 + 3y) + 5y = 1. (4)

Giải phương trình (4):

–2.(2 + 3y) + 5y = 1

      –4 – 6y + 5y = 1

                      –y = 5

                        y = –5.

Thay y = –5 vào phương trình (3), ta có: x = 2 + 3.(–5) = 2 – 15 = –13.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (–13; –5).

Luyện tập, vận dụng 2: Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}-2x+4y=5\\ -x+2y=1.\end{array}$

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 3: Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x-3y=4\\ -2x+6y=-8.\end{array}$

Trả lời:

Từ phương trình (1) ta có: x = 4 + 3y                 (3)

Thay vào phương trình (2), ta được:                (4)

Giải phương trình (4):                

0y =0

Do đó, phương trình (4) có vô số nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

II. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Hoạt động 2: Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{cc}x+y=7& \left(1\right)\\ x-y=1& \left(2\right)\end{array}\right(II)$

a) Các hệ số của y trong hai phương trình (1) và (2) có đặc điểm gì?

b) Cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta nhận được phương trình nào?

c) Giải phương trình nhận được ở câu b. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình (II).

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 4: Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}3x+2y=5\\ 5x+2y=7.\end{array}$

Trả lời:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}3x+2y=5\left(1\right)\\ 5x+2y=7.\left(2\right)\end{array}$

Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình:

–2x = –2, tức là x = 1.

Thay x = 1 vào phương trình (1), ta có: 3.1 + 2y = 5. (3)

Giải phương trình (3):

3.1 + 2y = 5

   3 + 2y = 5

         2y = 2

           y = 1.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).

Hoạt động 3: Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}2x+5y=-3\left(1\right)\\ -3x+7y=-10\left(2\right)\end{array}\right(III)$

a) Các hệ số của x trong hai phương trình (1) và (2) có bằng nhau (hoặc đối nhau) hay không? Các hệ số của y trong hai phương trình (1) và (2) có bằng nhau (hoặc đối nhau) hay không?

b) Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với 2, ta được hệ phương trình mới với hệ số của x trong hai phương trình đó có đặc điểm gì?

c) Giải hệ phương trình nhận được ở câu b. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình (III).

Trả lời:

a) Các hệ số của x trong phương trình (1) và (2) đối nhau

Các hệ số y của trong hai phương trình (1) và (2) không đối nhau hoặc bằng nhau.

b) Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với 2 ta được

Hệ số x trong hai phương trình đối nhau.

c) Cộng từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: 

29y = (5)

Giải phương trình (5), ta có: 29y = 

y = 

Thế giá trị y =  vào phương trình (1), ta được phương trình: 

2x + 5(=                  (6)

Giải phương trình (6): 

2x + 5(=                  

2x – 5 = – 3 

2x = 2

x =1.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = (1 ; -1).

Luyện tập, vận dụng 5: Giải bài toán ở phần mở đầu.

Trả lời:

III. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Luyện tập, vận dụng 6: Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}3x-2y=1\\ -6x+y=3.\end{array}$

Trả lời:

Sử dụng loại máy tính phù hợp (chẳng hạn ta dùng máy tính VINACAL 680EX PLUS), ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra $x=-\frac{7}{9}.$

Ấn tiếp phím $=$ ta thấy trên màn hình hiện ra $y=-\frac{5}{3}.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(x;y\right)=\left(-\frac{7}{9};-\frac{5}{3}\right).$

Chú ý: Ta có thể dùng máy tính Casio 570 ES Plus ấn liên tiếp các phím:

Sau đó thực hiện bước tiếp theo tương tự như trên.

Bài tập

Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\{\begin{array}{c}x-2y=0\\ 3x+2y=8;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}y=-2\\ \frac{3}{2}x-y=4;\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}4x-2y=1\\ -2x+y=0.\end{array}$

Trả lời:

Từ phương trình thứ (1), ta có x = 2y       

Thế vào (2), ta được: 3.(2y) + 2y = 8         (3)

Giải phương trình (3) ta được:

3.(2y) + 2y = 8         

6y + 2y = 8

8y = 8

y = 1

Mà x = 2y nên x = 2.1 = 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y) = (2 ; 1).

b) 

Từ phương trình (2), ta có: y = 

Thay vào phương trình (1), ta được:         (3)

Giải phương trình (3) 

0x = 0

Vậy phương trình (3) có vô số nghiệm

Vậy hệ có vô số nghiệm.

Từ phương trình (2), ta có: y = 2x

Thế vào phương trình (1), ta được: 4x – 2.2x = 1  (3)

Giải phương trình (3)

4x – 2.2x = 1 

4x – 4x = 1

0x = 1

Vậy phương trình (3) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\{\begin{array}{c}2x+y=4\\ x-y=2;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}4x+5y=11\\ 2x-3y=0;\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}12x+18y=-24\\ -2x-3y=4;\end{array}$

d) $\{\begin{array}{c}x-3y=5\\ -2x+6y=10.\end{array}$

Trả lời:

a) Giải phương trình: $\{\begin{array}{c}2x+y=4\\ x-y=2.\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta nhận được phương trình: 3x = 6. (1)

Giải phương trình (1):

3x = 6

x = 2.

Thay x = 2 vào phương trình thứ hai, ta có: 2 – y = 2, tức là y = 0.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 0).

b) Giải phương trình: $\{\begin{array}{c}4x+5y=11\\ 2x-3y=0.\end{array}$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được hệ phương trình sau: $\{\begin{array}{c}4x+5y=11\\ 4x-6y=0.\end{array}$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta nhận được phương trình:

5y – (–6y) = 11. (2)

Giải phương trình (2):

5y – (–6y) = 11

    5y + 6y = 11

          11y = 11

              y = 1.

