Giải SGK Toán 9 Cánh Diều Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

Khởi động: Hình 65 mô tả một chiếc quạt giấy.

Hình phẳng được tô màu đỏ ở Hình 65 được gọi là hình gì và diện tích của hình đó được tính như thế nào?

Trả lời:

- Hình phẳng được mô tả là hình quạt.

- Diện tích hình quạt: 

Trong đó, R: bán kính; n: số đo góc ở tâm.

I. Độ dài cung tròn

Hoạt động 1: Lấy một vòng tròn không dãn có dạng hình tròn (Hình 66a), cắt vòng dây và kéo thẳng vòng dây đó để nhận được sợi dây như ở Hình 66b.

Đo chiều dài sợi dây đó.

Ta nói chiều dài sợi dây bằng chu vi của đường tròn.

Trả lời:

Ta nói chiều dài sợi dây bằng chu vi của đường tròn.

Ta thừa nhận kết quả: Tỉ số giữa chu vi C của mỗi đường tròn và đường kính d của đường tròn đó là một hằng số, kí hiệu là . Số  là số vô tỉ, cụ thể:  = 3,1415... Trong các ví dụ và bài tập toán sau này, ta lấy  3,14.

- Chu vi của đường tròn đường kính d là C = 

- Chu vi của đường tròn bán kính R là C = 

Luyện tập, vận dụng 1: Tính chu vi của đường tròn bán kính 5 cm (theo đơn vị centimet và làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trả lời:

- Chu vi của đường tròn là: C = 2π.5 = 10π ≈ 31,4 (cm).

Hoạt động 2:

a) Đánh dấu hai điểm A, B trên một vòng dây không dãn có dạng đường tròn (Hình 67a), cắt cung AB của vòng dây và kéo thẳng cung đó để nhận được sợi dây như ở Hình 67b.

Đo chiều dài sợi dây đó.

Ta nói chiều dài sợi dây bằng độ dài của cung tròn AB.

b) Ta coi mỗi đường tròn bán kính R là một cung tròn có số đo 360°. Chia đường tròn đó thành 360 phần bằng nhau, mỗi phần là cung tròn có số đo bằng 1°; chu vi của đường tròn khi đó cũng được chia thành 360 phần bằng nhau. Tính theo R:

⦁ Độ dài của cung có số đo 1°;

⦁ Độ dài của cung có số đo n°.

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 2: Một con lắc di chuyển từ vị trí A đến vị trí B (Hình 69). Tính độ dài quãng đường AB mà con lắc đó đã di chuyển, biết rằng sợi dây OA có độ dài bằng l và tia OA tạo với phương thẳng đứng góc α.

Trả lời:

Ta có $AOB^AOB=2\alpha$ là số đo của cung AB.

Độ dài quãng đường AB mà con lắc đó đã di chuyển là: $\frac{\pi \cdot 1\cdot 2\alpha }{180}=\frac{\alpha \pi }{90}.$

$II.\; Diện\; tích\; hình\; quạt\; tròn$

Hoạt động 3: Vẽ đường tròn (O; 2 cm) và các điểm A, B thỏa mãn OA < 2 cm, OB = 2 cm. Nêu nhận xét về vị trí các điểm A, B so với đường tròn (O; 2 cm).

Trả lời:

Nhận xét:

- Điểm B nằm trên đường tròn tâm O.

- Điểm A nằm bên trong đường tròn tâm O.

Hoạt động 4: Quan sát Hình 71, hãy cho biết phần hình tròn (O) tô màu xanh được giới hạn bởi hai bán kính và cung nào?

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 3: Cho hình quạt COD giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung CqD sao cho OC = CD (Hình 74). Hãy tìm số đo cung CqD ứng với hình quạt đó.

Trả lời:

Hoạt động 5: Ta coi mỗi hình tròn bán kính R là một hình quạt có số đo 360°. Tính diện tích hình quạt tròn tâm O, bán kính R, biết số đo cung ứng với hình quạt tròn đó là:

a) 1°;

b) n° (Hình 75).

Trả lời:

Diện tích hình tròn là: S = R2

a) Diện tích hình quạt ứng với số đo cung 1o là:

b) Diện tích hình quạt ứng với số đo cung no là:

 a

Luyện tập, vận dụng 4: Hình quạt tô màu đỏ ở Hình 65 có bán kính bằng 2 dm và góc ở tâm bằng 150°.

a) Tính diện tích của hình quạt đó.

b) Tính chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó.

Trả lời:

III. Diện tích hình vành khuyên

Hoạt động 6:

a) Hình 80 mô tả một phần bản vẽ của chi tiết máy. Hình đó giới hạn bởi mấy đường tròn cùng tâm?

b) Hãy vẽ một hình tương tự Hình 80 bằng cách vẽ các đường tròn (O; 2 cm) và (O; 3 cm). Tính hiệu diện tích của hai hình tròn đó.

Trả lời:

a) Hình chi tiết máy được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm.

b)

Diện tích hình tròn tâm O bán kính 3 cm là: π.32 = 9π (cm2).

Diện tích hình tròn tâm O bán kính 2 cm là: π.22 = 4π (cm2).

Hiệu diện tích của hai hình tròn đó là: 9π – 4π = 5π (cm2).

Luyện tập, vận dụng 5: Tính diện tích của hình vành khuyên đó giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 2,5 cm; 2 cm.

Trả lời:

- Diện tích của hình vành khuyên tô màu xanh là: $S=\pi \left(2,5^2-2^2\right)=\frac{9\pi }{4}{\text{(cm}}^2\text{).}$

Bài tập

Bài tập 1: Quan sát các hình 83, 84, 85, 86.

a) Tính diện tích phần được tô màu mỗi hình đó.

b) Tính độ dài cung tròn được tô màu xanh ở mỗi hình 83, 84.

Trả lời:

Bài tập 2: Hình87 mô tả mặt cắt của chiếc đèn led có dạng hình vành khuyên màu trắng với bán kính các đường tròn lần lượt là 15 cm, 18 cm, 21 cm, 24 cm. Tính diện tích hai hình vành khuyên đó.

Trả lời:

Diện tích hình vành khuyên bên trong là: S1 = π(182 – 152) = 99π (cm2).

Diện tích hình vành khuyên bên ngoài là S1 = π(242 – 212) = 135π (cm2).

Bài tập 3: Hình 88 mô tả mặt cắt của một khung gỗ có dạng ghép của năm hình: hai nửa hình tròn đường kính 2 cm; hai hình chữ nhật kích thước 2 cm × 8 cm (Hình 88b); một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính lần lượt là 4 cm và 6 cm. Tính diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó.

Trả lời:

Diện tích hai nửa hình tròn là:

 (cm2)

Diện tích hai hình chữ nhật là: 

 (cm2)

Diện tích một phần tư vành khuyên là:

 (cm2)

Diện tích mặt cắt khung gỗ là:

 (cm2).

Bài tập 4: Khi đóng đáy thuyền cho những con thuyền vượt biển, người Vikings sử dụng hai loại nêm: nêm góc và nêm cong (lần lượt tô màu xanh, màu đỏ trong Hình 89). Mặt cắt ABCD của nêm góc có dạng hai tam giác vuông OAE, ODE bằng nhau với cạnh huyền chung và bỏ đi hình quạt tròn OBC (Hình 90), được làm từ những thân cây mọc thẳng. Mặt cắt MNPQ của nêm cong có dạng một phần của hình vành khuyên (Hình 91), được làm từ những thân cây cong. Kích thước của nêm cong được cho như ở Hình 91.

a) Diện tích của nêm cong là bao nhiêu centimét vuông (lấy 1 ft = 30,48 cm, 1 in = 2,54 cm và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

b) Cần phải biết những kích thước nào của nêm góc để tính được diện tích của nêm đó?

Trả lời: