Khởi động: Mỗi bánh xe đạp ở Hình 1 gợi nên hình ảnh của một đường tròn.
Hai đường tròn đó có điểm chung hay không?
Trả lời:
- Hai đường tròn mô tả hai bánh xe đạp không có điểm chung.
I. Khái niệm đường tròn
Hoạt động 1: Đồng hồ được mô tả ở Hình 2 có kim phút dài 12 cm. Khi kim phút quay một vòng thì đầu mút của kim phút vạch nên đường gì?
Trả lời:
- Đầu mút của kim phút vạch nên đường tròn.
Luyện tập, vận dụng 1: Hãy chỉ ra một số đồ vật trong thực tiễn gợi nên hình ảnh của đường tròn.
Trả lời:
- Cái quạt, bánh xe, cái bát, đồng hồ...
II. Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn
Hoạt động 2: Quan sát Hình 5.
a) So sánh MN và OM + ON.
b) So sánh MN và AB.
Trả lời:
a) Xét ∆OMN ta có MN < OM + ON (1) (Bất đẳng thức tam giác).
b) Vì A, M, N, B cùng thuộc đường tròn (O) nên OA = OM = ON = OB.
Ta có: OM + ON = OA + OB.
Lại có AB = OA + OB, do đó OM + ON < AB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN < AB.
Luyện tập, vận dụng 2: Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN < BC.
Trả lời:
MN là dây cung của đường tròn.
Vì trong đường tròn, đường kính là lớn nhất nên
MN < BC.
III. Tính đối xứng của đường tròn
Hoạt động 3: Cho đường tròn (O; R).
a) Vẽ đường thẳng d đi qua tâm O cắt đường tròn tại A, B. So sánh OA và OB (Hình 7).
b) Giả sử M là một điểm tùy ý trên đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia OM, ta lấy điểm N sao cho ON = OM. Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?
Trả lời:
Hoạt động 4: Cho đường tròn (O; R). Giả sử d là đường thẳng đi qua tâm O, M là một điểm tùy ý trên đường tròn (O; R). Kẻ MH vuông góc với d tại H. Trên tia MH lấy điểm N sao cho H là trung điểm của MN (ta gọi điểm N là điểm đối xứng với điểm M qua đường thẳng d). Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?
Trả lời:
Nối OM, ON.
Xét ∆OMH (vuông tại H)và ∆ONH (vuông tại H) ta có:
MH = NH (do H là trung điểm của MN);
OH là cạnh chung.
Do đó ∆OMH = ∆ONH (hai cạnh góc vuông).
Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng).
Mà M thuộc đường tròn (O; R) nên OM = R nên ON = R, do đó N thuộc đường tròn (O; R).
Luyện tập, vận dụng 3: Bạn Hoa có một tờ giấy hình tròn. Nêu cách gấp giấy để xác định tâm của hình đó.
Trả lời:
Để xác định tâm của tờ giấy hình tròn mà không cần dụng cụ đo lường, bạn có thể thực hiện theo cách sau:
Bước 1: Chọn một điểm bất kỳ trên đường viền của tờ giấy và đánh dấu là A.
Bước 2: Gập tờ giấy sao cho A trùng với một điểm khác trên đường viền, và đánh dấu điểm mới là A'.
Bước 3: Lặp lại bước 2 ít nhất hai lần nữa, chọn điểm trên đường viền đối diện và gập tờ giấy.
Bước 4: Tâm của tờ giấy là điểm giao của các đường gập. Nếu gập đủ nhiều lần, điểm giao này sẽ xác định gần đúng tâm của hình tròn.
IV. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Hoạt động 5: Bạn Đan vẽ năm vòng tròn minh họa cho biểu tượng của Thế vận hội Olympic như ở Hình 10. Hình vẽ đó thể hiện những cặp đường tròn cắt nhau. Theo em, hai đường tròn cắt nhau thì chúng có bao nhiêu điểm chung?
Trả lời:
- Hai đường tròn cắt nhau thì chúng có 2 điểm chung.
Luyện tập, vận dụng 4: Cho hai đường tròn (O; 14 cm), (O’; 5 cm) với OO’ = 8 cm. Hỏi hai đường tròn đó có cắt nhau hay không?
Trả lời:
Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt là R = 14 cm và r = 5 cm.
Do R – r = 14 – 5 = 9 (cm); R + r = 14 + 5 = 19 (cm)
Và 8 < 9 < 19 nên OO’ < R – r < R + r.
Vậy hai đường tròn (O; 14 cm) và (O’; 5 cm) không cắt nhau.
Hoạt động 6: Hình 12 mô tả các ống tròn xếp lên nhau và gợi nên hình ảnh các cặp đường tròn tiếp xúc nhau. Theo em, hai đường tròn tiếp xúc nhau thì chúng có bao nhiêu điểm chung?