Thay y = 1 vào phương trình 2x – 3y = 0, ta có: 2x – 3.1 = 0. (3)

Giải phương trình (3):

2x – 3.1 = 0

   2x – 3 = 0

         2x = 3

         $x=\frac{3}{2}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{3}{2};1\right).$

c) Giải phương trình: $\{\begin{array}{c}12x+18y=-24\\ -2x-3y=4.\end{array}$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 6, ta được hệ phương trình sau: $\{\begin{array}{c}12x+18y=-24\\ -12x-18y=24.\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được phương trình:

0x + 0y = 0, hay 0x = 0. Phương trình này có vô số nghiệm x ∈ ℝ.

Từ phương trình thứ hai ta có 3y = –2x – 4, suy ra $y=-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm $\{\begin{array}{c}x\in R\\ y=-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}.\end{array}$

d) Giải phương trình: $\{\begin{array}{c}x-3y=5\\ -2x+6y=10.\end{array}$

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ phương trình sau: $\{\begin{array}{c}x-3y=5\\ -x+3y=5.\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được phương trình:

0x + 0y = 10, hay 0x = 10. Phương trình này vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập 3: Xác định a, b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A, B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(1; –2) và B(–2; –11);

b) A(2; 8) và B(–4; 5).

Trả lời:

Bài tập 4: Một ca nô đi xuôi dòng một quãng đường 42 km hết 1 giờ 30 phút và ngược dòng quãng đường đó hết 2 giờ 6 phút. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng và tốc độ của dòng nước. Biết rằng tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường và tốc độ của dòng nước cũng không đổi khi ca nô chuyển động.

Trả lời:

Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ; 2 giờ 6 phút = 2 giờ $+\frac{1}{10}$ giờ = 2,1 giờ.

Gọi tốc độ của ca nô khi nước yên lặng và tốc độ của dòng nước lần lượt là x, y (km/h) (x > y > 0).

Tốc độ của ca nô khi đi xuôi dòng là x + y (km/h).

Tốc độ của ca nô khi đi ngược dòng là x – y (km/h).

Ca nô đi xuôi dòng quãng đường 42 km hết 1 giờ 30 phút (1,5 giờ) nên ta có phương trình: 1,5(x + y) = 42, hay x + y = 28.

Ca nô đi ngược dòng quãng đường 42 km hết 2 giờ 6 phút (2,1 giờ) nên ta có phương trình: 2,1(x – y) = 42, hay x – y = 20.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x+y=28\\ x-y=20.\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được phương trình: 2x = 48. (1)

Giải phương trình (1):

2x = 48

  x = 24.

Thay x = 24 vào phương trình thứ nhất của hệ trên, ta có: 24 + y = 28. (2)

Giải phương trình (2):

24 + y = 28

         y = 4.

Ta thấy x = 24 và y = 4 thỏa mãn điều kiện x > y > 0.

Vậy tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là 24 km/h và tốc độ của dòng nước là 4 km/h.

Bài tập 5: Bác Phương chia số tiền 800 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm và khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm. Tính số tiền bác Phương đầu tư cho mỗi khoản.

Trả lời:

Gọi x (triệu đồng) là số tiền bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất

Gọi y (triệu đồng) là số tiền bác Phương đầu tư cho khoản thứ hai

(0 < x, y < 800)

Theo bài ra, ta có phương trình: x + y = 800   (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm, số tiền là:

6%.x = 0,06x

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm, số tiền là:

8%.y = 0,08y

Tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng, nên ta có phương trình:

0,06x + 0,08y = 54

Hay 6x + 8y = 5400            (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình. Nhân phương trình (1) với 3, chia phương trình (2) cho 2 ta có hệ phương trình mới:

Trừ phương trình (4) cho phương trình (3) ta được: y = 300

Thế y = 300 vào phương trình (1) ta được:

x + y = 800

x + 300 = 800

x = 500

Vậy số tiền bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất là 500 triệu đồng, khoản thứ hai là 300 triệu đồng.

Bài tập 6: Nhân dịp ngày Giỗ Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm 40% giá niêm yết và máy giặt giảm 25% giá niêm yết. Vì thế, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

Trả lời:

Bài tập 7: Tìm các hệ số x, y để cân bằng mỗi phương trình phản ứng hoá học sau:

a) 2Fe + yCl2 → xFeCl3;

b) xFeCl3 + Fe → yFeCl2.

Trả lời:

Ta cân bằng phương trình hóa học theo định luật bảo toàn nguyên tố, số nguyên tử mỗi nguyên tố ở hai vế phương trình hóa học bằng nhau.

a) Theo định luật bảo toàn nguyên tố:

⦁ đối với Fe: 2 = x;

⦁ đối với Cl: 2y = 3x.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}2=x\\ 2y=3x.\end{array}$

Thay x = 2 vào phương trình thứ hai, ta được: 2y = 3.2. (1)

Giải phương trình (1):

2y = 3.2

2y = 6

  y = 3.

Khi đó, ta cân bằng được phương trình hóa học đã cho như sau:

2Fe + 3Cl2 → 2FeCl3.

b) Theo định luật bảo toàn nguyên tố:

⦁ đối với Fe: x + 1 = y;

⦁ đối với Cl: 3x = 2y.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x+1=y\\ 3x=2y.\end{array}$

Thế y = x + 1 vào phương trình thứ hai, ta được: 3x = 2(x + 1). (2)

Giải phương trình (2):

3x = 2(x + 1)

3x = 2x + 2

  x = 2.

Thay x = 2 vào phương trình thứ nhất, ta có y = 2 + 1 = 3.

Khi đó, ta cân bằng được phương trình hóa học đã cho như sau:

2FeCl3 + Fe → 3FeCl2.