Giải SGK Toán 9 Cánh Diều Bài 4: Góc ở tâm. Góc nội tiếp

Khởi động: Bác Ngọc dự định làm khung sắt cho khuôn cửa sổ ngôi nhà có dạng đường tròn như Hình 44. Hai thanh chắn cửa sổ gợi nên một góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Góc có đặc điểm như vậy trong toán học gọi là góc gì?

Trả lời:

- Góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó được gọi là góc nội tiếp.

I. Góc ở tâm

Hoạt động 1: Cho đường tròn (O). Hãy vẽ góc xOy có đỉnh là tâm O của đường tròn đó.

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 1: Trong Hình 47, coi mỗi khung đồng hồ là một đường tròn, kim giờ, kim phút là các tia. Số đo góc ở tâm trong mỗi hình 47a, 47b, 47c, 47d là bao nhiêu?

Trả lời:

- Số đo góc ở tâm trong mỗi hình 47a là: 60∘

- Số đo góc ở tâm trong mỗi hình 47b là: 90∘

- Số đo góc ở tâm trong mỗi hình 47c là: 150∘

- Số đo góc ở tâm trong mỗi hình 47d là: 180∘

II. Cung. Số đo của cung

Hoạt động 2: Quan sát góc ở tâm AOB (khác góc bẹt) ở Hình 48, cho biết trong hai phần đường tròn được tô màu xanh và màu đỏ, phần nào nằm bên trong, phần nào nằm bên ngoài góc AOB.

Trả lời:

Phần đường tròn được tô màu xanh nằm bên trong góc AOB.

Phần đường tròn được tô màu đỏ nằm bên ngoài góc AOB.

Luyện tập, vận dụng 2: Trong Hình 53, tìm số đo của các góc ở tâm ${\mathrm{BOC^\backslash widehat\{BOC\}BOC}}^{};{\mathrm{DOA^\backslash widehat\{DOA\}DOA}}^{}.$

Trả lời:

Do số học sinh chọn môn Bóng bàn chiếm 15% số lượng học sinh nên số đo cung nhỏ BC bằng 15% số đo của cung cả đường tròn. 

Vì thế sđ . Vì số đo cung nhỏ BC bằng số đo góc ở tâm BOC chắn cung đó nên  = 54

Do số học sinh chọn môn Bóng đá chiếm 40% số lượng học sinh nên số đo cung nhỏ AD bằng 40% số đo của cung cả đường tròn.

Vì thế sđ  Vì số đo cung nhỏ AD bằng số đo góc ở tâm DOA chắn cung đó nên  = 144

III. Góc nội tiếp

Hoạt động 3: Trong Hình 55, đỉnh của góc AIB có thuộc đường tròn hay không? Hai cạnh của góc chứa hai dây cung nào của đường tròn?

Trả lời:

- Đỉnh của góc AIB có thuộc đường tròn.

- Hai cạnh của góc chứa hai dây cung IA, IB của đường tròn.

Luyện tập, vận dụng 3: Hãy vẽ một đường tròn và hai góc nội tiếp trong đường tròn đó.

Trả lời:

Hoạt động 4: Cho góc AIB nội tiếp đường tròn tâm O đường kính IK sao cho tâm O nằm trong góc đó (Hình 57).

a) Các cặp góc $\widehat{OAI}$ và ${\mathrm{OIA^\backslash widehat\{OIA\}OIA}}^{}$; ${\mathrm{OBI^\backslash widehat\{OBI\}OBI}}^{}$ và ${\mathrm{OIB^\backslash widehat\{OIB\}OIB}}^{}$ có bằng nhau hay không?

b) Tính các tổng ${\mathrm{AOI^\backslash widehat\{AOI\}AOI}}^{}+2{\mathrm{OIA^\backslash widehat\{OIA\}OIA}}^{},{\mathrm{BOI^\backslash widehat\{BOI\}BOI}}^{}+2{\mathrm{OIB^\backslash widehat\{OIB\}OIB}}^{}.$

c) Tính các tổng ${\mathrm{AOI^\backslash widehat\{AOI\}AOI}}^{}+{\mathrm{AOK^\backslash widehat\{AOK\}AOK}}^{},BOI^\backslash widehat\{BOI\}BOI+{\mathrm{BOK^\backslash widehat\{BOK\}BOK}}^{}.$

d) So sánh $\widehat{AOK}$ và $2{\mathrm{OIA^\backslash widehat\{OIA\}OIA}}^{}$ , ${\mathrm{BOK^\backslash widehat\{BOK\}BOK}}^{}$ và $2{\mathrm{OIB^\backslash widehat\{OIB\}OIB}}^{},\stackrel{}{}$$\widehat{AOB}$ và $2{\mathrm{AIB^\backslash widehat\{AIB\}AIB}}^{}$ .