Trả lời:
- Hai đường tròn tiếp xúc nhau có 1 điểm chung.
Luyện tập, vận dụng 5: Cho hai đường tròn (O; 2,5 cm) và (O’; 4,5 cm). Tìm độ dài đoạn thẳng OO’, biết hai đường tròn đó tiếp xúc trong.
Trả lời:
- Vì hai đường tròn (O; 2,5 cm) và (O'; 4,5 cm) tiếp xúc trong nên OO' = 4,5 - 2,5 = 2(cm).
Hoạt động 7: Hình 14 mô tả hai bánh xe rời nhau, gợi nên hình ảnh hai đường tròn không giao nhau. Theo em, hai đường tròn không giao nhau thì có bao nhiêu điểm chung?
Trả lời:
- Hai đường tròn không giao nhau thì chúng không có điểm chung.
Luyện tập, vận dụng 6: Cho hai đường tròn (O; 11,5 cm) và (O’; 6,5 cm). Biết rằng OO’ = 4 cm. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn đó.
Trả lời:
Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 11,5 cm, r = 6,5 cm.
Do R – r = 11,5 – 6,5 = 5 cm.
Do 4 < 5 nên OO’ < R – r.
Vậy đường tròn (O; 11,5 cm) đựng đường tròn (O’; 6,5 cm).
Bài tập
Bài tập 1: Trong Hình 16, có ba đường tròn với các đường kính lần lượt là AB, AC, CD. Hãy sắp xếp độ dài ba đoạn thẳng AB, AC, CD theo thứ tự tăng dần và giải thích kết quả tìm được.
Trả lời:
Bài tập 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’) trong mỗi hình 17a, 17b, 17c, 17d:
Trả lời:
a) Ta có:
⦁ Hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) không có điểm chung;
⦁ OO’ > R + R’.
Do đó hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.
b) Ta có:
⦁ Hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) có 1 điểm chung duy nhất;
⦁ OO’ = R + R’.
Do đó hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài.
c) Ta có:
⦁ Hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) không có điểm chung;
⦁ OO’ < R’ – R.
Do đó đường tròn (O’) đựng đường tròn (O).
d) Ta thấy hai đường tròn (O) và (O’) có 2 điểm chung nên hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau.
Bài tập 3: Cho đoạn thẳng MN và đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng MN. Điểm O thuộc đường thẳng a.
a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = OM.
b) Chứng minh điểm N thuộc đường tròn (O; R).
Trả lời:
a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = OM.
Vẽ đoạn thẳng MN, kẻ đường trung trực a
Chọn một điểm O bất kì thuộc đường trung trực MN
Đo độ dài OM
Đặt compa tại O và vẽ đường tròn bán kính R = OM.
b) Vì a là đường trung trực của MN
Ta được OM = ON = R
N thuộc đường tròn (O; R).
Bài tập 4: Cho đường tròn (O; R) và dây AB = R. Tính số đo góc AOB.
Trả lời:
Bài tập 5: Chiếc đồng hồ trang trí ở Hình 18 gợi nên vị trí tương đối của các đường tròn.
Quan sát Hình 18 và chỉ ra một cặp đường tròn:
a) Cắt nhau;
b) Tiếp xúc ngoài;
c) Tiếp xúc trong;
d) Không giao nhau.
Trả lời:
a) Một cặp đường tròn cắt nhau: Đường tròn màu đỏ và đường tròn màu vàng (khung đồng hồ).
b) Một cặp đường tròn tiếp xúc ngoài: Đường tròn màu xanh lá và đường tròn màu cam.
c) Một cặp đường tròn tiếp xúc trong: Đường tròn màu xanh cổ vịt (mặt đồng hồ) và đường tròn màu vàng (khung đồng hồ).
d) Một cặp đường tròn không giao nhau: Đường tròn màu vàng và đường tròn màu tím (quả lắc).
Bài tập 6: Cho đường tròn (O; R) và dây AB khác đường kính. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Đường thẳng OM có phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao?
b) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB, biết R = 5 cm, AB = 8 cm.
Trả lời:
a)
M là trung điểm AB
Ta có MA = MB (1)
O là tâm đường tròn, OA và OB là các dây cung
Ta có OA = OB (2)
Từ (1) và (2) ta được OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB
b) AM = 
Khoảng cách từ điểm O đến dây AB:
OM = 
Bài tập 7: Cho hai đường tròn cùng tâm (O; R), (O; r) với R > r. Các điểm A, B thuộc đường tròn (O; R), các điểm A’ B’ thuộc đường tròn (O; r) sao cho O, A, A’ thẳng hàng; O, B, B’ thẳng hàng và điểm O không thuộc đường thẳng AB. Chứng minh:
a)
b) AB // A’B’.
Trả lời:
