Giải SGK Toán 9 Cánh Diều Bài tập cuối chương IV

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và $\hat{B}=\alpha$ (Hình 40).

a) Tỉ số $\frac{HA}{HB}$ bằng

A. sinα.

B. cosα.

C. tanα.

D. cotα.

Đáp án: C

Giải thích: Xét ∆ABH vuông tại H, ta có tanB = $\frac{HA}{HB}$ hay $\frac{HA}{HB}$ = tan$\alpha$.

b) Tỉ số $\frac{HA}{HC}$ bằng

A. sinα.

B. cosα.

C. tanα.

D. cotα.

Đáp án: D

Giải thích:

Xét ∆ACH vuông tại H, ta có tanC = $\frac{HA}{HC}$.

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có $\hat{B}+\hat{C}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Suy ra $\hat{B}$ và $\hat{C}$ là hai góc phụ nhau nên tanC = cotB.

Do đó $\frac{HA}{HC}$ = tanC = cotB = cot$\alpha$.

c) Tỉ số $\frac{HA}{AC}$ bằng

A. sinα.

B. cosα.

C. tanα.

D. cotα.

Đáp án: B

Giải thích:

Xét ∆ACH vuông tại H, ta có sinC = $\frac{HA}{AC}$.

Mà $\hat{B}$ và $\hat{C}$ là hai góc phụ nhau nên sinC = cosB.

Do đó $\frac{HA}{AC}$ = sinC = cosB = cos$\alpha$.

Bài tập 2: Cho hình thoi ABCD có AB = a, ${\mathrm{BAD^\backslash widehat\{BAD\}BAD}}^{}=2\alpha \left(0°<\alpha <90°\right).$ Chứng minh:

a) BD = 2a.sinα;

b) AC = 2a.cosα.

Trả lời:

Bài tập 3: Trong trò chơi xích đu ở Hình 41, khi dây căng xích đu (không dãn) OA = 3 m tạo với phương thẳng đứng một góc là ${\mathrm{AOH^\backslash widehat\{AOH\}AOH}}^{}=43°$ thì khoảng cách AH từ em bé đến vị trí cân bằng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Theo hình vẽ ta có:

sin 43

Mà OA = 3 m

Thay vào ta được
sin 43

Vậy khoảng cách từ em bé đến vị trí cân bằng là 2m.

Bài tập 4: Một người đứng ở vị trí B trên bờ sông muốn sử dụng la bàn để ước lượng khoảng cách từ vị trí đó đến một vị trí A ở trên một cù lao giữa dòng sông. Người đó đã làm như sau:

– Sử dụng la bàn, xác định được phương BA lệch với phương Nam – Bắc về hướng Đông 52°.

– Người đó di chuyển đến vị trí C, cách B một khoảng là 187 m. Sử dụng la bàn, xác định được phương CA lệch với phương Nam – Bắc về hướng Tây 27°; CB lệch với phương Nam – Bắc về hướng Tây 70° (Hình 42).

Em hãy giúp người đó tính khoảng cách AB từ những dữ liệu trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Trả lời:

Kẻ AA’ (A’ ∈ BC) theo phương Bắc – Nam và kẻ BB’, CC’ theo phương Nam – Bắc (hình vẽ). Khi đó AA’ // BB’ // CC’.

Phương BA lệch với phương Nam – Bắc về hướng Đông 52° nên ${{\mathrm{B\prime BA^\backslash widehat\{B\text{'}BA\}B\prime BA}}^{}}^{}=52°.$

Phương CA lệch với phương Nam – Bắc về hướng Tây 27° nên ${\mathrm{ACC\prime ^\backslash widehat\{ACC\text{'}\}ACC\prime }}^{}=27°.$

Phương CB lệch với phương Nam – Bắc về hướng Tây 70° nên $BCC\prime ^\backslash widehat\{BCC\text{'}\}BCC\prime =70°.$

Do đó ${\mathrm{BCA^\backslash widehat\{BCA\}BCA}}^{}={\mathrm{BCC\prime ^\backslash widehat\{BCC\text{'}\}BCC\prime }}^{}-{\mathrm{ACC\prime ^\backslash widehat\{ACC\text{'}\}ACC\prime }}^{}=70°-27°=43°.$

Kẻ BH ⊥ AC (H ∈ AC).

Xét ∆BCH vuông tại H, ta có: BH = BC.sin${\mathrm{BCH^\backslash widehat\{BCH\}BCH}}^{}$ = 187.sin43o (m).

Vì AA’ // BB’ nên ${{\mathrm{B\prime BA^\backslash widehat\{B\text{'}BA\}B\prime BA}}^{}}^{}=BAA\prime ^\backslash widehat\{BAA\text{'}\}BAA\prime =52°$ (hai góc so le trong).

Vì AA’ // CC’ nên ${{\mathrm{A\prime AB^\backslash widehat\{A\text{'}AB\}A\prime AB}}^{}}^{}={\mathrm{ACC\prime ^\backslash widehat\{ACC\text{'}\}ACC\prime }}^{}=27°$ (hai góc so le trong).

Do đó ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=BAA\prime ^\backslash widehat\{BAA\text{'}\}BAA\prime +{{\mathrm{A\prime AC^\backslash widehat\{A\text{'}AC\}A\prime AC}}^{}}^{}=52°+27°=79°.$

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:

BH = AB.sin${\mathrm{BAH^\backslash widehat\{BAH\}BAH}}^{}$, suy ra AB = $\frac{BH}{\sin \widehat{BAH}}=\frac{187\cdot sin43°}{sin79°}\approx 130\text{(m).}$

Vậy khoảng cách AB khoảng 130 mét.