Trả lời:

a)   = 

b)  (tổng 3 góc trong một tam giác)

 (tổng 3 góc trong một tam giác)

c)  + 

 + 

d)  = 2;

 = 2

Ta có    (1)

 = 2     (2)

Cộng vế (1) và (2) ta được: = 2( + ) = 2  (đpcm)

Luyện tập, vận dụng 4: Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB = R. Điểm C thuộc cung lớn AB, C khác A và B. Tính số đo góc ACB.

Trả lời:

Hoạt động 5: Quan sát Hình 60 và nêu mối liên hệ giữa:

a) ${\mathrm{AIB^\backslash widehat\{AIB\}AIB}}^{}$ và $\text{sđ}\stackrel{}{}$

b) ${\mathrm{AKB^\backslash widehat\{AKB\}AKB}}^{}$ và $\text{sđ}\stackrel{}{}$

c) ${\mathrm{AIB^\backslash widehat\{AIB\}AIB}}^{}$ và ${\mathrm{AKB^\backslash widehat\{AKB\}AKB}}^{}.$

Trả lời:

Luyện tập, vận dụng 5: Trong Hình 61, gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh IA.ID = IB.IC.

Trả lời:

Xét đường tròn chứa cung AB ta có: $\stackrel{}{}ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB,{\mathrm{ADB^\backslash widehat\{ADB\}ADB}}^{}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB nên ${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}={\mathrm{ADB^\backslash widehat\{ADB\}ADB}}^{}.$

Xét ∆AIC và ∆BID có:

$\stackrel{}{}ACI^\backslash widehat\{ACI\}ACI ={\mathrm{BDI^\backslash widehat\{BDI\}BDI}}^{}$ (do ${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}={\mathrm{BDA^\backslash widehat\{BDA\}BDA}}^{});$

${\mathrm{AIC^\backslash widehat\{AIC\}AIC}}^{}={\mathrm{BID^\backslash widehat\{BID\}BID}}^{}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆AIC ᔕ ∆BID (g.g).

Suy ra $\frac{IA}{IB}=\frac{IC}{ID}$ (tỉ số các cạnh tương ứng) nên IA.ID = IB.IC.

Bài tập

Bài tập 1: Quan sát Hình 62, hãy cho biết:

a) 6 góc ở tâm có hai cạnh lần lượt chứa hai điểm trong bốn điểm A, B, C, D;

b) 4 góc nội tiếp có hai cạnh lần lượt chứa ba điểm trong bốn điểm A, B, C, D.

Trả lời:

a) Các góc: 

b) Các góc: 

Bài tập 2: Cho đường tròn (O; R) và dây AB sao cho $\widehat{AOB}=90°.$ Giả sử M, N lần lượt là các điểm thuộc cung lớn AB và cung nhỏ AB (M, N khác A và B).

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

b) Tính số đo các góc ANB và AMB.

Trả lời:

Bài tập 3: Trong Hình 63, cho biết AB = OA.

a) Tính số đo góc AOB.

b) Tính số đo cung nhỏ AB và cung lớn AB của (O).

c) Tính số đo góc MIN.

d) Tính số đo cung nhỏ MN và cung lớn MN của (I).

e) Tính số đo góc MKN.

Trả lời:

Bài tập 4: Biểu đồ hình quạt tròn ở Hình 64 mô tả các thành phần của một chai nước ép hoa quả (tính theo tỉ số phần trăm). Hãy cho biết các cung tương ứng với phần biểu diễn thành phần việt quất, táo, mật ong lần lượt có số đo là bao nhiêu độ.

Trả lời:

- Số đo cung chắn phần mật ong là: 0,1.360o = 36o.

- Số đo cung chắn phần táo là: 0,3.360o = 108o.

- Số đo cung chắn phần việt quất là: 0,6.360o = 216o.

Bài tập 5: Cho hai đường tròn (O), (I) cắt nhau tại hai điểm A, B. Kẻ các đoạn thẳng AC, AD lần lượt là các đường kính của hai đường tròn (O), (I). Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Trả lời:

Bài tập 6: Hãy sử dụng compa và thước thẳng để vẽ tam giác ABC vuông tại A và giải thích cách làm.

Trả lời:

Bước 1. Vẽ đường tròn tâm O, kẻ đường kính BC.

Bước 2. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) (A khác B, C). Ta được tam giác ABC vuông tại A.

Thật vậy, xét đường tròn (O) có đường kính BC, điểm A thuộc (O) nên $\widehat{BAC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Vậy tam giác ABC vuông tại A.