Giải SGK Toán 9 Cánh Diều Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Khởi động: Hình 12 mô tả đường lên dốc ở Hình 11, trong đó góc giữa BC và phương nằm giữa BA là ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}=15°.$

Cạnh góc vuông AC và cạnh huyền BC (Hình 12) có liên hệ với nhau như thế nào?

Trả lời:

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: $\sin B=\frac{AC}{BC}$.

Do đó AC = BC.  sinB = BC . sin 15°.

Vậy liên hệ giữa cạnh góc vuông AC và cạnh huyền BC là: AC = BC . sin 15°.

I. Tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và tỉ số lượng giác của góc nhọn

Hoạt động 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 13).

a) Biểu diễn sin B, cos C theo AC, BC.

b) Viết công thức tính AC theo BC và sin B.

c) Viết công thức tính AC theo BC và cos C.

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 1: Tính độ cao AC trong Hình 12 khi BC = 20 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Trả lời:

sin 15

AC = BC.sin 15 = 20. sin 15

Luyện tập, vận dụng 2: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CK. Biểu diễn CK theo AC và sinA. Từ đó, chứng minh diện tích của tam giác ABC bằng $\frac{1}{2}$.AB.AC.sinA.

Trả lời:

Xét ∆ACK vuông tại K, ta có: sinA = $\frac{CK}{AC}$ do đó CK = AC.sinA.

Khi đó, diện tích của tam giác ABC là

$\frac{1}{2}$CK.AB = $\frac{1}{2}$.AC.sinA.AB= $\frac{1}{2}$.AB.AC.sinA.

II. Tính cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông còn lại và tỉ số lượng giác của góc nhọn

Hoạt động 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 17).

a) Biểu diễn tan B, cot C theo AB, AC.

b) Viết công thức tính AC theo AB và tan B.

c) Viết công thức tính AC theo AB và cot C.

Trả lời:

a) tan 

cot 

b) 

c) .

Luyện tập, vận dụng 3: Tính độ dài cạnh AB trong Hình 17 khi AC = 4 cm và $\hat{B}=34°$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Trả lời:

III. Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để giải tam giác vuông

Luyện tập, vận dụng 4: Tìm độ dài cạnh góc vuông AC và số đo các góc nhọn B, C của tam giác vuông ABC, biết cạnh góc vuông AB = 5 cm và cạnh huyền BC = 13 cm.

Trả lời:

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

⦁ BC2 = AB2 + AC2 (theo định lí Pythagore)

Suy ra AC2 = BC2 – AB2 = 132 – 52 = 144.

Do đó AC = 12 (cm) (do AC > 0).

⦁ sinB = $\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13}$ suy ra $\hat{B}\approx 67°.$

⦁ $\hat{B}+\hat{C}=90°$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°)

Suy ra $\hat{C}=90°-\hat{B}\approx 90°-67°=23°.$

Luyện tập, vận dụng 5: Tìm số đo góc nhọn C và độ dài cạnh góc vuông AB, cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, biết cạnh góc vuông AC = 7 cm và $\hat{B}=55°.$

Trả lời:

Số đo góc nhọn 

tan 

Độ dài cạnh góc vuông AB (cm)

Độ dài cạnh huyền BC = .

Luyện tập, vận dụng 6: Cho hình chữ nhật ABCD thoả mãn AC = 6 cm, $\widehat{BAC}=47°.$ Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AD.

Trả lời:

Bài tập

Bài tập 1: Tìm x, y trong mỗi hình 23a, 23b, 23c (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Trả lời:

a) Từ hình ta có:

⦁ x = 6.cos56° ≈ 3,4 (cm).

⦁ y = 6.sin56° ≈ 5,0 (cm).

b) Từ hình ta có:

⦁ x = 1,5.cot32° ≈ 2,4 (cm).

⦁ 1,5 = y.sin32°, suy ra $y=\frac{1,5}{\sin 32°}\approx 2,8$ (cm).

c) Từ hình ta có:

⦁ 0,8 = x.cos70°, suy ra $x=\frac{0,8}{\cos 70°}\approx 2,3$ (cm).

⦁ y = 0,8.tan70° ≈ 2,2 (cm).

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH = 6 cm, $\hat{B}=40°,\hat{C}=35°.$ Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BH, AC, BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Trả lời:

sin 

tan  (cm)

sin 

tan 

BC = BH + HC = 7,2 + 8,6 = 15,8 (cm).

Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B}=30°.$ Chứng minh AC = $\frac{1}{2}$BC.

Trả lời:

Bài tập 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Chứng minh AB = AC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BC.

Trả lời:

Vì ∆ABC vuông cân tại A nên $\hat{B}=\hat{C}=45°$ và AB = AC.

Ta có AB = BC.sinC = BC.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BC.

Mà AB = AC nên AB = AC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BC.

Bài tập 5: Trong Hình 24, cho $\hat{O}=\alpha$, AB = m và ${\mathrm{OAB^\backslash widehat\{OAB\}OAB}}^{}={\mathrm{OCA^\backslash widehat\{OCA\}OCA}}^{}={\mathrm{ODC^\backslash widehat\{ODC\}ODC}}^{}=90°.$

Chứng minh:

a) OA = m.cot α;

b) AC = m.cos α;

c) CD = m.cos2 α.

Trả lời:

a) Xét  vuông tại A

b) Ta có  (cùng phụ góc )

cos 

c) Ta có  (cùng phụ góc )

cos 

Mà 

Vậy CD = . 

Hay CD = m.

Bài tập 6: Tính độ dài đường gấp khúc ABCDEGH (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét), biết các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEG, OGH là các tam giác vuông tại các đỉnh lần lượt là B, C, D, E, G, H; các góc O1, O2, O3, O4, O5, O6 đều bằng 30° và OA = 2 cm (Hình 25).

Trả lời:

Xét ∆OAB vuông tại B, có ${\hat{O}}_1=30°,$ ta có: AB = $\frac{1}{2}$AO = $\frac{1}{2}$.2 = 1 (cm).

Ta cũng có BO = AO.cos${\hat{O}}_1$ = 2.cos30o = 2.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$ (cm).

Tương tự, ta cũng có:

⦁ BC = $\frac{1}{2}$BO = $\frac{1}{2}$.$\sqrt{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$(cm) và CO = BO.cos$\widehat{O_2}$ = $\sqrt{3}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{3}{2}$ (cm).

⦁ CD = $\frac{1}{2}$CO = $\frac{1}{2}$.$\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{4}$ (cm) và DO = CO.cos$\widehat{O_3}$ = $\frac{3}{2}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{3\sqrt{3}}{4}$(cm).

⦁ DE = $\frac{1}{2}$DO = $\frac{1}{2}$.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{3\sqrt{3}}{8}$ (cm) và EO = DO.cos$\widehat{O_4}$ = $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{9}{8}$ (cm).

⦁ EG = $\frac{1}{2}$EO = $\frac{1}{2}$.$\frac{9}{8}$ = $\frac{9}{16}$ (cm) và GO = EO.cos$\widehat{O_5}$ = $\frac{9}{8}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{9\sqrt{3}}{16}$ (cm).

⦁ GH = $\frac{1}{2}$GO = $\frac{1}{2}$.$\frac{9\sqrt{3}}{16}$ = $\frac{9\sqrt{3}}{32}$ (cm).

Vậy độ dài đường gấp khúc ABCDEGH là:

$1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{8}+\frac{9}{16}+\frac{9\sqrt{3}}{32}$

$=\frac{32}{32}+\frac{16\sqrt{3}}{32}+\frac{24}{32}+\frac{12\sqrt{3}}{32}+\frac{18}{32}+\frac{9\sqrt{3}}{32}=\frac{74+37\sqrt{3}}{32}\approx \text{4,3 (cm).}$

Bài tập 7: Hình 26 minh hoạ một phần con sông có bề rộng AB = 100 m. Một chiếc thuyền đi thẳng từ vị trí B bên này bờ sông đến vị trí C bên kia bờ sông. Tính quãng đường BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét), biết $\widehat{ABC}=35°.$

Trả lời:

Bài tập 8: Từ vị trí A ở phía trên một tòa nhà có chiều cao AD = 68 m, bác Duy nhìn thấy vị trí C cao nhất của một tháp truyền hình, góc tạo bởi tia AC và tia AH theo phương nằm ngang là ${\mathrm{CAH^\backslash widehat\{CAH\}CAH}}^{}=43°.$ Bác Duy cũng nhìn thấy chân tháp tại vị trí B mà góc tạo bởi tia AB và tia AH là ${\mathrm{BAH^\backslash widehat\{BAH\}BAH}}^{}=28°,$ điểm H thuộc đoạn thẳng BC (Hình 27). Tính khoảng cách BD từ chân tháp đến chân tòa nhà và chiều cao BC của tháp truyền hình (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Lời giải:

Vì AH ⊥ BC và BD ⊥ BC nên AH // BD. Do đó $ABD^\backslash widehat\{ABD\}ABD={\mathrm{BAH^\backslash widehat\{BAH\}BAH}}^{}=28°$ (so le trong).

Khoảng cách BD từ chân tháp đến chân tòa nhà là:

BD = AD.cot${\mathrm{ABD^\backslash widehat\{ABD\}ABD}}^{}$ = 68.cot28o ≈ 127,9 (m).

Do tứ giác ADBH có ${\mathrm{ADB^\backslash widehat\{ADB\}ADB}}^{}={\mathrm{AHB^\backslash widehat\{AHB\}AHB}}^{}={\mathrm{DBH^\backslash widehat\{DBH\}DBH}}^{}=90°$ nên ADBH là hình chữ nhật.

Suy ra AH = DB ≈ 127, 9 (m) và HB = AD = 68 (m).

Do ∆AHC vuông tại H, ta có CH = AH.tan${\mathrm{CAH^\backslash widehat\{CAH\}CAH}}^{}$ ≈ 127,9.tan43o ≈ 119,3 (m).

Chiều cao BC của tháp truyền hình là:

BC = BH + HC ≈ 68 + 119,3 = 187,3 (m).

Vậy khoảng cách BD từ chân tháp đến chân tòa nhà khoảng 127,9 mét và chiều cao BC của tháp truyền hình khoảng 187,3 mét.